立体几何基础题题库(240道附详细解析)

1、立体几何基础题题库（240道附详细解析）361.有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面？解析：有5个暴露面.如下图，过 V作VS IJAB,那么四边形 S ABV为平行四边形，有/ S VA=Z VAB=60 ,从 而A S VA为等边三角形，同理 AS VD也是等边三角形，从而 AS AD也是等边三角形，S重合.这说明A VABW A VSA共面，A VCg A VSM面，故共有 5个暴露面.362.假设四面体各棱长是 1或2,且该四面体不是正四面体，那么其体积的值是 J 只须写出一个可能的值）解析：该题的显著特点是结论发散而不惟.此题表面上是考查锥体求积

2、公式那个知识点,实际上要紧考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除1,1, 2,可得 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2,然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.2,另一边为1,对棱由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为 相等的四面体.关于五条边为2,另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1,取AD的中点为M,平面BC附巴三棱锥分成两个三棱车B,由对称性可知ADL面BCM且Vabc而VDbcm因此Vbc= Sa bcm, AD.3o001 0.15CM=vCD2 - DM 2 =、22 -(-)2

3、 =；-.设 N 是 BC 的中点，那么 MNL BCMN=v：CM2 -CN2 =-1 =211 ，从而 Sabcm=- X2X11=W42222故 VabcJx 由 X1二色. 3262关于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V= J(a2 +b2 _c2)(b2 +c2 _a2)(c2 +a2 -b2) 12不妨令a=b=2, c=1,那么(44 二 1)(4一1 14)(1 一4 二4)v=_.12二71212363.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰）,冰面上留下了一个直径为24cm,深

4、为8cm的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为 R依题意知截面圆的半径r =12,球心与截面的距离为 d = R-8,由截面性质得：r2+d2= R,即 122+（R-8） 2= W得R= 13该球半径为13cm.364.在有阳光时，一根长为 3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为J3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上， 如下图，求球的阴影部分的面积（结果用无理数表示）.解析：由题意知，光线与地面成60。角，设球的阴影部分面积为S,垂直于光线的大圆面积为S,那么Scos30 = S,同时S = 9兀，因此S=6，3兀（米2）365.设棱锥M卜ABCD勺底面是正方形，且 M MQ M

5、/L AB,假如A AMD勺面积为1 ,试求 能够放入那个棱锥的最大球的半径.AB解析：- AB AD, AB MA.ABL平面 MAQ由此，面 MADL面 AC.记E是AD的中点，从而MEL AD.ME!平面 AC, 设球。是与平面 不妨设OC平面ME EFMAD AC 平面 MBCIB相切的球.设球。的半径为MEF因此。是AMEF的内心.r,那么r =2SamefEF EM MF设 AD= EF= a,SaAMD= 1.ME= 2 .MF= fa2 +(2)2 , a ： a 2 /2、22 2.2a ()a=.2-1当且仅当a= 2,即a= 又 BiC BC, A1BiABiC= B1,

6、.BC平面 ABCD, O为垂足，.AQ为AB在平面A1B1CD上的射影，那么/ BAO为A1B与平面ABCD所成的角、sin / BAO= -BO =1 ,/ BAO= 3 0 、A1B 22连结AQ交BD于Q,连BO,作 BiHL BO于 H . A1C1,平面 DDBB, .ACBH 又 BHL BO, AQnBO=Q,，BHL平面 ACB, / BBO为BB与平面AQB所成的角，tan Z B1BO =巴!=池，即BB与平面AQB所成的角的正切值为 B1B2379. RtABC中，/ C=9 0 , BC= 3 6,假设平面 ABC外一点P与平面 A, B, C三点等 距离，且P到平面

7、ABC的距离为8 0, M为AC的中点、1求证：PML AC2求P到直线AC的距离；3求PM与平面ABC所成角的正切值、 解析：点P到 ABC的三个顶点等距离，那么 P在平面ABC内的射影为 ABC的外心，而ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点、证明 1. PA= PC M是 AC中点，PML AC 解 2BC= 3 6 ,MH= 18，又 PH= 8 0 , PM= JPH 2 +MH 2 =$80 2 +182 =82 ,即 P 到直线 AC 的距离为 8 2 ;3PM=PB=PC，P在平面ABC内的射线为 ABC的外心，/C=90P在平面ABC内的射线为 AB的中点Ho.PHI平面 A

