四级上册“钟面问题”详解

1、四年级上册“钟面问题详解“大自然真是神奇，从来都给我们意想不到的答案。 一一hcj0131从四年级上册我们学到了人类是如何从实物记数、结绳记数、刻道记数开展 到记数符号一一数字的。虽然人们后来发现有二进制、八进制、十六进制等进位 制，但人类与生俱来地适应了十进制一一不过大自然给了我们许多例外，有音高的12进制、时间的60进制等等。“钟面问题就是时间的多种进制在数学上的 应用之一。一、研究“钟面问题的根本知识一钟面的形状及角度计时工具从古代的日晷根据影子确定时间、水钟、烧香计时，到现在的 机械钟、石英钟、原子钟，虽然计时原理变化、时钟形状因为装饰而发生改变， 但假设是以指针表盘作为钟面，大都是圆

2、形的。人们将圆周平均分成360份，并规定每一份的大小称作1度，表示为1°。 因此我们就有了周角360°、平角180°和直角90°的概念。而钟面被平均分成 12个点钟，因此每两个整点数字刻度之间的夹角应该正好是360°十12=30°。每两个整点数字刻度之间的夹角又被平均分成 5份每份是30°十5=6 °，因 此整个钟面被平均分成5X 12=60个刻度，正合每小时60分、每分钟60秒的进 制，多么神奇！二指针运动旋转规律钟面上一般有3种指针：秒针、分针和时针，三种指针都绕着同一个中心点 按照顺时针作旋转运动。秒针每秒运

3、行 1个最小刻度，即旋转6°，分针每分钟 运行1个最小刻度，即旋转6°，时针每小时运行一个整点刻度，即 30°。如果要统一这三种指针同一时间内运行的角度，将形成以下表格。1秒钟1分钟1小时1天秒针6°360°21600°518400°分针。或6'6°360°8640°时针'或 30''° 或 30'30°720°其中，人们规定再将1°平均分成60份，每份为“ 1分，记作“ 1' ；再 将“1平均分成60份，每

4、份为“1秒，记作“ 1''一一这个可与时间的“分、 秒有所不同一一为了不导致混乱，我们尽量用。作单位来研究。、不同类型的典型“钟面问题12点处，每一分都是完典型的钟面问题不考虑秒针或是认为这时秒针在 整的，简化了问题，只要求时针与分针的夹角。一整点的时针与分针夹角问题2： 00或 14： 00> 时针 和分针夹角沖2个整 点，即知° X 2=60°(r L性h4> 90£1& 00i 时针和分针夬角为4个整 点，30* X 4=120*不考虑24小时制即将2点和14点下午2点看做相同点钟，钟面上 有12个整点，从1点整到12点整

5、也即0点整。在这12个整点时，分针指 向“ 12，时针在各个整点上，因此时针与分针夹角为假设干个 30°。如：3： 00或 15： 00,时针 和分針夹莆为$半整 帚 BP30& X3=90°幻17： oa时针 和分针夹角为左个整 点.，BP 304 X 5-150*但如果时针在7、8、9、10、11点，时针和分针的夹角有2个，我们一般计算不大于180°的那个写210°也不是算错误的。如:7:00或19:00时，时针和分针夹角为7个整 点，即30°X 7=210°,但我们一般计算不大于 180° 的角，即 360 &

6、#176;- 210 ° =150 °。二半点的时针与分针夹角问题不考虑24小时制，钟面上有12个半点，从1点半到12点半也即0点半 在这12个半点时，分针指向“ 6，时针在两个整点中间因为时针要随着分针 运动而运动，分针走了半小时，时针也要走半小时，因此时针与分针夹角为假设干个30°再加上1个半点30°十2=15°。如:2： 30或1斗；丸，时针和分 针光角为3又半T整点，即 30° X3+30* 4-2=105°7：孔或19： 30,时針和分 甘夬第为1又半个整点'即 30' ><1十兀

7、76; V27宁0:30或12:30，时针和分针夹角为 5又半个整点, 即30 ° X 5+30 ° - 2=165。，或者可以看作是平 角还少半个整点，即 180 ° - 30 ° - 2=165 °。其实可以发现，整点、半点钟的夹角都是15°的倍数，正好是三角尺拼角的角度请自己想象15°的各个倍数，各可以是几点钟三一般的时针与分针夹角问题如果点钟不是整点和半点，就“比拟麻烦了，因为情况很多，但不变的规律是：分针走了一个小时一周，即 360 °的几分之几，时针也要走一个小时一个点钟，即30。的几分之几。因此，我们

