数学中的“必然与或然的思想”

1、数学中的“必然与或然的思想”随机现象具有两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。概率知识在现实生活中常常用到，在高考中越来越倍受关注，概率所研究的过程是在“偶然”中寻找“必然” ，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所蕴涵的数学思想就是必然与或然的思想。在概率部分考查上文理是有一定的区分度的。理科在解答题部分将会重点考查古典概率的计算、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、重复独立试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望（均值）与方差有关问题等。文科不再考查排列、组合，二项式定理，删除了事件的相互独立性、独立重复实验概型，在解答题部分将会以列举计

2、数的方法对概率进行考查。1古典概型例 1为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某校6 名学生进行问卷调查6 人得分情况如下：5， 6， 7， 8，9， 10把这 6 名学生的得分看成一个总体（）求该总体的平均数；（）用简单随机抽样方法从这6 名学生中抽取2 名，他们的得分组成一个样本求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5 的概率分析： 本题为古典概型，先计算出总体平均数，列出所有的抽取情况，再从中找出符合条件的即两人的得分平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5 的所有情况 。解：（）总体平均数为1 (5678910)7.56（）设 A 表示事件“样本

3、平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有：(5，6) ，(5，7) ，(5，8) ，(5，9) ，(510)， ，(6，7) ，(6，8) ，(6，9) ， (6，10) ， (7，8) ， (7，9) ， (7，10) ， (8，9) ， (810)， ， (9，10) 共 15个基本结果事件 A 包括的基本结果有： (5，9) ， (510)， ， (6，8)， (6，9) ， (6，10) ， (7，8) ， (7，9) 共有7 个基本结果所以所求的概率为 P( A)7 15评注： 文科关于概率大题的考查基本上列举法，即列出所有的基本事件，

4、从中找出满足要求的基本事件，然后求出它们的个数比即可。例 2一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f1 (x)x， f 2 ( x)x2， f 3 ( x)x3，f 4 ( x)sin x， f5 ( x)cosx， f6 ( x)2 .（）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.分析： 本题中每一张卡片被抽取到是等可能的，可利用排列组合的知识随机抽取和按要求无放回的抽取，从而计算出每个事件的概

5、率，列出分布列求出数学期望。解：（）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P(A)C321C62.5（）可取 1， 2， 3，4P(1)C3112)C31 C313C61, P(C61 C51102P(3)C31 C21 C3134)C31 C21 C11C311C61 C51 C41, P(C61 C51 C41C312020故的分布列为1234 11331722344102020答：的数学期望为7 4评注： 在解答本题时，要弄清随机变量的所有取值情况，题目中有三个奇函数，三个偶函数，所以最多取 4 次就一定能取到记有偶函数的卡

6、片，从而停止抽取。注意不放回地抽取，上一次的抽取结果会影响下一次的抽取，即下一次的总体个数减少。2.几何概型例 3在平面直角坐标系xoy中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在 E 中的概率是分析：本小题考查古典概型，其概率应为几何图形的面积比。如图：区域 D 表示边长为4 的正方形的内部 （含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此P124416答案：16评注： 在解决几何概型问题时，要弄清整个事件的区域长度（面积或体积） ，以及所研究事件的区域长度（面积或体积） ，特别是平面几何图形的构成常常是

7、考查的焦点，有可能与定积分相联系。例 4如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一2样，则他击中阴影部分的概率是（）A 1B C1D与 a 的取值有关448分析： 本小题考查古典概型，其概率应为几何图形的面积比。其中阴影部分的面积要通过规则的图形的面积求出，即正方形的面积去掉一个圆的面积。解：正方形的面积为a2，而四个角空白部分合起来为半径为a 的一个圆，面积为a2，所以他击中24a2a2阴影部分的概率是a241，故选 A。4答案： A评注： 在解决几何概型问题

