概率论第一章

1、任课教师：任课教师： 莫荣华莫荣华 联系方式：联系方式： QQ QQ号或微信号号或微信号: 5159110: 5159110 2015 2015年年3 3月月-6-6月月 第一章第一章基本概念基本概念1.11.1Random experimentRandom experiment1.21.2Random EventsRandom Events 1.31.3ProbabilityProbability 绪言绪言1717世纪，法国的世纪，法国的 一赌徒一赌徒Chevalies DemereChevalies Demere在赌博在赌博中感觉到，如果上抛一对骰子中感觉到，如果上抛一对骰子2525次，则

2、把赌注押到次，则把赌注押到“ “ 至少至少出现一次双六出现一次双六”比把赌注押到比把赌注押到“完全不出现双六完全不出现双六”更有利，更有利，但他本人找不出原因，后来请当时著名的数学家但他本人找不出原因，后来请当时著名的数学家 pascal pascal 解解决了这一问题决了这一问题, ,从此，奠定了概率研究的开始。从此，奠定了概率研究的开始。分赌本问题分赌本问题: 1654年年,一个名叫梅累的骑士就一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干两个赌徒约定赌若干局局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若一赌徒胜若一赌徒胜 a 局局 ( ac ),另一另一赌徒胜赌徒胜b局局(b3C=x|

3、x9D=x|x0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19课堂练习课堂练习AB A与与B对立对立A与与B互斥互斥AB记号记号概率论概率论集合论集合论 、样本空间样本空间, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件随机事件随机事件A A的对立事件的对立事件A A出现必然导致出现必然导致B B出现出现事件事件A A与事件与事件B B相等相等空间空间( (全集全集) )空集空集元素元素子集子集A A的补集的补集A A是是B B的子集的子集A A集合与集合与B B集合相等集合相等ABABABA 事件事件A A与事件与事件B B 的差的差A A与与B B两集合的差集两集合的差集AB

4、 事件事件A A与与B B互不相容互不相容A A、B B 两集合没有相同元素两集合没有相同元素事件事件A A与事件与事件B B的和的和A A集合与集合与B B集合的并集集合的并集AB 事件事件A A与与B B的积事件的积事件 A A集合与集合与B B集合的交集集合的交集 1.3 1.3 事件的概率事件的概率 (Probability(Probability） 随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生, ,但多次但多次重复时重复时, ,会发现有的事件发生多些会发现有的事件发生多些, ,有的少些有的少些, ,这数量上的区这数量上的区别反映了随机事件的内在

5、的一种规律别反映了随机事件的内在的一种规律. . : :设设E E为任一随机试验，为任一随机试验，A为其中任为其中任一事件，在相同条件下，把一事件，在相同条件下，把E E独立的重复做独立的重复做n次，次，vA表示表示事件事件A在这在这n次试验中出现的次数次试验中出现的次数( (称为频数称为频数) )。比值。比值vA/n 称为事件称为事件A在这在这n次试验中出现的频率次试验中出现的频率(Frequency).(Frequency).一、一、 频率的定义频率的定义(Frequency)(Frequency) 频率的性质频率的性质设事件设事件A在在n次试验中发生次试验中发生nA次，频率次，频率fn(

6、A)=vA /n1. 非负性非负性 fn(A)02. 规范性规范性 fn()=13. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，则，则fn(AB)= fn(A) +fn(B)( )AnvAfn则AB性质性质3的证明：的证明：设在设在n次重复试验中次重复试验中A发生了发生了vA 次次 B发生了发生了vB次次 由于由于A ,B不能同时发生不能同时发生, 故故AB发生了发生了vA+ vB 次次 所以所以 fn(AB)= (vA+ vB )/n =fn(A) +fn(B)3. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，则，则fn(AB)= fn(A) +fn(B)B

7、(B)nvfn则BBv 个样本点落在 内AAv 个样本点落在 内 频率的性质频率的性质设事件设事件A在在n次试验中发生次试验中发生nA次，频率次，频率fn(A)=vA /n1. 非负性非负性 fn(A)02. 规范性规范性 fn()=13. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，则，则fn(AB)= fn(A) +fn(B)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn 由定义及以上性质还可以得到由定义及以上性质还可以得到: : fn( )=0 A B, fn(A) fn(B) fn(A)121,kA AA是是互互不不相相容容事事件件若若两两两两则则实例实例 将一

