一元二次方程知识点总结

1、一元二次万程知识点的总结知识结构梳理(1)含有个未知数。(2)未知数的最高次数J1、概念(3)是方程。(4) 一元二次方程的般形式是。(1)法，适用于能化为(x + m)2 =n(n之0 )的一元。二次方程a,法a, 一元串程即把方程变形为 ab=0的形式，2、解法(a, b为两个因式),则a=0或其中求根公式j 5“有两个不相等的实数根。当时，方程有两、相等的吐根。程有没有的实数根。可用于解某些求值题(1)一元二次方程的应用(2)(3)可用于解决实际问题的步骤(6)知识点归类考点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一

2、元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是 2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于X的方程，哪些是一元二次方程？ 2 上 =3 ； x2 -6x = 0 ；(3)VX + x = 5 ； (4) - x2 = 0 ； (5) 2x(x -3) = 2x2 +1 x 5考点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b, c是已知数，a*0)。其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。(2)要

3、准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把 它先化为一般形式。2(3)形如ax +bx + c = 0不一定是一元二次方程，当且仅当a。0时是一元二次方程。例1将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。_ 272(1)5x =-x ；(x 21x+3)=8; (3) (3x 4" + 3)=(x+2)一2 c例2已知关于x的方程(m_1km书_(m+1x_2=0是一元二次方程时，则 m =考点三解一元二次方程的方法2使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x = 2时，x2 - 3x + 2 = 0所以x=2是x2 -

4、3x+2=0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。法一直接开平方法解一元二次方程若x2 = a(a > 0 ),则x叫做a的平方根，表示为 x =,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。(1 )x2=a(a之 0 )的解是 x = ±Va-； (2) (x + m)2=n(n之 0)的解是jc nx = ±dn - m ； (3) (mx + n f = c(m 丰 0,且 c 之 0 )的解是 x = 一 。 m例用直接开平方法解下列一元二次方程一 2222(1) 9x216=0； (2) (x+5) 16=0； (3) (x 5) = (3x + 1

5、 )法二配方法解一元二次方程时， 在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方， 配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程x2 + px + q = 0 ,当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例用配方法解下列方程：,227八一(1) x +6x5 = 0；(2) x2x2=02法三因式分解法如果两个因式的积等于 0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=0时，则p=0或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般

6、步骤：(1)将方程的右边化为 0; (2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 (3)令每个因式分别为 0,得两个一元一次方程。(4)解这两 个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：(1)要将方程右边化为 0; (2)熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法(平方差公式，完全平方公式)等。例用因式分解法解下列方程：.L 2222(l)5x =4x；(2)(2x 3)25=0； (3) x 6x + 9 = (5 2x)。法四公式法2a一元二次方程ax2+bx + c = 0(a # 0 )的求根公式是:用求根公式法解一元二次方程的步骤是:(1)把方程化为ax2 + b

7、x + c = 0a # 0)的形式,2.2确te的值a,b.c (汪思符号)；(2)求出b 4ac的值；(3)若b -4ac > 0 ,则a,b.把及2.- b 二 . b - 4acb -4ac的值代人求根公式 x=,求出 x1,x2。2a例用公式法解下列方程(1) 2x2 -3x-1 = 0；(2) 2x(x + J2 )+1=0; (3) x2+x + 25=0技巧选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知 数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是 0,左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意

8、：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时， 再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法， 因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一元二次方程：(2) (2x 3 f = 9(2x + 3 )2 ； (2) x2 8x + 6 = 0 ；(3)(x + 2 Xx 1) = 0考点四一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2+bx+c = 0(a " 0眼的判别式 =b24ac运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：(1) A = b2 -4ac > 0=>方程有两个不相等的实数

