2016寒假讲义中考几何第1章

1、第一章三角形的证明本章进步目标Level 5通过对本节课的学习，你能够：1. 对全等三角形的模型应用达到【初级运用】级别；2. 对全等三角形的综合探究达到【高级运用】级别。VISIBLE PROGRESS SYSTEM 进步可视化教学体系 U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION2第一关关卡 1-1 初级运用过关指南Tips学习重点：能够找到图形中对应的边和角，以及它们的转化.证明手拉手模型中的全等【初级运用】掌握等腰三角形、等理解手拉手模型的图形会判定手拉手模型中的全等边三角形的简单性质特征三角形的解题步骤笔记1、定义法：完全重合的两个三角形是全等三角形。（注意： 一

2、个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略。）2、边边边：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“ SS ”3、边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“ SA ”4、角边角：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ ASA ”5、角角边：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“ AAS ”6、斜边直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“ HL ”例题1如图，点 C 为线段 AB 上

3、一点，分别以 AC，BC 为边在 AB 同侧作等边ACD 和等边BCE， 连接 AE，DB 相交于点 G（1） 求证：AE=DB；（2） 求DGA 的度数VISIBLE PROGRESS SYSTEM拉手模型全等三角形的模型应用三角形的证明 level 52如图，点 C 是线段 BD 上一点，以 BC，CD 分别为直角边作等腰直角ABC 和等腰直角CDE，连接BE 和 AD求证：（1） BE=AD；（2） BEAD3如图，点 C 是线段 BE 上一点，分别以 BC，CE 为边作正方形 ABCD 和正方形 CEFG，连接 BG，DE（1） 猜想图 1 中线段 BG，线段 DE 的长度关系及其所在

4、直线的位置关系；（2） 将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a ，得到如图 2、图 3 所示的情形请通过观察、测量等方法第（1）题中得到的结论是否仍然成立，并利用图 2 证明你的VISIBLE PROGRESS SYSTEM3U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION4过关练习Exercise 1 错题如图，ABC 与CDE 均为等边三角形，连接 BE，AD（1） 求证：BE=AD；（2） 分别延长 AD，BE 交于点 F，求AFB 的度数Exercise 2如图 1，ABC 与CDE 均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90&

5、#176;连接 BE，AD求证：（1） BE=AD；（2） BEAD；（3） 将CED 绕点 C 逆时针旋转至图 2 的位置，则第（1）、（2）题中的结论是否成立？证明你的结论图 1图 2VISIBLE PROGRESS SYSTEM错题关卡 1-2过关指南Tips学习重点：能够找到图形中对应的边和角，以及它们的转化.证明垂直模型中的全等【初级运用】熟知余角的性质会利用直角倒，证明角的等量关系笔记1. 等角的余角;2. 同角的余角.例题1如图，AB，ED 分别垂直于 BD，点 B，D 是垂足，点 C 是线段 BD 上一点，ACE 是等腰三角形，ACE=90°求证：AB=CDVISIB

6、LE PROGRESS SYSTE三角形的证明 level 5三垂直模型 初级运用M5U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION62如图，在等腰 RtABC 中，ACB=90°，ADCD 于点 D，BECD 于点 E（1） 求证：ACDCBE；（2） 若 BE=9，CE=4，求 DE 的长【B 组】3如图，在ABC 外作正方形 ABEF 和 ACGH，AD 是 BC 上的高，延长 DA 交 FH 于点 M 求证：FM=HMVISIBLE PROGRESS SYSTEM三角形的证明 level 5过关练习错题Exercise 1如图，AEAB 且 AE=AB，BC

7、CD 且 BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是（）A50 B62 C65 D68Exercise 21已知：如图（1），在ABC 中，BAC90°，ABAC，AE 是过点 A 的一条直线，且点B、点 C 在 AE 的异侧，BDAE 于点 D，CEAE 于点 E（1） 求证：BDDECE；（2） 如图（2），若将过点 A 的直线绕点 A 旋转，使 B，C 在 DE 的同侧其他条件不变，请问 BD 与 DE，CE 之间的关系如何？请证明【B 组】Exercise 3如图，在ABC 中，以 AB，AC 为边分别向内作正方形 ABEF 和 ACGH，AD

8、 是 BC 上的高，AD 交 FH 于点 M 求证：FM=HMVISIBLE PROGRESS SYSTEM7错题错题U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION8关卡 1-3 初级运用过关指南Tips学习重点：能够找到图形中对应的边和角，以及它们的转化.用倍长中线法构造全等三角形【初级运用】理解倍长中线模型会倍长中线构造全等的明白利用全等证明线段等的基本原理辅助线做法量关系的解题思路笔记例题1. 如图，在ABC 中，AB=5，AC=3，求中线 AD 的取值范围2. 在ABC 中，AD 平分BAC，G 为 BC 的中点，FGAD 交 CA 延长线于 E求证：BF=ECVIS

