大学物理 吴百诗版 第一章1-2

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 设质点绕圆心在作变速圆周运动，设质点绕圆心在作变速圆周运动，在其上任意选一点可建立如下坐标系，在其上任意选一点可建立如下坐标系，其中一根坐标轴沿轨迹在该点其中一根坐标轴沿轨迹在该点P P 的切的切线方向，该方向单位矢量用线方向，该方向单位矢量用et t 表示；表示；另一坐标轴沿该点轨迹的法线并指向另一坐标轴沿该点轨迹的法线并指向曲线凹侧，相应单位矢量用曲线凹侧，相应单位矢量用en 表示，表示，这就叫这就叫自然坐标系。自然坐标系。 tenetene 显然，沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断变显然，沿轨迹上各点，自然坐

2、标轴的方位是不断变化着的。化着的。1.1.自然坐标系自然坐标系P上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出BRd Avdvv 为单位矢量，为单位矢量， 大小不变，但方向改变大小不变，但方向改变te2.2.切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度ttddddrsvevetttddrse因为因为tdd( )ddvav t ett所以所以t时刻时刻：A点点t+dt时刻时刻：B点点 dt时间内经过弧长时间内经过弧长dsds对应圆心角角度对应圆心角角度d dvvv上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出tdd( )ddvav t

3、etttnnnddddddddesveeettstR2tnddvvaeetRtdetetedttdd()ddevaevtt 即即与与 同向同向neBRd Avdvvttdee因为因为tnddee所以所以上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出圆周运动中的圆周运动中的切向加速度切向加速度at和和法向加速度法向加速度an2tnddvvaeetRtddvat2nvaR22tn,aaa 切向加速度改变速度的大小，法向加速度改变速切向加速度改变速度的大小，法向加速度改变速度的方向。度的方向。2tnttnnddvvaeea ea etR上页上页 下页下页 返回返回 退出

4、退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出OxR 1v2vs ABt Att+qq+B角位移角位移沿沿逆时针逆时针转动，角位移取转动，角位移取正正值值沿沿顺时针顺时针转动，角位移取转动，角位移取负负值值角位置角位置角速度角速度角加速度角加速度 0dlimdttt 单位：单位：rad/s220ddlimddtttt 单位：单位：rad/s2上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出匀角加速圆周运动匀角加速圆周运动是恒量是恒量0t20012tt00ddtt00dtt一般圆周运动一般圆周运动22002() 匀速圆周运动匀速圆周运动 是恒量是恒量ddt00ddttt

5、0讨论：讨论：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出ROx 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 + 0 0+ t+ tBtA 如如图所示，一质点作圆周运动：图所示，一质点作圆周运动：在在 t 时间内，质点的角位时间内，质点的角位移为移为 ，则则A、B间的间的有向有向线段线段与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：得到速度与角速度之间的关系：Rv 00limlimt

6、tABAB 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：加速度之间的关系：taR 将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：式，得到法向加速度与角速度之间的关系：2nvaR2R线量线量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度t2nvRaRaR上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出tn1.0 , 0aa匀速直线运动匀速直线运动匀变

7、速直线运动匀变速直线运动匀速率圆周运动匀速率圆周运动变速曲线运动变速曲线运动tn2. , 0acatn3.0 , aactn4.0 , 0aa讨论：讨论：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题1-3 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=24 60 60 s，角速度大小为角速度大小为2T=517.27 10 s 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的平面内点，在与赤道平行的平面内作圆周运动作圆周运动, , cosRRR 赤道赤道Rp 其轨道的半径为

8、其轨道的半径为上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出rvcosR24.65 10 cosm/sran2cos2RP点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P点速度的方向与过点速度的方向与过P点运动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。223.37 10cosm/sP点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬已知北京、上海和广州三

9、地的纬度分别是北纬39 57 、31 12 和和 23 00 ，可算出三地的，可算出三地的v 和和 an分别为分别为北京：北京：356m/s,v 22n2.58 10 m/sa上海：上海：398m/s,v 22n2.89 10 m/sa广州：广州：428m/s,v 22n3.10 10 m/sa上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出解：解：由题意，可得该点的速率为：由题意，可得该点的速率为： 例题例题1-4 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为关系为 ，v0、b都是正的常量。都是正的常量。（1 1）求该点在时刻）求

10、该点在时刻 t 的加速度；的加速度；（2）t 为何值时，为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为飞轮的半径为R。 2/20bttvs200dd1()dd2svv tb tvb ttt 上式表明，速率随时间上式表明，速率随时间t而变化，该点做匀变速而变化，该点做匀变速圆周运动。圆周运动。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出tnaa22tnaaa20()arctanvbtRb （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小: :tvddRv222dd

