高考排列组合典型例习题

1、欢迎共阅排列组合典型例题例1用0到9这10个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：没有重复数字；数字“0”不能排在千位数上；个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“ 0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）.由此解法一与二.如果从千位数入手.四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三.如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四.解法1:当个位数上排“ 0”时，千位，百位，十位上可

2、以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A；个； I Z当个位上在“ 2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有a4 A8 A82 （个）.没有重复数字的四位偶数有A； +A：/8 A2 =504 + 1792 =2296 个.I X # ' 解法2:当个位数上排“ 0”时，同解一有A；个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：A： .（8A；）个没有重复数字的四位偶数有A； +A（慰-A；） =504 +1792 =2

3、296 个.解法3:千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位， 十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有A1 A5 &个I I干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 1 I,A； A： &个没有重复数字的四位偶数有A5 A5 A2 + A4 A4 A2 =2296 个.解法4:将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数.没有重复数字的四位数有A2-A3个.其中四位奇数有A；（A；-储）个没有重复数字的四位偶数有= 2296 个说

4、明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真 体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用.典型例题二例2三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 A：种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 慰对种不同的排法，因此共有 A A； =4320

5、种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档. 这 样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置， 共有六个位置，再把三个女生插入这六个位 置中，只要保证每个位置至多插入一个女生， 就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A；种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都r I % ./ y有A；种方法，因此共有 A A3 =14400种不同的排法. I X / I (3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A；种 J/ 1 I不同的排法，对于其中的任意

6、一种排法，其余六位都有A：种排法，所以共有A3a6= 14400种不同的排法.解法2:(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A；种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A3可种排法和女生排在末位的AjA；种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端I 都是女生有A2席种不同的排法，所以共有A8-2A3A7 +A；A(6 =14400种不同的排法.解法3:(元素分析法)从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有内种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有 个种不同的排法，所以共有AA；

7、= 14400种不同 的排法，(4)解法1:因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有a5，A7种不同的排法；如果首位排女生，有 a3种排法，这时末位就只能排男生，有A1种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有A；种不同的排法，这样可有A3八1八6 种不同排法.因此共有AA； +a3 a5 A6 =36000种不同的排法.解法2: 3个女生和5个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生排法 A； &种，就 能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有A； -A2 A =36000种不同的排法.说明：解决排列、组合(下面将学到，由于规律相

8、同，顺便提及，以下遇到也同样处理)应用问题 最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件.若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素.间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用.典型例题三例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之

9、间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有A64中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：A； A64= 43200.I|_二(2)先排舞蹈节目有A：中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5个空位，恰好供5个歌唱节目放 JfI I入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A： A； = 2880种方法。说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题(2)中,若先排歌唱节目有A55,再排舞蹈节目有A4,这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。典型例

10、题四例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排 体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法1： 6六门课总白排法是A；,其中不符合要求广仁、的可分为：体育排在第一书有A5种排法，如图中I ；数学排在最后一节有A；种排法，如图中但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中田，这种情况有A：种排法，因此符合条件的排法应是：A6 -2A5 +/=504 (种).分析与解法2:根据要求，课程表安排可分为4种情况：(1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有A2八：种；欢迎共阅(2)数学排在第一节但体育不排在

11、最后一节，有排法 a4 .A：种；(3)体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 a4 .A：种；(4)数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法 A：这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：a2 A4： +A：，A4 +A： & =504 (种).分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述 4种情况：(1)体育，数学既不在最后也不在开头一节，有 a2 =12种排法；(2)数学排在第一节，体育不排在最后一节，有 4种排法；(3)体育在最后一书，数学木在第一节有 4种排法；(4)数学在第一节，体育在最后一节有 1种排法.上述21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种 A：,故总排

12、法数为21A：=504 (种).下面再提出一个问题，请予解答.问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法.请读者完成此题.说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习， 不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题 正确与否的行之有效的方法.典型例题五例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、 司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：cm,然后把3名司机和3名售票员分别填入.因 此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题.解：分两步完成.第一步，把3名司机安排到3辆车中，有A3 = 6种安排方法

13、；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有A3 =6种安排方法.故搭配方案共有A3 A =36 种.I I 5说明：许多复杂的排列问题，不可能一步就能完成.而应分解开来考虑：即经适当地分类成分 或分步之后，应用分类计数原理、 分步计数原理原理去解决.在分类或分步时，要尽量把整个事件 的安排过程考虑清楚，防止分类或分步的混乱.典型例题六例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有 4所重点院校，每所院校有3个专业是 你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话， 你将有多 少种不同的填表方法？分析：填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题