9、IBLE PROGRESS SYSTEM倍长中线模型过关练习如求三角形的证明 level 5Exercise 19已知 AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 F，交 AD 于 E，且 AF=EF求证：AC=BEExercise 2图，在ABC 中，ABAC，D、E 在 BC 上，DE=EC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点 F，DF=AC 证：AE 平分BACVISIBLE PROGRESS SYSTEM错题错题U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION10关卡 1-4 初级运用过关指南Tips学习重点：掌握三种利用角平分线构造全等的方法，并识别三种方法分别适用

10、的情况.利用角平分线构造全等【初级运用】理解角平分线和对称的掌握三种利用角平分线构造全等识别三种方法分别适用的概念与性质的方法情况笔记模型介绍：(1) 如图 1：DA 平分EAF，根据角平分线的性质，可得 DE=DF；DE，DF 是两条常用的辅助线.(2) 如图 2：DA 平分EAF，易得ADFADE；DE 是一条常用的辅助线. (3)如图 3：DA 平分EAF，易得ADFADE；这是角分线常构的一组全等.例题1. 如图，在ABC 中，A=90°，AB=AC，BD 是ABC 的平分线求证：BC=AB+AD2. 已知，在四边形 ABCD 中，BCBA，A+AC=180，且C=600，B

11、D 平分ABC.求证：BC=AB+DCVISIBLE PROGRESS SYSTEM角平分线模型过关练习三角形的证明 level 5Exercise 111，直线 MANB，MAB 与NBA 的平分线交于点 C，过点 C 作一条直线 l 与两条直线 MA，NB 分别相交于点 D，E(1) 如图 1 所示，当直线 l 与直线 MA 垂直时，猜想线段 AD，BE，AB 之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明.(2) 如图 2 所示，当直线 l 与直线 MA 不垂直且交点 D，E 都在 AB 的同侧时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.(3) 当直线 l 与直线 M

12、A 不垂直且交点 D，E 在 AB 的异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段 AD，BE，AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系VISIBLE PROGRESS SYSTEM错题U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION12关卡 1-5 初级运用过关指南Tips学习重点：识别出半角模型，通过旋转构造出全等三角形用半角模型构造全等三角形【高级运用】能在复杂的图形中找会通过旋转构造掌握全等三角形掌握全等三角形的出半角模型全等三角形的判定性质笔记例题1. 如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、C

13、D 上一点，EAF=45°，求证：BE+DF=EF.2. 如图，ABC 是边长为 3 cm 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC=120°，以 D 为顶点做一个 60°角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，求AMN 的周长.VISIBLE PROGRESS SYSTEM半角模型过关练习如点证三角形的证明 level 5Exercise 113在四边形 ABCD 中，AB=AD，B=D=90°，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF 是BAD 的一半，例题 1 中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明

14、理由.思考：若B、D 都不是直角，那么当B 与D 满足什么等量关系时，仍可得出结论EF=BE+DF？Exercise 2图， ABC 是等边三角形， BDC 是顶角BDC=120°的等腰三角形，点 M 是 AB 延长线上一，点 N 是 CA 延长线上一点，且MDN=60°，试探究 BM，MN，CN 之间的数量关系，并给出明.VISIBLE PROGRESS SYSTEM错题错题U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION14第二关关卡 2-1 高级运用过关指南Tips学习重点：掌握全等三角形证明的一般方法及会利用模型解题.三角形的综合探究（高级运用）会全

15、等三角形的五种证明方掌握全等三角法形的重要模型笔记例题1已知：ABC 为等边三角形，为射线 AC 上一点，D 为射线CB 上一点，AD=DE（1） 如图 1，当点D 为线段 BC 的中点，点在 AC 的延长线上时，求证：BD+AB=AE；（2） 如图 2，当点D 为线段 BC 上任意一点，点在 AC 的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3） 如图 3，当点D段 CB 的延长线上，点段 AC 上时，请直接写出 BD、AB、AE 的数量关系VISIBLE PROGRESS SYSTEM三角形的综合探究全等三角形的综合探究过关练习三角形的证明 level 5Exercise 1如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和DEC 重合放置，其中C=90°，B=E=30°（1） 操作发现如图 2，固定ABC，使DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是；设BDC 的面积为S1，AEC 的面