8、枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正观察正面出现的次数及频率面出现的次数及频率.数据波动较大试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波动最小波动最小 0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5实践证明实践证明:

9、:当试验次数当试验次数n n增大时增大时, ,随机事件的频随机事件的频率率f fn n(A)(A)逐渐趋向稳定逐渐趋向稳定2 2、 频率的稳定性频率的稳定性试验者试验者抛掷次数抛掷次数n正面出现次正面出现次数数m正面出现频率正面出现频率m/n德德.摩尔根摩尔根204810610.518蒲丰蒲丰404020480.5069皮尔逊皮尔逊1200060190.5016皮尔逊皮尔逊24000120120.5005维尼维尼30000149940.4998()nfH的的增增大大n.21新生儿性别统计表新生儿性别统计表出生年份出生年份新生儿新生儿总数总数n新生儿分类数新生儿分类数频率频率(%)男孩数男孩数m

10、1女孩数女孩数m2男孩男孩女孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计年总计31394161461524851.4848.52二、二、 概率的统计定义概率的统计定义(The statistic definition ofprobability)(The statistic definition ofprobabil

11、ity)定义定义 1.4 1.4 设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数的发生频率稳定在某数P P附近摆动，则称数为事件的概率附近摆动，则称数为事件的概率(Probability)(Probability)为为P P，记为：，记为：pAP)(说明说明1.1.频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验率决定于经验. . 一个事件发生的概率完全决定于事件本身一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构的结构, ,是先于试验而客观存在的是先于试验而客观存在的. .2 2 概率的统计定

12、义只是描述性的。概率的统计定义只是描述性的。3 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值。件概率的近似值。 概率的性质概率的性质( (概率统计定义的性质概率统计定义的性质) )3AB()()()P ABP AP B质质 ：若若 、 互互不不相相容容，则则有有性性1212()()()()kkPPPPA AAAAA 21,kA AA是是两两两两互互不不相相容容事事件件 则则若若1();P()0;p A性质性质1 1 非负性：对任一事件非负性：对任一事件A ,A ,有有性质性质2 2 规范性：对必然事件规范性：对必然事件 , ,有有121

13、()()kkkPP AAAA .完全可加性完全可加性 概率性质的与推广概率性质的与推广1.()0;P 对任一事件，对任一事件， 与与A不相容，且不相容，且AA 所以所以P(A)P(A)P( )即即P( )012,kA AA，. . . . 成成立立特别地，由于可给碰到可列个事件的运算，故要求（公理性特别地，由于可给碰到可列个事件的运算，故要求（公理性定义）对一系列互不相容事件定义）对一系列互不相容事件).()()(),()(, APBPABPBPAPBABA则则且且为为两两个个事事件件设设2证明证明BA,BA 因因为为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得,

14、 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是BA).(AB BABAAB如如果果不不成成立立，注注意意：即即一一般般地地，BABABB2AB事事实实上上， ，且且，由由 得得证证(A)( )-()P BP BP BA ).()(, APA PAA13 则则的对立事件的对立事件是是设设,)(,1 PAAAA因因为为).(1)(APAP 证明证明)()(AAPP 1所以所以)()(APAP 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，作为事件的概率，都应

15、具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义（略）我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义（略）基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习计算古典概率所用到的这里我们先简要复习计算古典概率所用到的1. 1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m m 种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n n1 1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n n2 2种方法种方法, ,； 第第m m 种方式有种方式有n nm m种方法种方法, ,无论通过哪种方法都可以完成这件事，无论通过哪种方法都可以完成这件事，n n1 1 n n2 2 n nm m:则完

16、成这件事总共有则完成这件事总共有n n1 1+ +n n2 2+n nm m 种方法种方法 . .例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去, ,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车, ,也可以乘轮船也可以乘轮船. .火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法? ?3 3 + 2+ 2 种方法种方法基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 . .mnnn212. 2. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种