8、只要确定时针和分针各自的位置，再根据他们与指针“ 12的角度之差就可以算出他们之间的夹角了。如:3:24或15:24，时针在3点至4点之间，走了241个小时的64 因为1个小时是60分钟，分针走了 24分钟，时针也要走相应局部，即 30°X =12 ° °X 24=12 °，因此时针与指针“12的夹角是30°X 3+12 60=102。，而分针与指针“ 12的夹角是6 ° X 24=144 °，因此时针与分针的夹角是 144°- 102° =42 °。4:43或16:43,时针在4点至5点之间，

9、与指针“12的夹角是30 ° X°X°而分针与指针“12的夹角是6° X 43=258°，因此时针与分针的夹角是258O O按照这个规律，我们可以分别用字母表示几点几分， 来算出时针与分针的夹 角。如设点钟为XX范围在0至11而分钟为丫范围在00到59，那么X 点丫分时，时针与指针“12夹角为30°X°X 丫，而分针与指针“12夹角 为6°X 丫，它们之差为30° X-° 丫，即此时时针与分针夹角为|30° X-° Y| 绝对值，如是负数那么取其相反数或这个角度与360

10、76;的差值。如：*10才如左图，8:16或20:16,时针与分针的夹角为30°X 8-°X 16=240° 88° =152°。如右图，11:36或23:36,时针与分针的夹角为30°X 11 °X 36=330° 198° =132°。可以用这个“公式来验证整点和半点的时针与分针夹角如果还要考虑秒针的位置，那么道理相同，X :丫 ： Z点钟即X点丫分Z秒 时，也有相应的“公式：X: 丫 : Z时，时针与指针“12的夹角是30 °° '，分针与指针“12的 夹角是6

11、°° Z,秒针与指针“12的夹角是6° Z。三、其他“非典型钟面问题一求一天有几次三针合一时针、分针和秒针在同一位置有人会认为1点5分时时针与分针重合，但其实这时时针已经再走了一些。根据上面整理而成的公式30° X ° 丫可以很容易知道，当这个值是0的时候时 针与分针重合。而其他值那么需要用上面的公式来推导。X: 丫 : Z时，时针与指针“12的夹角是30 °° '，分针与指针“12的 夹角是6°° Z，秒针与指针“ 12的夹角是6° Z。因此，这三个指针与指针“ 12 的夹角必须完全相

12、同才算重合。而 X取值只有011这12种情况，分别代入求 得以下解：方法：先都转化单位为。，统一消去，得方程组1800X+30Y+0.5Z=360Y+6Z360Y+6Z=360Z由可得1800X=330Y+5.5Z由可得360Y=354Z由可得 1800X=330Z将X=0，1,，10，11代入求得相应的Z，再用求得相应的丫当X=0时，丫=0，Z=0，即0点0分0秒;当X=1时，丫=5令，Z=55j，即1点5*分5寻秒;当X=2时，丫=10令,Z=10晋，即2点10：8分1曙秒;1414当 X=3 时，丫=16后,Z=16石，即 3 点 161 分 161 秒;5959当X=4时，丫=21后，

13、Z=21仃，即4点21召 分21召秒;9 393当X=5时，丫=26后，Z=27;p1，即5点26召 分27召 秒; 当X=6时，丫=32鲁，Z=32;8，即6点3请分3请 秒;当 X=7 时，丫=37詈，Z=38：21，即 7 点 37寻分 3S：2 秒;10 7107当X=8时，丫=42石，Z=43后，即8点42石分43石秒; 当X=9时，丫=48鲁，Z=49*j，即9点4昭分4诘 秒;当 X=10 时，丫=53哈，Z=54;pj，即 10 点 5317j 分 54:pj 秒;11 11当X=11时，丫=58石=59，Z=59石=60，即11点59分60秒，也就是12 点整，与0点0分0秒

14、重合了45因此，从0点0分0秒开始，每经过1小时5分5齐 秒三针就重合一次, 每12个点钟，时针、分针、秒针只重合11次，一天之内三针头尾重复不计 只重合22次哦!二三针互相垂直的问题来自百度知道：:/zhidao.baidu /questio n/559159615.html?qbl=relate_question_3&word=%D6%D3%C3%E6%CE% CA%CC%E2原题：一昼夜中24小时，是否存在这样的时刻，使得钟面上的时针、分针、 秒针分别垂直不包括重合，即三针中任意两针在一条直线上，另一针垂直于 这条直线？解法：这题也可以通过三个指针的位置关系来解决。X : 丫 :