14、；同一学 校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业.因此这是一个排列问题.解：填表过程可分两步.第一步，确定填报学校及其顺序，则在 4所学校中选出3所并加排列，共有A3种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含欢迎共阅三小步，因此总的排列数有 A32 A32 A2种.综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：A43 A2 A2 A2 =5184 种.说明：要完成的事件与元素的排列顺序是否有关，有时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特 别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要.“选而且排”(元素之间有顺序要求)的是排列，“选而不排”

15、(元素之间无顺序要求)的是组合.另外，较复杂的事件应分解开考虑.典型例题七例5 7名同学排队照相.(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同 的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有A73种排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A44种排法，故一共有A3，A4=A；种排法.事实上排两排与排成一排一样，只不过把第4 7个位

16、子看成第二排而已，排法总数都是 A7,相当于7个人的全排列.(2)优先安排甲、 I.产X ， 乙.(3)用“捆绑法”.用“插空法”.解：(1) a3 A44 =A7 =5040 种.(2)第一步安排甲，有A3种排法；第二步安排乙，有 闻种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有A5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有 A3八4，腐= 1440种.(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余 4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有A5种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有 A33种排法.由分步计数原理得，共 ,*'!/I I ' _J I有A5 A

17、3 =720种排法.fI(4)第一步，4名男生全排列，有A：种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之问的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有 A3种插入方法.由分步计数原理得，符合条件的排法共有：A44 A3 =1440种.说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与 其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列.(2)不相邻问题用“插空法”， 即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.典型例题八例8从2、& 4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的

18、和.2”，当它位于个位时，即形如困蚕的数共分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如有A4"个(从3、4、5、6四个数中选两个填入前面的两个空)，当这些数相加时，由“ 2”所产生的和2”产生的和应是a2 .2.当2位于十位时，即形如国细的数也有解，那么当这些数相加时，由是簿2 10.当2位于面位时，可同理分析.然后再依次分析 3、4、5 6的情况.解：形如丽21的数共有A：个，当这些数相加时，由2”产生的和是A2 2;形如雨田的数也有储个，当这些数相加时，由“ 2”产生的和是A2 2 10;形如匹国的数也有A2个，当这些数相加时，由“2”产生的和应是A： 2 100 .这样在所有三位

19、数的和中，由“2”产生的和是A： ,2.111 .同理由a 4、5 6产生的和分别是A2 3 111, A2 4 111, A42 5 111 , A2 6 111 ,因此所有三位数的和是 A 111 (2 +3+4 +5 +6) =26640 .说明：类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决.如“由1, 4,5, x四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和为288,求数x” .本题的特殊性在于，由于是全排列，每个数字都要选用，故每个数字均出现了席=24次,故有 24 M(1 +4 +5 +x)= 288 ,得 x=2.典型例题九例9计算

20、下列各题:熊； (2)A6;m 1' n _mAn4An mn -123(4)1! 2 2 ! 3 3! n n !+ + +3! 4!解：(1)A25 =15X14=210；(2) A6 =6! =6 5 4 3 2 1 = 720;(3)原式=(n -1)!n -1 -(m -1)!(n - m) !1(n-1)!(n -1)!1=(n - m)! 1=1 ;(n -m)!(n -1)!(4)原式=(2! 1) +(3! 2 !) +(4! 3!) + +(n +1)! - n!=(n +1)! -1;2! 3! 4!n -1+n!111111111=+ + + + = 1 .1!

21、 2! 2! 3! 3! 4! (n -1) ! n! n!说明：准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键.本题计算中灵活地用到下列各式：n -111n!=n(n-1)!; nn ! = (n+1)!-n !; =;使问题解得间单、快捷.n ! (n -1)! n!典型例题十例10 a,b,c,d ,e, f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不 I相邻），求共有几种排法.对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式：A的算式是1Ab的算式是（A1+a2+a3 + a：+a1） A：； C的算式是A：;2D的算式是CK.上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确

22、的说明理由.解：A中很显然，"a在b前的六人纵队”的排队数目与“ b在a前的六人纵队”排队数目相 等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明：A的算式正确.B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出 总数，注意到a占位的状况决定了 b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位方 法数是A5;当a占据第2个位置时，b占位的方法数是A4;；当a占据第5个位置时，b占位的方法数是A；,当a, b占位后，再排其他四人，他们有 A4种排法，可见B的算式是正确的. ,*'! / I I ' _ JI C中a4可理解为从

