人教版高中数学选修（2-1）-3.2《立体几何中的向量方法（第3课时）》教学课件2

1、-利用向量解决空间的角问题利用向量解决空间的角问题3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法( (三三) ) 空间向量的引入为代数方法处理立体几何空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空

2、间角问题。间角问题。1.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角(1)定义定义:设设a,b是两条异面直线是两条异面直线,过空间任一点过空间任一点O作直线作直线a a, b b,则则a , b 所夹的锐角或直角叫所夹的锐角或直角叫a与与b所成的角所成的角.(2)范围范围:(3)向量求法向量求法:设直线设直线a、b的方向向量为的方向向量为 ,其夹角为其夹角为 ,则有则有(4)注意注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作应取其补角作为两异面直线所成的角为两

3、异面直线所成的角.(0,2 , a b |cos| cos| |a bab 空间三种角的向量求解方法空间三种角的向量求解方法 2.2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)(1)定义定义: :直线与它在这个平面内的射影所成的角直线与它在这个平面内的射影所成的角. .(2)(2)范围范围: :(3)(3)向量求法向量求法: :设直线设直线l l的方向向量为的方向向量为 , ,平面的法向量平面的法向量为为 , ,直线与平面所成的角为直线与平面所成的角为 , , 与与 的夹角为的夹角为 , ,则有则有0,2 u a a u |cos|cos|cossin| |a uau 或或 lBDCA3.3.

4、二面角二面角(1)(1)范围范围: :(2)(2)二面角的向量求法二面角的向量求法: :若若ABAB、CDCD分别是二面角分别是二面角 的两个面内的两个面内与棱与棱l l垂直的异面直线垂直的异面直线, ,则二面角的大小就是向则二面角的大小就是向量量 与与 的夹角的夹角( (如图如图(1)(1)设设 是二面角是二面角 的两个面的两个面 的的法向量法向量, ,则向量则向量 与与 的夹角的夹角( (或其补角或其补角) )就是就是二面角的平面角的大小二面角的平面角的大小( (如图如图(2)(2)0, l AB CD l , 12,n n 1n 2n l1n 2n (1)(2)例一：例一：090 ,Rt

5、 ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|A

6、F BDAFBD 113041053421BD1AF3010练习：练习： 在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10AM AD 1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)MABCD1A1B1C1DMNxyzADANM与平面所成角的正弦值是2 55练习：练习：1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBC

7、B M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：在长方体在长方体 中，中，(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD AD 2 55 ABCD1A1B1C1D以以AB所在直线为所在直线为x轴轴,AD所所在直线为在直线为y轴轴,所在直线为所在直线为z轴轴.易求平面易求平面AB1C的一个法向量的一个法向量故得故得B1C1与面与面AB1C所成得所成得角得余弦为角得余弦为3311(1, 1, 1),(0,1,0)nBC 及及练习：练习：1111ABCDABC D

8、的棱长为的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角正方体正方体,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0,1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126c

9、os,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是 例例4 4：如图：如图3 3，甲站在水库底面上的，甲站在水库底面上的点点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B处。处。从从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）（库底与水坝的交线）的距离的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长的长为为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成。求库底与水坝所成二面角的余弦值。二面角的余弦值。 labcd解：解：如图，如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算进

10、行向量运算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB A AB BC CD D 图图3 3DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 所以所以设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所就是库底与水坝所成的二面角。成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab .2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值库底与水坝所成二面角的余弦值为为.22222abdcba 222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB 用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；题转化为向量问题；（2 2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3 3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译