8、时，对于不规则图形的面积要通过求定积分或规则图形的面积求出。例 5 设有关于 x 的一元二次方程x22ax b20 （）若 a 是从01，2，3四个数中任取的一个数，b 是从 01，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（）若 a 是从区间 0，3 任取的一个数， b 是从区间 0，2 任取的一个数，求上述方程有实根的概率分析： 一元二次方程有实根的条件为V0 4a24b20 ，即 a b 。题（） 可用列举法列出所有的基本事件，找出符合条件a b 的基本事件。题 （） 就是几何概型。可作出试验的总区域，和符合条件的区域，应该是把a,b 看作有序数对a,b对于平面上的点 ，可画出平面

9、区域解答。解：设事件 A为“方程 a22axb20 有实根”当 a 0 ， b0时，方程 x22axb20 有实根的充要条件为a b （）基本事件共12 个：(0，0)，(01)，(0，2)，(1，0)，(11)，(1，2)，(2，0)，(21) ，(2，2)，(3，0)，(31)，(3，2) 其中第一个数表示a 的取值， 第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含9 个基本事件，事件93A 发生的概率为 P( A)124（）试验的全部结束所构成的区域为(a，b) |0 a 3，0 b 2 y构成事件 A 的区域为(a，b) | 0 a 3，0 b 2，a b 32122所以所求的概率为322

10、23评注： 本题容纳了古典概型和几何概型的解法，要善于区分提炼 ，并进行转化，把数组a,b 看成平面内的点即可转化为平面区域问题用面积解答。3互斥事件与相互独立事件的概率例 6设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。（）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）记表示进入商场的3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。分析： 购买甲、乙两种商品是相互独立的，1 位顾客购买甲

11、、乙两种商品中的一种有两种情况，买甲不买乙或买乙不买甲，又是互斥事件，按互斥事件的概率进行计算；进入商场的1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，对于至少问题， 可以正面计算， 也可以反面计算；进入商场的3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数可以为0， 1， 2， 3，应该是（）的二项分布解：记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品，记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品，记 C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记 D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（）CA BAB，PCP A BA BP A

12、BP A BP AP BPA PB0.50.40.5 0.60.5（）DA B， P DPA BPAP B0.50.40.2P D1P D0.8（）:B 3,0.8 ，故的分布列 P00.230.008，P1C31 0.8 0.220.096 ， P2C320.820.20.384P30.830.512 ，所以 E3 0.82.4评注： 此题重点考察相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用。例 7甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1 与 p ，且乙投球2 次均1 2未命中的概率为

13、16p ；（）求乙投球的命中率（）求甲投球 2 次，至少命中1 次的概率；（）若甲、乙两人各投球2 次，求两人共命中2 次的概率分析： 乙投球2 次均未命中的概率为1，求乙投球的命中率p ，属于逆向思维，列出方程解出即可。16甲投球 2 次，至少命中1 次，对于“至少”问题可以正面解答，也可以反面解答。甲、乙两人各投球2 次，求两人共命中2 次，应该有多种情况，分类计算。（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得 1P B21p 2116解得 p3或5 （舍去），所以乙投球的命中率为3 444解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由

14、题意得P(B)P( B)1，于是P(B)111 P(B)316或 P(B)（舍去），故 p444所以乙投球的命中率为3 411（）解法一：由题设和（）知P A, P A22故甲投球2 次至少命中1 次的概率为 1P AA341,P A1解法二：由题设和（）知P A22故甲投球2 次至少命中1 次的概率为 C21P A P APAPA34（）由题设和（）知，P A1,P A1,P B3,P B12244甲、乙两人各投球2 次，共命中2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2 次。概率分别为 C21 P A P AC21PBPB3，16PAAPBB1，PA