8、BC 1 HMK/ PM平面 ABC上的射影，那么/ PM PM与平面 ABC所成的角，tan Z PMH=PHMH80 4018 二380.如图，在正四面体 ABCM。各面基本上全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值、 解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出 M在平面BCD内的a射影，而M为AD的中点，故只需观看 A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗、解 作AOL平面BCD O,连DO彳MNL平面 BCDF N,那么NC OD设 AD= a,那么 OD= 2 ,史a=3.a, A氏 V,AD又 tan/AB1Mh3,那么/ AMN= /ABM

9、 . B1M MN由三垂线定理知，CM MN382.如图，ABCM 直角梯形，/DAB= / ABC= 9 0 , AB= BC= a, AD= 2 a, PA1平面 ABCD PA= A(1) 求证：PCX CD (2) 求点B到直线PC的距离、解析：1要证PC与CD垂直，只要证明 AC与C诉直，可按实际情形画出底面图形进行 证明、2从B向直线PC作垂直，可利用 PBC求高，但需求出三边，并判断其形状事 实上，那个地方的/ PBC= 9 0；另一种重要的思想是：因 PC在平面PAC中，而所作BH 为平面PAC的斜线，故关键在于找出 B在平面PAC内的射影，因平面PAC处于“竖直状态”， 那么

10、只要从B作“水平”的垂线，可见也只要从 B向AC作垂线便可得其射影、证明 1取AD的中点E,连AC, CE那么ABC国正方形， CED为等腰直角三角形、 -OD2 =6a ,3 233MN=g a、 6又. CMh 13 a ,CN= * CM 2 -MN 2 =:二a =也 a、2； 126二.CM与平面BCD所成角的余弦值为 型=、CM 3381.如图，在正方体 ABCD- A1BCQ中，M是棱 AA的中点，N在AB上，且AN： NB= 1 : 3, 求证：GML MN解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难、此题GM与MN相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂

11、直，另一方法为：因MN是平面A1ABB内的一条直线，可考虑 MC在平面A1ABB内的射影、证明1设正方体的棱长为a ,那么MN= 口 a ,4CMh Ja2 +a2 +1)2 =-3 a , 0 N= ja2 +a2 +号)2 = a，mN+MC =NG、，CML MN证明2 连结BM CiBiL平面 AiABB,BiM为GM在平面AiABB上的射影、111仅Hx为 a , AN= a , AM a , tan / AMIN=, 422.AC，CDPAa平面 ABCD AC为 PC在平面 ABCDk的射影，PCXCQ解 2连BE交AC于O,那么BEX AC又 BEX PA ACA PA= A,

12、BEX平面 PAC过。作OHL PC于H,连BH,那么 BHL PC. PA= a, ac= 72a ,. PC= 73a ,那么 OH 1 a 4f2a =叵 a 2. 3a 6BO=且 a ,BH= JBO 求证：MNL CD 假设/ PDA= 45 ,求证：MNL平面 PCD证明 1连 ACA BD= 0,连 NQ M0 那么 NO/ PA. PAU面 ABCD 1 NOL平面 ABCD. MOL AB, . MNL AB,而 CD/ AB, . MNL CD +OH 2 =变 a23383 .四面体ABCDW四个面中，是直角三角形的面至多有A1 个B2个C3 个D4 个设底面为直角三角

13、形, 本上直角三角形、解析：D从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，那么如此的四面体的每个面基384 .直角三角形ABC的斜边AB在平面a内，直角顶点C在平面a外，C在平面a内的射影为。，且Ci宓AB,那么 CAB为A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D以上都不对解析：C. GA2+GB2FQ = -PCPC-PB2 卜=FQ = -PB注 要充分注意平面几何中的知识 中的运用。390. a n 3 =C, all b,a a a 解析：b / a,b a ,a a a , 又 bu 3 , a n 3 =c b /又 AE! b, AE AAF=AEF匚平面 AEF aEF,bb /n FQ =

14、 FBBE =EQ = ；BCnEFLBC(如此题中三角形重心性质，等腰三角形性质等)在证题3 ,AWa,AE，b 于 E, AFL c 于 F,求证:c,又 AUcAF b.b,平面 AEF a / b a,平面 AEF ；391.如图， ABC为锐角三角形，PA1平面ABC A点在平面aEF一FCA aPBC上的射影为H,求：H不可能是 PBC的垂心、解析：连结CH那么CH是AC在平面PBC内的射影，假设 H为垂心，那么 CHL PB,由三垂 线定理得 ACL PB,又PA1平面 ABC，PA! AC,AC!平面 PAB从而 AC! AB与 ABC为锐角三角形矛盾，故H不可能是垂心、392

