高数—直线与双曲线

1、直线与双曲线热身练习1 .设口是第二象限角，方程 x2 sin a - y2 sin a = cosa表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线 x ，一 2 .已知双曲线的渐近线方程是y = 士一，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为23 .已知点M (-3,0) , N (3,0) , B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为224.已知双曲线与=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过点F2作与x轴垂直的直线与双曲a b五线一个交点

2、为P ,且/PF1F2 =,则双曲线的渐近线方程为6知识梳理1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定22以直线y=kx+m和椭圆： 与乌=1(a >0,b >0 )为例：a bfy = kx + m(1)联立直线与双曲线方程： 消元代入后可得：b2 22 222x -ay = a bb2 -a2k2 x2 -2a2kxm T.a2m2 a2b2 =0(2)与椭圆不同，在椭圆中，因为a2k2+b2>0,所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为 b2 -a2k2,有可能为零.所以要

3、分情况进行讨论22 2b当b -a k =0= k=±且m/0时，方程变为一次方程，有一个根.此时直线与双曲线相交，只有一 a个公共点22 2bb2 22 2当b a k A0= - <k<时，常数项为(am +a b )< 0 ,所以 a 0恒成立，此时直线与双曲 a a线相交,22 2-bb当b -a k <0=k> 或k<时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断：a a4AOn方程有两个不同实根 二直线与双曲线相交4=0=方程有两个相同实根 二直线与双曲线相切<0:方程没有实根 二直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的

4、凭公共点的个数来判定位置.尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切(3)直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为(g,a|J a,"所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当xa时，点位于双曲线的右支；当 xwa时，点位于双曲线的左支.对于方程：(b2 -a2k2 )x2 -2a2kxm -(a2m2 +a2b2 )=0 ,设两个根为 x1，x2当 b2 -a2k2 0二_b <k<B 时，则 x1x2 = a a222. 2a m a b22 2b -a k<0 ,所以xx

5、2异号,即交点分别位于双曲线的左，右支当 b2 -a2k2 <0=,b “ bk> 一或 k< 一一 ,且 Aa。时，x1x2 =222. 2a m a b22" > O，所以x1, x2同号，即交b2 -a2k2点位于同一支上(4)直线与双曲线位置关系白几何解释：通过(2)可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关,.一 b其分界点土一刚好与双曲线的渐近线斜率相同.所以可通过数形结合得到位置关系的判定abk=±2且m00时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一 a支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个

6、交点bb一- <k <一时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双aa曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上.22. 2bbb -a k <0= k> 一或卜<-时，此时直线比渐近线 更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与a a双曲线有公共点(与 的符号对应)，可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上.22x y3、中点弦：直线y=kx+b与双曲线 =一' =1(a >0,b >0 )交于A(x1,yi)、B(x2,y2)两点，且AB的 a b中点为P(xo,yo)，则有k =b2

7、x0a2y0例题解析-、直线与双曲线的位置关系【例1】已知双曲线x2 y2 =1及直线y = kx 1 .(1)若直线与双曲线有交点，求 k的范围；(2)什么情况下只有一个交点？什么情况下有两个交点？什么情况两个交点在右支？什么情况下两个交点在两支上?22【例2】过点P(",5) 与双曲线 L-L=1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.725【例3】直线y = kx+1与双曲线3x2 -y2 =1相交于A B两点,A、B在双曲线的同一支上？当k为何值时，A、B分别在双曲线的两支上?【例4】已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2 _2y2 =1总有公共点，试求

8、实数 k的取值范 围.【巩固训练】1 .过双曲线的渐进线上的一点(不是中心)能作几条直线与双曲线只有一个公共点()A. 一条 B.二条C.三条 D.四条2 22.已知直线y=kx1与双曲线x -y =4.(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求 k的取值范围.223.已知双曲线 人-L=1的右焦点为F ,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直 124线斜率的取值范围是()A.叵B.(一出,3C.J1D.|-V33I 33 JJ 33 -L-224 .如果直线y=k(x1)与双曲线x -

