量子力学期末考试试卷及答案

1、量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。2、|¥(r,t)|人2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。4、两个力学量对应的算符业它们具有共同的确定值。二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线

2、性厄米算符。2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A,它的本征态对另一个力学量(对应算符为B)就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。三、证明题。3,4-证明：Lxr-H-rx£=Ziffrr£xp+pxf=Ziftp：x£3=jA(rx£)上(£xr)J：-4筹=诙便m£

3、£-(Ex刃JiiEi1)(txr+rx芯)工=tiy+yEr-=E>,wZx,y由角动量与坐标算符的对易子|£的卒J=EyihXrt知(£Xr4-r-X£)工=2ihrtr同理有(Zxr+rMA)Zitiy,(且x/+丁x£)=ZihzyzC|J£xr+vxE=角动量算符与动量算符的对易子工中以=力户门同上可证2Xp+pXK=2lFlpz)l2x-xV=|亭H=|谎十%+鸟闺三照+层+勺冉闵+bWB+q+%也=0+0+£y一ig)+(_giy+£2(ifty)+Cifty)Az=ift(y£,-z

4、£y)-(Lyz-L*y)=ih*矶-(£M1)J为同理2)可曲外一p$=1A(Px叽-(Z“)J2、证明概率流密度J不显含时间。四、计算题。1、220一个夙量为m的粒产被世加在半径为r=口和l=b的两个不可穿透的同心壕面之间运动，不存在其他势场，求粒子的基态能量和基态液函数.解一利子所处的势场Joa(y<fl).,。(a<r<h)(m(x>b)径同波函数所漏足的边界条件是以rL-a二比00I.3二0一程向部分的薛定得方呜W(产豹十碧E-誓J?=O.(a<<frj.引入变换R(r)=zCr)/rmF/ft2，展态，=0,可化+k10*的触

5、是,=匚占inACr+O.代入边界条件打广尸1匕)=CsinAj(a4-£?J=C£ink(b+e)=o=c?=-a.k=ju/ba)即JZm"?1*=tt/(£jr)n粒广的基在i指量£=kinHT-m,J'',Rl=j|/?(r)|2dr=C2Jsin2k(rq)dr=一w)C*=C=t21_j,n(Ta)甚志波函数W(r,£M=%0%/归一化1=10(rfef(p)2dV=N|R(r)FdrJ：nd叫断口中物=4tt脸3M=(仇年)=1人诟亮态波函数叭-兄中)=限*%式日,华)=意后三也窄券=?初筌第二题：如果类

6、氢原子的核不是点电荷，而是半径为ro、电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对rr。的区域有影响，对r"的区域无影响。据题意H?U(r)U0(r)其中Uo(r)是不考虑这种效应的势能分布，即2U。言U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在rr。区域,U(r)Ze240r在rr。区域,U(r)可由下式得出,U(r)eEdrr14°r2Ze31。Ze20rZe；3r,40r0(rr。)(rr。)r。U(r)eEdrreEdrr。H?Ze24°r。3r。rdrrZe24。r。4drr壬“。280r0Ze24°r。(rr。)U

7、(r)Uo(r)ZeF3r。2r。(rr。)(rr。)由于r。很小，所以H?H?Uo(r),可视为一种微扰,由它引起一级修正为(基态i(。Z3(J)1/2a。Zra。)2Ei(0)*iH?(0).1dZ33a0r0°Zejr；0几r2)Ze24°r2Z-rea04r2dr2Zra0-,42ZeZ3-20%r00(3r02r2r4)dr-,42Ze30a00rdr-,42ZeZ3320a0r0(r。5-,42Ze30a02r。04-,42Ze2773r0100a02Z4e25a32r。第三题 6.2 求自旋角动量在任意方向n (cos,cos,cos )的投影的本征值和本征函数。解：在。表象，Sn的矩阵元为0 1一 cos2 1 00 i一 cos2 i 010一cos2 01Sncoscos i coscos i coscos其相应的久期方程:即: cos2 (cos i cos )2(cos i cos ) cos 222一cos42/22(cos cos ) 04(利用 cos2cos2cos2221)2所以冬的本征值为一。2设对应于Sn-的本征函数的矩阵表示为1(Sn)23coscosIcosa(cosIcos)b(2cosicoscos由归一化条件得：1cos1Icoscos*(a,b)2|aIc