17、方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法, ,； 第第m m个步骤有个步骤有nm种方法种方法, ,必须通过每一步骤必须通过每一步骤, ,才算完成这件事，才算完成这件事，12mnnn种 种种例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有多少种打扮？可以有可以有3 32 2 种打扮种打扮 加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础组合公式的基础 . .三、排列、组合

18、的几个简单公式三、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不同属于顺序不同属于不同的排列！不同的排列！3 3把不同的钥匙的排列把不同的钥匙的排列6 6种种而组合不管顺序而组合不管顺序,只要包含的元素一样就是同一种组合只要包含的元素一样就是同一种组合从从3 3个元素取出个元素取出2 2个个的排列总数有的排列总数有6 6种种从从3 3个元素取出个元素取出2 2个个组合总数有组合总数有3 3种种236A 323C只有三种不只有三种不同的组合！同的组合！1 1、排列、排列: : 从从n个不同元素取个不同元素取 k个的不同排列总数为：个的不同排列总数为：(1)knk = n时称全

19、排列时称全排列122 1()()!nnnpAn nnn 121!()()()()!knnAn nnnknk123k.n(n-1) (n-2) (n-k+1)2.重复排列：重复排列：从从n个不同元素有放回地取个不同元素有放回地取 k个个（允许重复）（允许重复）的不同排列总数为：的不同排列总数为：kn nnn（种种）例如：从装有例如：从装有4 4张卡片的盒中有放回地摸取张卡片的盒中有放回地摸取3 3张张3241n=4,k =3123第第1 1张张4123第第2 2张张4123第第3 3张张4共有共有4 4. .4 4. .4=44=43 3种可能取法种可能取法123k.n n nn!()! !kk

20、nnAnCknkk3 3、组合、组合: : 从从n个不同元素取个不同元素取 k个（个（1 k n) )的不同组合的不同组合总数为：总数为：knC常记作常记作kn，称为组合系数。，称为组合系数。!kknnACk又常称为二项式系数，因为它是二项式展开公式中的系数：又常称为二项式系数，因为它是二项式展开公式中的系数：knknknbaknba0)(组合和排列的关系组合和排列的关系1 2 3 4 5（1，3）1 2 3 4 51 2 3 4 5（2，4）（1，5）共有共有C52种不同组合种不同组合1 2 3 4 55 5个位置中取到个位置中取到1 1，4 4号放置白球号放置白球对应组合（对应组合（1 1

21、，4 4）共有不同排列数共有不同排列数Cnn+m 或或C Cmn+m 4. 4. m个不可辨元素与个不可辨元素与n的不可辨元素排成一列的不可辨元素排成一列例例2个白球和个白球和3个黄球的不同排列个黄球的不同排列两类元素的排列问题两类元素的排列问题现设有现设有r r个白球（不可辩），个白球（不可辩），n-r 个黄球个黄球（不可辩）（不可辩）排成一列，排成一列，计算其不同排列总数计算其不同排列总数. .先将先将r个白球编号，分别为个白球编号，分别为1,2，,r号号n-r个黄球编号，分别为个黄球编号，分别为r1 ,r+2，,n号号这这n个不同球的排列共有（全排列数）个不同球的排列共有（全排列数）n!

22、种种下面用另一方法构成上面的排列，先进行两类球的排列下面用另一方法构成上面的排列，先进行两类球的排列（即认为白球、黄球不可辩），设共有不同的排列数为（即认为白球、黄球不可辩），设共有不同的排列数为x,由乘法原理，共有不同的排列数由乘法原理，共有不同的排列数 x r! (n-r)!然后对白球进行排列，共有然后对白球进行排列，共有r！方式，！方式，对黄球进行排列共有（对黄球进行排列共有（n-r）!种方式，种方式，n! = x r! (n-r)!两种方法两种方法的排列种的排列种数相同数相同 !()!nnxrnrr5 5、n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目分别为组，各组元素数目分别为r1