23、6个位置中选4个位置让c , d , e, f占据，这时，剩下的两个位置依前后顺 fI序应是a, b的.因此C的算式也正确.D中把6个位置先圈定两个位置的方法数 C2 ,这两个位置让a,b占据，显然，a, b占据这两 个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有A：种排法，可见D 的算式是对的.说明：下一节组合学完后，可回过头来学习 D的解法.典型例题十一例11八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、内必须坐在同一排，共有多少 种安排办法？解法1:可分为“乙、内坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排 的八人坐法”两类情况.应当使用加法原

24、理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其 他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A2 A A +a2 a4 a5 =8 640（种）.解法2:采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法 数”看成“总方法数”，这个数目是 A4 a7 ,在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且 乙、内坐两排的八人坐法.”这个数目是 a4 c2 a3 a4 a5 .其中第一个因数a4表示甲坐在第一排 的方法数，C2表示从乙、内中任选出一人的办法数，A；表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个A1则表示乙、内中沿未安排的那个人坐在第二排的

25、方法数，腐就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为a4 a -A4 C2 A； A4 A5 =8 640（种）.说明：解法2可在学完组合后回过头来学习.典型例题十二例12计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列， 要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）.A.A4A5B.A；a4A55C.C3A4A5D.A2A4A5解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A2种排列.但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求.所以共有 A2八4 N种陈列方式.应选D.说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑

26、”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在 一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑” ，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全 排列.本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题.典型例题十三i I1 I I例13由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）.A. 210 B. 300C. 464 D. 600解法1:（直接法）：分别用1,2,3,4,5作十万位的排列数，共有5，8种，所以其中个位数字 小于十位数字的这样的六位数有 1 5 A =300个.解法2:（间接法）：取0,1，5个数字排列有A",而0作为十万位的

27、排列有A5,所以其中1个位数字小于十位数字的这样的六位数有 1（A6 -A5） =300（个）.2说明：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解.(2) ”个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数 一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有 6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有 多少种排法.典型例题十四例14用1,2,3,4,5,这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有().A. 24个B. 30个C. 40个 D

28、. 60个分析：本题是带有附加条件的排列问题， 可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率， 也可利用本题所提供的选择项分析判断.解法1：分类计算.将符合条件的偶数分为两类.一类是2作个位数，共有解个，另一类是4作个位数，也有簿个.因此符合条件的偶数共有Aj+A：=24个.解法2:分步计算.先排个位数字，有A2种排法，再排十位和百位数字，有 A42种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有A2 A2 =24个.解法3:按概率算.1I用1-5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 A3 =60个，其中偶点其中的-.因此三5位偶数共有60 M 2 = 24个. 5解法4:利用选择项判断.用1-

29、5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 A3 =60个.其中偶数少于奇数，因此偶数的个数应少于30个，四个选择项所提供的答案中，只有 A符合条件. 应选A.典型例题十五i I1 I I例15 计算A11 +2A2 +3A3 +82.(2)求Sn =1!+2!+3!+n! (n之10)的个位数字.分析：本题如果直接用排列数公式计算，在运算上比较困难，现在我们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑.在(1)中，项可抽象为nA： =(n +1 1)A： =(n+1)A： nA： =A：； An, (2)中，项为 n! = n(n 1)(n 2)3 2 1 ,当 n25时，乘积中出现

30、5和2,积的个位数为0,在加法运算中可不考虑.解：(1)由 nAn =(n +1)! -n ! .原式=2! 1! +3! 2! + +9! 8! =9! 1! =362879 .欢迎共阅欢迎共阅（2）当 n 之5 时，n!=n（n_1）（n2）3 2 1的个位数为 0,Sn =1! +2! +3! +n!（n之10）的个位数字与1! +2! +3!+4!的个位数字相同.而1! +2!+3!+4!=33 ,&的个位数字为3.说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键，比如：求证:+Z +2+=1-,我们首先可抓等式右边的2!3!4! （n 1）! （n 1） !n _ n 1

31、 -1 _ n 11_ 11（n 1）! "（n 1）! " （n 1）! 一（n 1）! - n! "（n 1）!'左边=1-21！ I11_+3! n !1(n 1)!=11(n 1) !=右边.典型例题十六例16用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数，（1）可以组成多少个无重复数字的3位偶数？（2）可以组成多少个无重复数字且被 3整除的三位数？二，分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是 0,由于个位用或者不用数字0,对确定首 位数字有影响，所以需要就个位数字用 0或者用2、4进行分类.一个自然数能被3整除的条件是所 有数字之和是3的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字 0进行分类.解：（1）就个位用0还是用2、4分成两类，个