9、y =4没有交点，则k的取值范围是 .225 .若不论k为何值时，直线 y = k(x -2) +b与曲线x2 - y2 =1总有公共点，则b的取值范围是6 .知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(J3,0 ).(1)求双曲线C的方程，(2)若直线l : y = kx + 42与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA OB>2 (其中O为原点)， 求k的取值范围.二、交点、弦中点、弦长问题22【例5】已知双曲线的方程为 -y-=1.42(1)过点M (1,1)的直线交双曲线于 A,B两点，若M为AB的中点，求直线 AB的方程；(2)是否存在直线1,使点N'1, 1)

10、为直线l被双曲线截得的弦的中点， 若存在求出直线l的方程，若不I 2/存在说明理由.22【例6】已知直线1和双曲线x- 22 =1(a > 0,b > 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D.求a b证：AB = CD .【例7】已知曲线C的方程为x2 +ay2 =1 ( aw R).(1)讨论曲线C所表示的轨迹形状；(2)若a # -1时，直线y = x 1与曲线C相交于两点M , N ,且| MN |= J2 ,求曲线C的方程.【例8】已知双曲线x2 - y2 = a2 (其中a a 0).(1)若定点A(4, 0)到双曲线上的点的最近距离为J5 ,求a的值；3二.(

11、2)若过双曲线的左焦点 Fi,作倾斜角为a的直线l交双曲线于M、N两点，其中a三(一，)，F2是 4 4双曲线的右焦点.求 FaMN的面积S.【例9】已知两定点 Fi(-J2,0), F2(v,2,0),满足条件|PF2 - PFi =2的点P的轨迹是曲线 E ,直线f-"I 44y =kx1与曲线E交于A,B两点.如果AB =653,且曲线E上存在点C,使OA OB mOC '，求m的值和MBC的面积S .22x y【例9】已知一条直线l与双曲线一2"-2 =1(b >a >0 )的两支分力1J相父于 P、Q两点，O为原点，当 a bOP _LOQ时，

12、求双曲线的中心到直线 l的距离d .【巩固训练】1 .双曲线x2 - y2 =1的一弦中点为(2,1),则此弦所在的直线方程为()A. y=2x-1 B. y=2x-2 C. y=2x-3 D. y = 2x+32 .已知双曲线 E的中心为原点，F (3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A,B两点，且AB的中 点为N(-12,-15),则E的方程式为()22222222xvxvx幺/xy,A. - =1 B.一匚=1C. - =1 D. - = 136456354x2y23.已知双曲线/一b2=1（a>0, b>0）的焦点分别为 51（g0）产2（g0）（0 0）,过52的直

13、线l交双曲线于 A,D两点，交渐近线于 B, C两点.设FB +FC =m , F1A+F1D =n ,则下列各式成立的是 （A. m > nB. m < nC.m -nD. m -n >0 、. . T T T T T2, 一，2 y,.,. r 、 ， 厂， .4.在双曲线x2=1±,是否存在被点 M （1,1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存2在，请说明理由.22 y,兀一一、一_ _5 .过双曲线x <=1的左焦点F1,作倾斜角为 一的弦AB,求AB ；AF2AB的周长（F2为双 36曲线的右焦点）.226 .直线y=kx<与双曲线

14、x -y =1的左支相交于 a , B两点，设过点（-2, 0）和AB中点的直线l在y轴 上的截距为b,求b的取值范围.三、直线与双曲线的综合2【例10】已知双曲线x2-2-=1 ,曲线上存在关于直线l:y = kx + 4对称的两点，求k的范围.3【例11】直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；T -4-2PA，PB=2PQ .(2)是否存在实数k,使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存 在，说明理由.【例12】已知两点A(点,0) , B(应,0),动点P在y轴上的射影为Q,(1)求动点

15、P的轨迹E的方程;(2)设直线m过点A,斜率为k,当0 <k <1时，曲线E的上支上有且仅有一点 C到直线m的距离为72 ,试求k的值及此时点 C的坐标.【例13】已知曲线M : x2 - y2 =m , x >0 , m为正常数.直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线 y=x、曲线M、直线y = x于A、B、C、D四个点，O为坐标原点.若 AB = BC = CD ,求证： AOD的 面积为定值.【例14如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点，已知| PQ |=| FQ |=1 ,且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.(1)求双曲线C的标准方