23、,r2,rk的的分法总数为分法总数为: :12kr rr n r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个元素个元素1rnC!21krrrn21rn rCkkrrCkkrrrrnrnCCC211特别地，当特别地，当k组元素个数相同时，不同的分组有组元素个数相同时，不同的分组有121kkrrrnn rrCCCk！-多项式（多项式（x1+x2+xk)n的系数的系数令令 x=-1得得01210nnnnnn)(nnnnnn2210可得到许多有用的组合公式：可得到许多有用的组合公式：以以 x=1代入代入01 ()nnn rknxxr 2.由展开式由展开式二项式系数的有关性质二项式系数的有关性质1

24、. 由公式直接得到由公式直接得到nnrnr 111()() ()a babxxx3.由由000ababnijnijababxxxnij有有比较两边比较两边 xn 次幂的系数，可得次幂的系数，可得 0110.a babababnnnn 运用二项式展开运用二项式展开特别地，有特别地，有20110.nnnnnnnnnnn 在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的，并在此基础上事件的概率可以直基本事件是等可能的，并在此基础上事件的概率可以直接算出接算出. .古典概型古典概型(Classical Probability)1.3.2 1.3

25、.2 概率的直接计算概率的直接计算如果一个随机试验如果一个随机试验E E具有以下特征具有以下特征 1 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点，、试验的样本空间中仅含有有限个样本点，12,.n 2 2、每个样本点出现的可能性相同、每个样本点出现的可能性相同则称则称具有上述特性的概型为具有上述特性的概型为古典概型。古典概型。12()().()nPPP 讨论相应的概率问题称为古典要型问题讨论相应的概率问题称为古典要型问题 等可能概型中事件概率的计算：等可能概型中事件概率的计算：1()iPn1 1. .基基本本事事件件的的概概率率1212()(.) ()().() =()nniPPPPPnp 12,.

26、设设mnnnA 2 2 若若A A包含基本事件数为包含基本事件数为m,12,.设设n 12()().()nPPP 1212( )(.)()().() mmnnnnnnP APPPPmn A A所所包包含含的的样样本本点点数数= = 中中的的样样本本点点总总数数因为因为38( )P A 2 2、“等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的能的. .1 1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件. .

27、 例例 将一枚硬币上抛三次，设事件将一枚硬币上抛三次，设事件A =“A =“恰有一次出现正恰有一次出现正面面”，B=“B=“至少有一次出现正面至少有一次出现正面” ” 则则(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)注：例注：例E E3 3中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数，中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数， 3 0, 1, 2 , 3 , 记记A Ai i “ “正面出现正面出现i 次次” 则则P(A0)1/8 ，P(A1)3/8

28、，P(A2)3/8， P(A3)1/8 所以以所以以Ai作为基本事件，则非等可能概型。作为基本事件，则非等可能概型。78( )P B例例9 9一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成册自右至左或自左至右恰成1,21,2，3,43,4顺序的概率是多少？顺序的概率是多少？解：样本点为四卷书书号的任一可能的排列，解：样本点为四卷书书号的任一可能的排列，总数总数n=4321A A的有利场合数（的有利场合数（A A包含的样本点数）为包含的样本点数）为2 21234，432121412( )!P A n1010= =3 3 4 4

29、有有种种取取法法; ;1 1例例10有有10个外观相同的电阻，其电阻分别是个外观相同的电阻，其电阻分别是1欧、欧、2欧、欧、10欧欧.现从中任意取出现从中任意取出3个，希望一个电阻值小于个，希望一个电阻值小于5欧，一个电阻欧，一个电阻值等于值等于5欧一欧一,个电阻值大于个电阻值大于5欧，问一次抽取就能达到要求的欧，问一次抽取就能达到要求的概率概率.解：样本点为从解：样本点为从1010个不同电阻中任取三个的组合个不同电阻中任取三个的组合样本空间总数为样本空间总数为计算有利场合数：计算有利场合数：有利场合数为有利场合数为构成一个有利场合可分三个步骤：构成一个有利场合可分三个步骤：第一步，从小于第一