15、APB B9646431911所以甲、乙两人各投两次，共命中2 次的概率为16646432评注： 本小题是概率部分的常规题目，主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，分类要做到不重不漏。例 8某城市有甲、乙、丙、丁4 个旅游景点，一位客人游览这4 个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（）求的分布列及数学期望；( )记“函数 f (x)x23x1 在区间 4,) 上单调递增”为事件A，求事件 A 的概率分析：“客人游览甲景点” 、“客人游览乙景点” 、“客人游览

16、丙景点” 、“客人游览丁景点”是相互独立的，按相互独立事件的概率计算，列出分布列， 求出数学期望。 “函数 f ( x) x23 x1 在区间 4,) 上单调递增”，可以得到二次函数的对称轴与区间的位置关系，从而得到的范围。解：（1）分别设“客人游览甲景点” 、“客人游览乙景点” 、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点”为事件A1, A2 , A3 , A4 ,由已知 A1 , A2 , A3 , A4 相互独立，且 P( A1) P( A2) P( A3 ) P( A4) 0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1， 2， 3， 4;相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为4， 3，2，1

17、,0.所以的可能取值为0， 2,4P(0)C42 (0.6) 2 (1 0.6)20.3456 P(2)C41 (0.6)1 (10.6)3C 43 (0.6) 3 (10.6)10.4992P(4)(0.6) 4(10.6)40.1552所以的分布列为024P0.34560.49920 1552E00.345220.499240.15521.6192.（ 2）因为 f ( x)( x3 ) 21 9 2 , 所以函数 f ( x) x23x1在区间 3,) 上单调递24382增要使f ( x) 在 4,) 上单调递增，当且仅当24,即.3从而 P( A)P(8)P(0) P(2) 0.844

18、8.3评注： 本题是相互独立事件的概率的求法，注意随机变量的取值要一一列出，并求出各种情况的概率，列出分布列。另外本题还与函数相结合计算概率。4两点分布、二项分布、重复独立试验的概率例 9为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设为成活沙柳的株数，数学期望E3，标准差为6 。2（）求 n, p 的值并写出的分布列；（）若有3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率分析： 一株沙柳要么成活，要么不成活，属于两点分布，对于n 株沙柳来说就是二项分布，可用公式直接表示数学期望和标准差，

19、求出n, p 的值并写出的分布列， 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，可以从正面解答，也可从反面解答，转化为不需要补种的问题。解： (1)由 Enp3,()2np(1p)3, 得 1p1,122从而 n6, p的分布列为，20123456P161520156164646464646464(2)记”需要补种沙柳 ”为事件 A,则 P( A)P(3), 得P( A)1 6152021, 或 P(A)1P( 3)115 61 2164326432评注： 本题为比较简单的二项分布问题，直接运用公式进行计算即可。要对二项分布列必须熟悉。例 10甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3 人，每人回答

20、一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为2，乙队中 3 人答对的概率分别为22133， ，且各人回答正确与32否相互之间没有影响用表示甲队的总得分（）求随机变量的分布列和数学期望；（）用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P( AB ) 分析： 甲队中每人答对的概率均为2 ，表示甲队的总得分，则随机变量服从二项分布，乙队中 33人答对的概率都不同，各人回答正确与否相互之间没有影响，事件A,B 为相互独立事件，事件A 是甲、乙两个队总得分之和等于3，事件 B 是甲队总得分大于乙队总得分，则AB 就

21、是甲、乙两个队总得分之和等于 3 且甲队总得分大于乙队总得分的事件，所以甲、乙两队的分数之间有联系，可以先确定一个，再确定另一个，从而分类求得。（）解法一：由题意知，的可能取值为0，1， 2， 3，且31 ，P( 1) C311 22P(0) C301 222 ，32733921 24， P(3P(2) C3223) C3328 339327所以的分布列为0123P1248279927的数学期望为 E011224382 279927解法二：根据题设可知， B23，3k3 k2k ， k因此的分布列为 P(k)C3k212C3k01，2，33333因为 B2E322 3， ，所以33（）解法一：