15、.如图，BCD是等腰直角三角形，斜边 CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影、1求PB与平面BC所成角；2求BP与平面PCD 所成的角解析：1PD1平面BCD，BD是PB在平面BCD内的射影，/ PBD为PB与平面BC所成角,BDLBC,由三垂线定理得 BCL BD,BP=CD 设 BC=a,那么 BD=a BP=CD=/2 a.,.在 Rt BPD 中,cos / DBP=，/DBP=45 ,即PB与平面BC所成角为452过B作B已CD于E,连结 PE, PD1平面 BCD导PDL BE, B已平面 PCD2一/ BPE为 BP与平面 PC所成白角,在 RtBEP中,BE=

16、a, BP=/2 a,，BPE=30 即BP与平面PC所成角为30、B393.正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为6 ： 2 ,求侧面与底面所成的角的大小。解析:为hBC如图，正四棱锥 P-ABCD勺一个对角面 PAC设棱锥的底面边长为, a,、高为h,斜高,底面中心为 O,连PQ那么POL底面 ABCD - PCAC在 PAC中，AC=(2a?PO=h一 1 一一 . 2 ,S PAC = AC PO = ah221 在 PBC中，S#bc = ah2.c C、2 1 S Pac ： S. pbc = 2 ah : 2 ah取BC中点E,连OE PE,可证/ PEO即为侧面与底面所成两

17、面角的平面角。在 RtPOE中,sin / PEO=PO =辿，PEh2nn丁./ PEO,即侧面与底面所成的角为一.33394.如右图，斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACBC, ABAC, AB=3, AC=2侧棱与底面成 60 角。1求证：AC1面 ABC;2求证：。点在平面ABC上的射影H在直线AB上；3求此三棱柱体积的最小值。解析：1由棱柱性质，可知 AC1/AC AiGlBC,AC_LBC,又AC_LAR . .AGl 平面 ABC2由1知AC_L平面ABC,又AC=平面ABC平面 ABQ_平面 ABC在平面 ABG内，过。作GH_LAB于H,那 么CH_L平面ABC 故点Ci在

18、平面 ABC上的射影H在直线AB上。3连结HC由2知GH_L平面ABC/CCH确实是侧棱CC与底面所成的角， ./ GCH=6CT , CH=CH tan60 =J3ch11棱柱=S abc C H =一AB A AC C1 H 二一3：2,：3CH = 33 3CH CA_LAB,CH之AC =2 ,因此棱柱体积最小值 3 E作棱柱的截面 ADEACB1求4ADE的面积；2求证：平面 ADEL平面 ACGA。 解析：分别在三个侧面内求出 ADE的边长AE=J2 a, AD a, DE=jBC2 +(ECBD)2 = Ja2 +($2 =*a截面ADE为等腰三角形S= 1AE h-、2a J

19、5 a)2 -( 2 a)2 =3a2 222242底面 ABCL侧面 AAGCAABC& AC上的高 BML侧面 AACiC下设法把BM平移到平面AED中去取AE中点N,连MN DN MN 2 1 EC, BD, 1EC 一一 22MN =BDDN / BMDN,平面 AAGC平面ADEL平面AACiC397.斜三棱柱ABC-ABC中，底面是边长为 4cm的正三角形，侧棱 AA与底面两边 AB AC 均成600的角，AA=71求证：AA，BC;2求斜三棱柱 ABC-AiBG的全面积；3求斜三棱柱 ABC-A1B1G 的体积；4求AA到侧面BBGC的距离。解析：设Ai在平面ABC上的射影为0

20、/AiAB=/ A ACO在/ BAC的平彳T线 AM上 ABC为正三角形 AMXBC又AM为AA在平面 ABC上的射影A BC2Saa1cle =Saa1b1b =AB AAiSin. AiAB =4 7 =14 一 3 BiB/ AABiB BC,即侧面BBCC为矩形Sod c c =4 7 =28 BBiCiC又 S.A1B1cl =SABC42 - 4 - 3S 全=143 M2 +28 +473 父2 =28 +363 (cm2)3cos / AAB=cosZ AiAO- cos / OABcos . A1AB cos600. 3cos / AiAO=1=cos OAB cos300