30、步，从小于5欧的电阻值中任取出一个，欧的电阻值中任取出一个，第二步，从等于第二步，从等于5欧的电阻值中任取出一个欧的电阻值中任取出一个;第三步，从大于第三步，从大于5欧的电阻值中任取出一个欧的电阻值中任取出一个; 5 5有有种种取取法法; ;1 1有有1 1种种取取法法; ; 4154151111111( )6P A 41541511111110103 3 11().()rn nnrn( )!()()!rrrnnP Ann nr16r2345123n-1n例例1111将将r r个球置于个球置于n n个箱中（每个球以个箱中（每个球以1/n1/n的概率被置入某一的概率被置入某一特定箱中）特定箱中）

31、, ,若若nr,nr,试求任一箱内的球数均不超过试求任一箱内的球数均不超过1 1的概率。的概率。解：先计算样本空间总数解：先计算样本空间总数第一个球置于一箱中，第一个球置于一箱中，共有共有n n种放法种放法; ;相继将每一个球置于一箱中都有相继将每一个球置于一箱中都有n n种放法；种放法；11111111nnn n=这样放完这样放完r r个球构成一个可能的结果（样本点），个球构成一个可能的结果（样本点），nr再计算有利场合数：再计算有利场合数：第一个球置于一箱中，共有第一个球置于一箱中，共有n n种放法种放法; ;第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有第二个球由于不能放到第一个球所在箱，

32、所以只有n-1n-1种放法种放法第第r r个球不能放到前个球不能放到前r-1r-1个球所在箱，所以只有个球所在箱，所以只有n-r+1n-r+1种放法种放法有利场合数有利场合数!()!nnr由乘法原理，由乘法原理，r r个球的个球的 不同的放法有不同的放法有 许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 1/365. 求这求这n ( (n 365) 365)个人没有两个人的生日相同（个人没有两个人的生日相同（n n人生日互人生日互不相同）的概率不相同）的概率.

33、.人人任一天任一天365365365365 365()!()!nnnPn根据上公式得可计算当可计算当n=40=40时，时，P0.1090.109( )!( )()!rrrnnP Ann nr我敢打睹，我我敢打睹，我们班至少有两们班至少有两人生日在同一人生日在同一天！天！许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N N个车站，设每个人在每站下车个车站，设每个人在每站下车的概率为的概率为1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率. .旅客旅客车站车站()!( )()

34、!nnnNNP ANNNn 某城市每周发生某城市每周发生7 7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. . 求每天恰好发生一次车祸的概率求每天恰好发生一次车祸的概率. .车祸车祸天天7777777( )!( )P A 123k.a+b 例例12 12 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 个黄球，个黄球，b 个白球现将球从袋个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率次摸出的球是黄球的概率113a234b2解法一解法一: : 认为球是不相同的（可辩的），认为球是不相同的（可辩的），黄球编号为黄球编号为1 1 a, ,

35、白球编号为白球编号为1 1 b设样本点为：依次取出的设样本点为：依次取出的a+b个球的排列个球的排列样本空间总数为样本空间总数为 (a+b)!事件事件A构成构成A A的有利场合分两步：的有利场合分两步：从从a a个黄球中任取出一个放到第个黄球中任取出一个放到第k k个位置，个位置， 有有a种方式种方式113a234b2第第k个位置个位置其余其余a ab-1b-1个位置是个位置是( (a+b-1)-1)个球的任意排列，个球的任意排列，有有( (a+b-1)!)!种方式种方式13a234b2有利场合数为有利场合数为 a( (a+b-1)!)!1()!()!a abaPabab123k.a+b 例例

36、12 12 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 个黄球，个黄球，b 个白球现将球从袋个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率次摸出的球是黄球的概率aba113a234b2解法二：解法二：认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）总数：总数：事件事件A构成构成A的有利场合分两步：的有利场合分两步：从从a个黄球中任取出一个放到第个黄球中任取出一个放到第k个位置，个位置，有有1种方式种方式113a234b2第第k个位置个位置其余其余ab-1个位置是（个位置是（a-1）个黄球和）个黄球和b个白球的两类排列，