22、用C 表示“甲得2 分乙得1 分”这一事件，用D 表示“甲得 3 分乙得0 分”这一事件，所以 AB C U D ，且 C，D 互斥，又2221112111110P(C)221C3333323323324，3345 ，P(D) C3321 1 133323由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D)1043434343535243解法二：用 Ak 表示“甲队得k 分”这一事件，用Bk 表示“乙队得k 分”这一事件， k01，2，3由于事件 A3 B0 ， A2B1 为互斥事件，故有P( AB)P( A3B0 U A2 B1)P( A3B0 ) P( A2 B1) 由题设可知，事件A3 与

23、B0 独立，事件 A2与 B1 独立，因此P( AB) P( A3B0 ) P( A2B1) P(A3 )P(B0 )P( A2 ) P( B1)3C3222211111C21234 332232232232243评注： 本题中涉及到两个队，情况比较复杂，要学会透过现象看本质，仔细分析题目，由浅入深，排除干扰，抓住问题的实质解答问题。另外还要看到两队之间的联系，从而找到解决问题的策略。分类讨论做到不重不漏。例 11购买某种保险， 每个投保人每年度向保险公司交纳保费出险，则可以获得10000 元的赔偿金假定在一年度内有10000a 元，若投保人在购买保险的一年度内人购买了这种保险，且各投保人是否

24、出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为140.99910（）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）50000元，为保证盈利的期望不小于0 ，求分析： 由一年度内有 10000 人购买了这种保险， 且各投保人是否出险相互独立 ，可知这些保险是服从二项分布的；保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元，盈利就是该险种总收入减去成本和赔偿金总额， 而赔偿金总额与出险的人数为 有关由 （ ）知 服从二项分布， 从而计算出盈利的期望。解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率

25、都是p ，记投保的10000人中出险的人数为，则 B(104 ， p) （）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A 发生当且仅当0 ，P( A)1 P(A) 1P(0)1 (1p)104，又 P(A) 10.999104，故 p0.001（）该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和支出10 00050 000 ，盈利10 000a(10 00050 000) ，盈利的期望为 E10 000a10 000E50 000 ，由 B(104，3)知，E10 000103，10E104 a104E5 104104 a10410410 35104 E 0

26、104 a 104 10 5 10 4 0a 10 5 0a 15 （元）故每位投保人应交纳的最低保费为15 元评注： 本题中的数学环境是以保险为背景考查二项分布列，对于学生来说有些陌生，不易理解，而第二问又是间接地解答问题，所以本题难度较大。5超几何分布例 12从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1 件，假设事件A ：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率P( A)0.96 （ 1）求从该批产品中任取1 件是二等品的概率p ；（ 2）若该批产品共100 件，从中任意抽取2 件，表示取出的2 件产品中二等品的件数，求的分布列分析： 本题已知“取出的2 件产品中至多有1

27、 件是二等品”的概率，求从该批产品中任取1 件是二等品的概率p ，可以用 p 表示出至多有 1 件是二等品的概率，分两种情况，取出的2 件产品中无二等品，和取出的 2 件产品中恰有1 件二等品，利用互斥事件的概率公式求出。（ 2）中的所有取值列出，总体中有特殊，所以是超几何分布类型，按照要求取出求出分布列。解：（1）记 A0 表示事件“取出的2 件产品中无二等品” ，A1 表示事件“取出的2 件产品中恰有1 件二等品”则 A0， A1 互斥，且 AA0A1 ，故 P( A)P( A0A1)P(A0)P( A1) (1p)2C12 p(1p)1 p2 ，于是 0.961 p2 解得 p1 0.2

28、，p20.2 （舍去）（ 2）的可能取值为 01，2若该批产品共 100 件，由（ 1）知其二等品有100 0.2 20 件，故P(C802316P(1)C180C120160C202190)495C1002 P(2)C1002495C1002495所以的分布列为012P31616019495495495评注： 本题为超几何分布，是总体中有特殊，能否取到特殊元素，取几个等问题按个数求的分布列，其实质就是按要求取元素的过程。6一般的随机事件的概率及其分布列例 13 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社参加人数会公益活动（以下简称活动） 该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计