21、36 sin / AAO=3AiO=AAsin Z AiAO=7 663V =S&bc A1O 42 K7V6 =28 板(cm3)434把线AiA到侧面BBCiC的距离转化为点 A或A到平面BBCiC的距离为了找到Ai在侧面BBCiC上的射影，首先要找到侧面 BBCC的垂面设平面 AAM交侧面 BBCC于MM BSAM BC AiABC，平面 AAMM平面 AAMMX侧面 BCCBi在平行四边形AAMM中过Ai作AiH，MM, H为垂足那么AH，侧面BBCC线段AiH长度确实是 AiA到侧面BBCiC的距离AiH-AiMisnAiMiH-AiMisin.AiAM：23 ”，2.)398.平面

22、a内有半径为 R的。Q过直径 AB的端点A作PA1 a , PA=a, C是。上一点, ZCAB=6(5,求三棱锥P OBC勺侧面积。解析：三棱锥POBC勺侧面由 POB APOCC PBC三个三角形组成在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意 PAL平面 ABC PAX ACO AC为PC在平面 ABC上的射影 BCXAC BCXPC -ii 2S POB =_ OB PA = a o 3BC=ABsin600=2a - - . 3a 2- . AC=aPC= , 2ai,6 2-S POB =PC BC =a2 22SzPOC =-2oC、:PO2 -(2-OC)2 =?a2.c i 2.

23、627 2 22-6.7 2S侧=一a 十a 十a =a2244399.四棱锥V ABC陈面是边长为4的菱形，/ BA,简化计算POC中,PO=PC=2a, OC=a0, VA1底面 ABCD VA=3, AC与 BD交于O,i求点V到CD的距离；2求点V到BD的距离；3作O。VC,垂足为F,证 明OF是BD与VC的公垂线段；4求异面直线 BD与VC间的距离。解析：用三垂线定理作点到线的垂线 在平面 ABCDHAH CD, E为垂足 VAL平面 ABCDAE为VE在平面 ABCDk的射影 VEX CD.线段VE长为点V到直线CD的距离 /BAD=i20/ADC=60ACM正三角形E 为 CD中

24、点，AE=W3M4=2J32VE= . VA 2 AE2 =、21 2 AOXBD由三垂线定理 VOL BDVO长度为V到直线BD距离VO= . VA 2 AO2 .13 3只需证。吐BDBD HG BDL VA BD，平面 VAC BD OFOF为异面直线BD与VC的公垂线 4求出OF长度即可 在Rt VAC中OC=1 AC=2 VC=. VA 2 AC2 =5 2OF=OC- sin Z ACF=OC VA =2 M3 =6 VC 5 5400.斜三棱柱 ABC-ABC的底面 ABC中，AB=AC=10 BC=1Z Ai到A、B、C三点的距离都 相等，且AA1=13,求斜三棱柱的侧面积。解

25、析：,AiA=AB=AC点Ai在平面 ABC上的射影为 ABC的外心，在/ BAC平分线 AD上 AB=AC ADXBCAD为AiA在平面 ABC上的射影 BCXAA1 BCXBB BBiGC 为矩形，S=BBXBC=156 取AB中点E,连AiE AiA=AB AiE AB2 AB、2.A1E = .AA12 -( 2 )2 =i2解析： 设/ ACD= 0 ,那么/ BCD= 90 -。，作 AML CD于 M BN CD N,因此 A隹 bsin 0 ,CN= asin 0 .MN= | asin 0 -bcos 0 | ,因为 A CD-B 是直二面角，AML CD BN! CD .