16、程；II(2)若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于 A、B两点，设fB = 73FA,当九6,收)时，求直线 m的斜率k的取值范围.【巩固训练】1 .直线y=kx+1与双曲线3x2-y2 =1相交于两点 A、B,当k为何值时，以 AB为直径的圆经过坐标原点.22 .双曲线x2 %=18 >0)的左、右焦点分别为 F1、F2，直线l过52且与双曲线交于 A B两点. b2(1)若l的倾斜角为AF1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程;(2)设b = J3,若l的斜率存在，且(F1A+ F1B) ,AB =0,求l的斜率.2 y23 .已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线 x2

17、-1 =1 于 A,B 两点，且 ON = (OA + OB) 2(1)求直线AB的方程；(2)若过N的直线l交双曲线于C,D两点，且CD ,品=0,那么A, B,C,D四点是否共圆？为什么?4. P(x0, y01*±a谡双曲线E ：22、冬=1(a >0,b >0)±一点，M、N分别是双曲线 E的左、右 a b顶点，直线PM、PN的斜率之积为 c(1)求双曲线中一的值;a(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点,满足OC-OA+OB，求九的值.5.已知双曲线C的中心是原点，右焦点为 F(mQ), 一条渐近

18、线m： x +J2y = 0,设过点A(3行,0)的直线l的方向向量e =(1,k (1) 求双曲线C的方程；(2) 若过原点的直线 a/八,且a与l的距离为 展,求k的值；2(3) 证明：当k > J 时，在双曲线 C的右支上不存在点 Q ,使之到直线l的距离为甚.2反思总结1.焦点三角形：APFE中结合定义|PFi - PF2b2a与余弦定理cos/F1PF2,将有关线段|PFi|、|PF2F1F2和角结合起来，S,PF1F2: b2cot&22.渐近线:22若渐近线方程为y =±bx= 0=双曲线可设为a a ba b与双曲线22x 1 =1共渐近线的双曲线系方程

19、是a b2222x y_x y-2 2 =九伍¥0);与双曲线 一2 -2=1共焦点的双曲 a ba b线系方程是-2一 2a k b -k特别地当a = b时u两渐近线互相垂直，分别为y = 土x,此时双曲线为等轴双曲线， 可设为x2 - y2 =儿.3.交点： A>0=直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有>0,当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故>0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；当直线与双曲线的渐近线不平行时， =0= 直线与抛物线相切；如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：公共点为切点和交点；当直线

20、与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点.I课后练习21 .已知双曲线方程为 X2 -? =1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点， 则L的条数共有()A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条2 .已知 x, yw R,集合 A=4x,y)x2 y2 =" B = (x, y) y =t(x + 2)+2，若 A，B 是单元素集合，则 t 值的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 32222x 2x 23 .给出下列曲线： 4x+2y1=0 ;x +y =3；一+ y =1y =1 ,其中与直线 22y = -2x -3有交点的所有曲线是()A.B.C.D

21、.4 .若直线y=kx+2与双曲线x2 - y2 =6的右支交于不同两点，则k的取值范围是()(A)fT，W(B)h 乎(C)LW，0、(d/W，；I 3 3 J l3J l3J I3 J5 .已知点P(x, y)(x <0,y <0)在以F为左焦点的双曲线 x2 y2 =1上，则直线PF的斜率的取值范围 是.6 .双曲线x2 -y2 =1右支上的一点P(a,b同直线x-y =0的距离为J2 ,则a+b=7.设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐进线方程为3x-2y = 0, Fi,F2分别是双曲线的左、右焦点，若 PFi =3,则PF2 =. 28 .已知Fi,F2是双曲线 y -y2 =1的左、右焦点，P、Q为右支上的两点，直线PQ过F2,且倾斜角为1a , 则PF1 +|QF1 PQ的值为29 .设