9、根；2(2) A = b 4ac=0二万程有两个相等的实数根；2(3) = b 4ac <0=方程没有头数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；22确定a,b.c的值；计算b -4ac的值；根据b - 4ac的符号判定方程根的情况。例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：222(1) 2x23x5=0； (2) 9x2 = 30 x 25；(3) x2+6x + 10=0考点五根的判别式的逆用在方程ax2+bx+c =0(a # 0)中，(1)方程有两个不相等的实数根 b2 _4ac>0(2)方程有两个相等的实数根 二b2 4ac=0(

10、3)方程没有实数根 =b2 -4ac <0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。例 m为何值时，方程(2m+1 x2+4mx+2m-3 = 0的根满足下列情况：(1)有两个不相等的实数；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根；考点六 一元二次方程的根与系数的关系2bb右”?2是一兀二次万程 ax +bx + c = 0(a=0 )的两个根，则有x1+x2 = , x1x2= 一 aa根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：22211乂2(1) x1 +x2 =仅1 +x2 f-2x1x2(2) 十=x x2xx2(3)

11、 (x1 +a)(x2 +a) =x1 +x2 +a(x1 +x2 )+a2 ；(4) x1 - x2 = V(x1 - x2 f = 4(x1 + x2 f -4x1x2例 已知方程2x2 - 5x-3 = 0的两根为k,乂2,不解方程，求下列各式的值。,、222(1) x1 +x2 ;(2)区 一乂2 )。考点七根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系(即列出方程)，然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。例 当x取什么值时，代数式 x2-x-6 = 0与代数式3x - 2的值相等？强化练习一、选择题1 .一元二次方程x2

12、=2x的根是()A、x=2R x=0G x1=0, x2=2D> x1=0, x2= - 22 .将代数式x2+4x1化成（x+p） 2+q的形式（）A （x-2） 2+3 B、（x+2） 2 4 C、（ x+2） 2 5 D、（ x+2） 2+43 .方程x2- 4=0的解是（）A x=2 B x= - 2 C、x= ± 2 D x=± 44 .小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1,则被漏掉的一个根是（ ）A x=4 B x=3 C、x=2 D> x=05 .若方程式（3x-c） 2-60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为 何？

13、（）A 1 B 8C、16 D 616 .已知a是方程x2+x-1=0的一个根，则 22 -一的值为（）22a -1 a - aA. -1B. " 了 C. - 1D.17 .已知三角形的两边长是方程 x2 - 5x+6的两个根，则该三角形的周长 L的取值 范围是（）A. 1<L< 5 B. 2<L< 6 C . 5< L< 9D, 6VL<108 .方程（x+1） （x-2） =x+1 的解是（）A 2 B 3C、-1,2 D -1,39 .分三角形两边长分别为3和6,第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形 的周长是（）A 11

14、B 13 C、11或13 D不能确定10 一元二次方程（x 3） （x-5） =0的两根分别为（）A、3, 5 B 、一 3, -5 C、一 3, 5 D、3, 5二、填空题1. （2011江苏淮安，13, 3分）一元二次方程x2 4=0的解是.2. （2011江苏南京，19, 6分）解方程x2-4x+1=0.3. （2011山东济南，18, 3分）方程x2-2x=0的解为.4. （2011 泰安，21, 3 分）方程 2x2+5x 3 = 0 的解是:5. （2011山东淄博14, 4分）方程x2-2=0的根是.6. （2011四川达州，10, 3分）已知关于x的方程x2 m*n=0的两个根是0和-3,贝U m=, n=.7. （2011浙江衢州，11, 4分）方程x2-2x=0的解为.8. （2011黑龙江省黑河，7 , 3分）一元二次方程 a2 - 4a - 7=0的解为（ ）。三、解答题1. （2011 江苏无锡，20, 8 分）（1）解方程：x2+4x-2=0;2. （2011山东烟台，19, 6分）先化简再计算：勺二1 一 ：x2x二1 I，其中x是一元二次方程x2 2x2=0的正数根. x xx3. （2011 清远，18, 5 分）解方程：x2 4x1 = 0.4.