26、.AMW BN成 90 的角，因此 ab= $b2 sin2 6+a2 cos29+(asin -bcos8)2 = Ta2+b2 -absin2日 a2 b2 - ab .当0 =45即CD是/ ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为 Ja2 + b2 ab .402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.:从二面角a -AB- 3内一点P,向面a和3分别引垂线PC和PD,它们的垂足是 C和D.求 证：/ CPD二面角的平面角互补.A证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E,PCX a , PD 3 PCX AB, PD AB .-.CE AB,

27、DEI AB又 CE= a , DE= 3 ,CED二面角 a -AB- 3 的平面角.在四边形 PCEDrt： / C= 90 , Z D= 90 / CPM口二面角 a AB 3 的平面/ CBM补.403.求证：在二面角，从二面角的棱动身的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.:二面角a - ED- 3 ,平面尸过ED, AC 7 , AB a ,垂足是B.ACX 3 ,垂足是 C. 求证：AB： AC= k（k为常数）证明：过AR AC的平面与棱 DE交于点F,连结AF、BF、CF.-. AB1 a , AC 3 . AB1 DE AC DE. DEL平面 ABC

28、.1. BF DE, AF DE, CF DE./ BFA, / AFC分别为二面角a - DE- Y , Y-DE- 3的平面角，它们为定值.在 Rt A ABF中，AB= AF - sin / AFB.在 RtAAFC中,AC= AF - sin / AFG 得：ABAF sin AFB 古.ACAF sin AFC404. 假如直线l、m平面a、3、7满足l = 3 n Y ,l /“，mu a和ml y .那么必有（）A. a，7 且 l，m B. a，7 且 3C.m/ 3 且 l，mD. a / 3 且 a，？解析：m匚 a ,m y .a V .又ml ，, 3 门；=l. 1-

29、 ml l.应选A.说明此题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力Ji405. 如图，在梯形 ABCD, AD/ BC, / ABC= , AB= a,AD= 3a,且/ ADG= arcsin2又PA1平面ABCD AP= a.求：（1）二面角PCD-A的大小（用反三角函数表示）；（2）点A到平面PBC的距离.解析：作CD，AD于 D , ABCD 为矩形，CD = AB= a,在 Rt A CD D 中.-.1 / ADC= arcsin5-, IPX Dz DG= arcsin -5 ,CD .5 sin / CDD =CD 5.CD= 75 aD D= 2a. AD

30、= 3a, AD = a= BC又在 Rt A ABC中，AC= vAB2 +BC2 = 2 a, . PA，平面 ABCD 1 PA! AC, PAL AD, PAI AB.在 Rt A PAB中，可得 PB= V2 a.在 Rt A PAC 中,可得 PC= J PA2 +AC2 = 73 a.在 Rt A PAD中,PD= Ja2 +(3a)2 = v10 a. PC2+CD2= ( J3 a) 2+(而 a) = 8a2v ( V10 a)2 .cos/PCD 0,那么/ PCA 90作PH CD于E, E在DC延长线上，连 AE由三垂线定理的逆定理得AH CD / AEP为二面角P-

31、 CD- A的平面角.在 Rt A AED中 / ADE= arcsin5 A c,AD= 3a.5.AE= AD- sin Z ADE= 3a -35a.5在 Rt A PAE中，tan / PEA=PAAEa15a5,53，/ AE之arctan上5 ,即二面角 P CD) A的大小为arctan上5 .(2) 1. ADX PA AD AR . . ADL平面 PAB. BC/ AD,Bd平面 PAB. 平面 PBCL平面 PAB 彳AHL PB于 H,. AFU平面 PBC.AH为点A到平面PBC的距离.PA ABa a.2在 Rt A PAB中，AH= = a.PB.2a22即A到平

32、面PBC的距离为 a.2说明(1)中辅助线AE的具体位置能够不确定在DC延长线上，而直截了当作 AE CD于E,得PE CD从而/ PEA为所求，同样可得结果，幸免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求 .406. 如图，在二面角aI 3 中，A、BC a , CDC l, ABCM矩形，PC 3 ,PA!a ,且PA= AD M N依次是 AR PC的中点.(1)求二面角a I 3的大小；(2)求证：MNL AB;求异面直线PA与MN/f成角白大小.解析：(1)连 PD, ABCM矩形,AD DC 即 ADL I.又 PAL I ,PD I.P、DC 3 ,那么/

33、 PDA为二面角a -I- 3的平面角.PA，AD, PA= AD,A PAD是等腰直角三角形，二./ PDA= 45 ,即二面角a I 3的大小为45 .(2)过M作ME/ AD,交CD于E,连结 NE 那么 MEL CD NE! CD 因此，CD,平面 MNE CDL MN. . AB/ CD . . MNL AB过N作NF/ CD交PD于F,那么F为PD的中点.连结AF,那么AF为/ PAD的角平线， 丁./ FAD= 45 ,而 AF/ MN，异面直线 PA与 MN/f成的 45 角.407. 如图，在三棱柱 ABC-A B C中，四边形 A ABB是菱形，四边形 BCC B是矩 形，