15、 Z时，时针与指针“ 12的夹角是30。°'，分针与指针“ 12 的夹角是6°° Z,秒针与指针“12的夹角是6° Z。当X在0至11时，丫都有2种情况使得分针与时针垂直分别是分针与指 针“12夹角比时针与指针“12夹角多90°和270°的情况，而相对应的Z 又都有2种情况使得秒针与时针或分针垂直 分别是秒针与指针“ 12的夹角比 分针与指针“ 12的夹角多90°或180°以及少90°或180°。而再细分一下发现，时针在不同位置时，分针与秒针与指针“ 12的夹角公 式可能会差一个周角，因

16、此具体问题具体分析，结合图像来解答为宜其实是觉 得用绝对值的方法会把问题复杂化。当X=0时，时针在0到1之间，分针夹角有2种情况比时针夹角多90° 和270°，秒针夹角根据分针各有2种情况分别是比分针多90°和180°, 以及比分针少180°和少90°。一一用秒针和分针比拟，因为两者公式相近， 且不牵扯到X。因此X=0就有4种情况详见下面表格。由第一种，有：30°° '+90° =6°° Z 其中 X=06°° Z+90° =6° Z37

17、4374解得X=0，丫=1544，Z=31石。即在0点1544分31石秒时“三针垂直。其他解法类似，解决过程略有兴趣、有毅力的同学们可以借助计算器尝试 一下。得到如下表格。时针在某整点之后在下一整点之前分针夹角比时针夹角秒针夹角比分针夹角XYZ对应时间0多90°多90°0153731110点15分彳沽秒0多90°多 180°01315234弹4611-13八4却0点1522分4殆秒0多 270°少 180°048玄诩0点481孑分197pi秒0多 270°少90°023482334右-23八1却0点4844分341

18、1秒1多90°多90°12144441点2144分彳嗚秒1多90°多 180°12120219511-21八9却1点2022分5111秒1多 270°少 180°13542224卫1点542分2411秒1多 270°少90°1534463911-39八6知1点5344分391秒2多90°多90°22526254谓-25八3知2点2644分4午秒2多90°多 180°226225囁2点2622分5诸秒2多 270°少 180°2302多 270°少

19、90°245算到这边，出现了一个问题。“和“，秒针的指向非常精确，而同时的 时针和分针却还差那么“一点，是时间不可分割还是三个指针的角度公式有误? 请大家继续解释，补充完善吧。F面的局部类似，每3个点钟的情况相似时针在某整点之后在下一整点之前分针夹角比时针夹角秒针夹角比分针夹角XYZ对应时间3多90°多90°3“41314447卫3 点 314 分 47；8i 秒3多90°少 180°31532228211-15八8知3点3222分21秒3少90°多 180°330？ 2点59.5分30秒？3少90°多 270&#

20、176;345？ 2 点 59.25 分 45 秒？4多90°多90°4133744253召-13八2却4点3744分5知秒4多90°少 180°41382228114点3822分811秒4少90°多 180°419422舜1954点4乏分3511秒4少90°多 270°44空44450114点4舊分5022|秒5多90°多90°542295话5点4垮分58：71秒5多90°少 180°594322713石.9八75点4咗分13石秒5少90°多 180°5

21、1022401°5点1022分厶曙秒5少90°多 270°543943105510-43八10却5点944分5511秒可以发现，3点的2种情况正指向2点相应的2种情况，是完全相同的，因此产生的问题也一样。待解答。接下来是6点到8点的局部时针在某整点之后在下一整点之前分针夹角比时针夹角秒针夹角比分针夹角XYZ对应时间6少90°少90°6154.15 八 4 Y、16451'116点1644分1不秒6少90°多 180°6134-13 八415234646116点1522分46H秒6多90°少 180°

22、;648£诩6点481孑分197pi秒6多90°少 270°6111 1494444116点4暂分鴛秒7少90°少90°7Od3121317点鸟筍分窗秒7少90°多 180°7219-21八9却20215117点2022分厶垢秒7多90°少 180°73542224卫7点542分鸟需秒7多90°少 270°7176-17八6却54承9石7点544分苹秒8少90°少90°8327441异1211-3八3小8点2744分12石秒8少90°多 180°826225囁8点2622分厶诸秒8多90°少 180°8308多90°少 270°815