11、tsbRbtv20)(420()()vbtbRR加速度方向由它和速度的夹角确定为加速度方向由它和速度的夹角确定为Rovnataa上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 （2）令令at= an，即即20()vbtbR0bRvbt得得0() /tvbRb上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题1-5 如图如图a所示为一曲柄连杆机构，曲柄所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA长为长为r，连杆，连杆AB长为长为l，AB的一段用销子在的一段用销子在A处与曲处与曲柄柄OA相连，另一端以销子在相连，另一端以销子在B处与活塞相连。当曲处

12、与活塞相连。当曲柄以匀角速柄以匀角速绕轴绕轴O旋转时，通过连杆将带动旋转时，通过连杆将带动B处活处活塞在汽缸内往复运动，试求活塞的运动学方程。塞在汽缸内往复运动，试求活塞的运动学方程。解：解：取取O为原点，为原点，Ox轴水平向左，如图轴水平向左，如图b所示；并设所示；并设开始时，曲柄开始时，曲柄A在在Ox轴上的点轴上的点P处。当处。当曲柄以匀角速曲柄以匀角速上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出转动时，在转动时，在t时刻曲柄转角为时刻曲柄转角为= =t以，这时以，这时B处活塞处活塞的位置为的位置为x=OR+RB，即，即222221sin1sin2rlrtl

13、tl222cossinxrtlrt这就是活塞的运动学方程这就是活塞的运动学方程我们把上式右端第二项按二项式定理展开为级数：我们把上式右端第二项按二项式定理展开为级数：221cos1sin2rxrtltl一般一般r/l1/3.5,因此高阶小量可以略去，于是的活塞因此高阶小量可以略去，于是的活塞的运动学方程的运动学方程上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出Oxy0v maxymaxx0000cossinxyvvvv gaayx0而而 抛体运动抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体在从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动。空中所做的运动。 以抛射点为坐标原

14、点建立坐标系，水平方向为以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x x轴，竖直方向为轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻轴。设抛出时刻t=0的速率为的速率为v0，抛抛射角为射角为 ，则初速度分量分别为则初速度分量分别为上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出020cos1sin2xvtyvtgt00dcosddsindxyxvvtyvvgtt故任意时刻的速度为故任意时刻的速度为将上式积分，得运动方程为将上式积分，得运动方程为上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时物体在空中飞行回落到抛出

15、点高度时所用的时间为间为 gvT sin20 飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离）为经过的水平距离）为 gvx 2sin20max 运动方程消去时间参数运动方程消去时间参数t，得到抛体运动的轨得到抛体运动的轨迹方程为迹方程为 2202cos21tanvgxxy 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出若若 ，则，则 ， 此时为平抛运动；此时为平抛运动； 0 0max y若若 ，则，则 ，此时射程最大；，此时射程最大； 4gvx20max 若若 ，则，则 ，此时为竖直抛体运动。，此时为竖直抛体运动

16、。 20max x飞行的射高飞行的射高（即高出抛射点的距离即高出抛射点的距离）为为 gvy2sin220max 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题1-6 在距离我方前沿阵地在距离我方前沿阵地10001000m处有一座高处有一座高5050m长的山丘，山上建有敌方一座碉堡。求我方的大长的山丘，山上建有敌方一座碉堡。求我方的大炮在什么角度下以最小的速度发射炮弹就能摧毁敌炮在什么角度下以最小的速度发射炮弹就能摧毁敌军的这座碉堡？军的这座碉堡？解：解：由前面分析可知，抛体运动的轨迹方程是由前面分析可知，抛体运动的轨迹方程是2220tan2cosgxyxv

17、由此可解出发射速度由此可解出发射速度v0与发射与发射角度角度 的关系为的关系为012 costangvxxy上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 由上式不难分析出，当由上式不难分析出，当tan=y/x，以及，以及=/2时，时，v0都将趋于无穷大，所以在这中间必存在一个使都将趋于无穷大，所以在这中间必存在一个使v0为极小值的角度，令为极小值的角度，令dv0/d=0，将目标位置，将目标位置x=1000m，y=50m，代入方程求解，原则上可以求，代入方程求解，原则上可以求出击中目标炮弹的最小速度，但由此产生的超越方出击中目标炮弹的最小速度，但由此产生的超越方程

18、难以得出解析解。为此，我们可以编写程难以得出解析解。为此，我们可以编写Matlab程程序，利用计算机的数值解，绘出为了击中目标所发序，利用计算机的数值解，绘出为了击中目标所发射炮弹的初速度与发射角度的关系曲线，并得到在射炮弹的初速度与发射角度的关系曲线，并得到在=46.4时，可以最小速度时，可以最小速度v0=101.5m/s发射炮弹摧发射炮弹摧毁敌军碉堡。毁敌军碉堡。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出v0/(m.s_1)上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题1-7 有一学生在体育馆阳台上以投射角有一学生在体育馆阳台上以投射角=30=30和速率和速率v0=20=20m/s向台前操场出一垒球。球离开手时距向