34、C B AB.(1)求证：平面 CA B,平面 A AB;(2)假设C B =2, AB= 4, / ABB = 60 ,求AC与平面BCC B所成角的大小.(用反 三角函数表示)cAB解析：(1) .在三棱柱 ABG- A B C中，C B / CB . . CB，AB. / CB BB , ABC BB = B,.CB,平面A AB. .CB匚平面CA B,.平面 CA BL平面A AB(2)由四边形 A ABB是菱形，/ABB = 60 ,连AB,可知A ABB是正三角形.取 B B中点 H,连结 AH那么 AHL BB.又由C B，平面 A AB,得平面 A ABB，平面 CBBC,而

35、AH垂直于两平面交线BB,二.AHa平面CBBC.连结CH,那么/ACH为 AC 与平面BCC B所成白角，AB =4, AH= 2$3,因此直角三角形 C B A中,C= 5,在 RtAAHC 中，sin / AC H=/ ACH= arcsin-J3 ,，直线AC与平5面BCC B所成白角是arcsin - . 3 .5408. 四棱锥PABCD它的底面是边长为 a的菱形，且/ ABC= 120 , PCL平面ABCD又PC= a, E为PA的中点.(1)求证：平面 EBDL平面 ABCD(2)求点E到平面PBC的距离；求二面角A BE- D的大小.CD证明：在四麴t P-ABCD43,底

36、面是菱形，连结 AC BD交于F,那么F为AC的中点. 又E为AD的中点，EF/ PC又; PC面 ABCD 1 EFL平面 ABCD.EF=平面 EBD.平面EBDL平面ABCD.(2) EF/ PC, ，EF/平面 PBC.E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离过F作FH! BC交BC于H, PC，平面 ABCD FH匚平面 ABCD PCX FH.又BC! FH,FH,平面PBC 那么FH是F到平面PBC的距离，也是 E到平面PBC的距离. / FCH= 302FH= 1 CF= _3 a.24取BE的中点 G,连接FG AG由(1)的结论，平面 BDa平面 ABCD AF BD

37、, AF，平面 BDC.a BF= EF= a ,FG BE,由二垂线定理得， AG BE,2 /FGA为二面角 D- BE- A的平面角.a . 22、3FG a x= J a,AF = a.AF .tg / FGA= - = J6 , / FA8 arctg J6即二面角 A BE D的大小为arctg、:6409.假设A ABC所在的平面和A ABC所在平面相交，同时直线AA、BB、CC相交于一点 O, 求证：(1)AB和AB、BC和BG、AC和AQ分别在同一平面内；(2)假如AB和A1B1、BC和BiG、AC和AiC分别相交，那么交点在同一直线上(如图).(1 )证明： AAn BB

38、= O,.AAi、BB确定平面BAO,A、Ai、B、B都在平面 ABO内， ABU平面 ABO A1B1U 平面 ABO.同理可证，BC和BQ、AC和AC分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可依照公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上证明：如图，设ABn AB=P;A8 AG= R; 面 ABOH面 AiBiCi= PR. BCU 面 ABC B1C1U 面 A1B1C, 且 BC n BG = QQ PR,即P、R、Q在同一直线上.410. 点P、Q R分别在三棱锥 A-BCD的三条侧棱上，且 POP BC= X,QRA C

39、D= Z,PRA BD=Y.求证：又Y、Z三点共线.解析： 证明点共线的差不多方法是利用公理2,证明这些点是两个平面的公共点.证明P、Q R三点不共线，P、Q R三点能够确定一个平面 ”. X C PQ PQ匚 a , . .xe a ,又 XC BC, BC=面 BCD XC 平面 BCD.点X是平面a和平面BCD勺公共点.同理可证，点Y、Z基本上这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面a和平面BCD勺交线上.411. 直线m n分别和平行直线 a、b、c都相交，交点为 A B、C D E、F,如图，求证： 直线a、b、c m n共面.解析：证明假设干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在那个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合证明 a / b, 过a、b能够确定一个平面 ”.,AC a,a u a ,AC a ,同理 BC a.又 AC mi, BC m, mu a .同理可证 n二 a .b / c,过b,c能够确定平面3 ,同理可证