29、如图所示50（ I）求合唱团学生参加活动的人均次数；40（）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰30好相等的概率（）从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动2010次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望 E 活动次数123分析：首先要把图形语言转化为文字语言，变为已知条件，转化信息，他们参加活动次数恰好相等会分三种情况，即都参加1 项， 2 项或 3 项公益活动， 分别计算合并，（）中注意随机变量的含义为表示这两人参加活动次数之差的绝对值，列出所有可能情况求出。解：由图可知，参加活动1 次、 2 次和 3 次的学生人数分别为10、50 和 40110250340230（

30、 I）该合唱团学生参加活动的人均次数为1002.3 100（）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为C102C502C40241P0C100299（）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1 次活动，另一人参加2 次活动”为事件A ，“这两人中一人参加 2 次活动，另一人参加3 次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1 次活动，另一人参加 3 次活动”为事件 C 易知P(1)P( A) P( B)C101C501C501C40150；C1002C100499P(2)C101C4018P(C)；C 299100的分布列：012P41508999999的数学期望： E 0

31、411 502829999993评注： 解决本题的关键是要读懂题意，注意图形语言的转化和题目所要求的要解决的问题。例 14甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空. 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6 局时停止 . 设在每局中参赛者胜负的概率均为1 ，且各局胜负相互独立 . 求：2（）打满3 局比赛还未停止的概率；（）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.分析：打满 3 局比赛还未停止，说明三人中没有连续获胜的，即第一局如果甲获胜，则第二局丙获胜，第三局乙获胜，对应一种情况；同理，第一局如

32、果乙获胜也对应一种情况。比赛停止时已打局数最少两局，最多六局，可以分别按前面的做法交叉进行下去，一一计算。解：令 Ak , Bk ,Ck 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜 .（）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3 局比赛还未停止的概率为 P( AC1 2B3 )P( B1C2 A3)111 .23234（）的所有可能值为2， 3， 4， 5， 6，且P(2) P( A1 A2 ) P( B1B2 )111,22222P(3) P( AC1 2 C3) P(B1C2C3 )1112323.4P(4) P( AC1 2B3B4) P(B1C2 A3 A4 )111 .

33、24248P(5) P( AC1 2 B3 A4 A5 ) P(B1C2 A3B4 B5 )1 11 ,252516P(6) P( AC1 2 B3 A4C5 ) P(B1C2 A3B4C5 )1 11 ,252516故有分布列23456P111112481616从而 E2 13 141516147（局） .248161616评注： 本题中的随机事件的概率，只能分别按实际情况分类计算。7预测题y矩形 ABCD 的（ 1）任意一点落在由函数3与直线 x及 y1 ycos x(0x 2)图象C2D 1所围成的一个封闭图形内的点所占的概率是（）O3x2ABA 4B 1132332C1 D23分析：

34、阴影部分的图形不规则，其面积只能用定积分求出，概率为面积之比。333解：由题意可知阴影部分的面积为21 cos x2S1 0x sin x |01 ，矩形 ABCD 的面积为23 ，矩形 ABCD 的任意一点落在由函数y cos x(0 x 2 )图象与直线 x31的图象所围成及 y112的一个封闭图形内的点所占的概率是2，故选 B3评注： 对于不规则图形的面积要用定积分求出，再由几何量之比求出概率。（ 2）（原创）在区间 0,1 上任取两个数 a,b ，则方程 x22axb 0 没有实根的概率为 .分析： 求出方程有实根的条件，可发现这是一个求几何概型的概率问题，求出相关平面区域的面积，即可求概率 .b0a1ba2解：若使方程 x 2axb 0 有实根，须满足0b1，14a24b00a1O1a即 0b1它表