37、个白球的两类排列，把依次取出的把依次取出的a+b个球成一列个球成一列样本点为：两类元素样本点为：两类元素( (a 个黄球和个黄球和b 个白球个白球) ) 的排列的排列11abaaPababa有有 种方式种方式11aba例例1313 设设100100件产品中有件产品中有5 5件次品件次品, ,现从中任意抽出现从中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .解法一：设样本点为从解法一：设样本点为从100件产品抽出件产品抽出3件的组合件的组合( )MNMknkP ANn正品正品 95M件件次品次品100100件产品件产品A1003总数：总数：构成构成A的有利

38、场合分两步：的有利场合分两步：从从5件次品中抽出件次品中抽出2件，件，从从95件正品中抽出件正品中抽出3件件25 种种方方式式95 1种种方方式式59521()1003P A N N件产品件产品次品次品 5件件次品次品 M件件正品正品 N-M例例13 13 设设100100件产品中有件产品中有5 5件次品件次品, ,现从中任意抽出现从中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .这是一种无放回抽样情形，这是一种无放回抽样情形，有放回抽样时有放回抽样时P(A)=P(A)=？解法二：设样本点为从解法二：设样本点为从100件产品抽出件产品抽出3件的排列件的排

39、列次品次品 5件件正品正品 95件件M件件次品次品100100件产品件产品A3 31 10 00 0! !1 10 00 0= = =1 10 00 09 99 9 9 98 89 97 7! !总数：总数：构成构成A的有利场合分两步：的有利场合分两步：先确定正品次品的位置先确定正品次品的位置(即两类元素即两类元素(一个一个正品和两个次品正品和两个次品)的排列问题的排列问题)，正品从正品从95件中取出一件有件中取出一件有32 种种方方式式95种种方方式式395 5 42( )100 99 98P A 123第一件次品从第一件次品从5件中取出一件件中取出一件5种种方方式式第二件次品从第二件次品从

40、4件中取出一件件中取出一件4种种方方式式能用组合能用组合作为样本作为样本点吗？点吗？ 395552( )100 100 100P A 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排列结果恰好拼成一个英文单词的概率：排列结果恰好拼成一个英文单词的概率：拼成英文单词拼成英文单词SCIENCESCIENCE 的情况数的情况数( (有利场合数）为有利场合数）为故该结果出现的概

41、率为：故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在12601260次试验中大约出现次试验中大约出现1 1次次 . .224解：七个字母的排列总数为解：七个字母的排列总数为7 7！更多的例子更多的例子41=0 0007971260.!p 这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术们有比较大的把握怀疑这是魔术. . 具体地说，可以具体地说，可以99.921%9

42、9.921%的把握怀疑这是魔术的把握怀疑这是魔术. .（错误（错误的概率是的概率是0.000790.00079） 小概率事件通常可以构成一个假设检验的依据，通小概率事件通常可以构成一个假设检验的依据，通常假定某常假定某“假设假设H”H”为真，在该前提下建立一小概率事为真，在该前提下建立一小概率事件，如果在一次试验中该小概率事件发生，则判断该件，如果在一次试验中该小概率事件发生，则判断该“假设假设H”H”不真。这是概率统计中假设检验的基本原理。不真。这是概率统计中假设检验的基本原理。实际推断原理：小概率事件在一实际推断原理：小概率事件在一次试验不会出现，因而可将次试验不会出现，因而可将A A看成

43、看成一（实际上）不可能事件。一（实际上）不可能事件。上推断过程是：上推断过程是：假设假设H H：设取到每：设取到每一张牌的可能性相一张牌的可能性相等等假设假设H H不真，即认不真，即认为到每一张牌的可为到每一张牌的可能性不相等能性不相等小概率事件发生小概率事件发生解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只的分法总数只的分法总数为为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，每堆堆，每堆2只只 . 问问:“各堆都自成一

44、双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？ “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的可能的.1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.需要注意的是：需要注意的是： 在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率. .2 2、在用排列组合公式计算

45、古典概率时，必须注意不要重复计、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏数，也不要遗漏. .例如：从例如：从5 5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4 4只，这只，这4 4只鞋子中只鞋子中“至少有至少有两只配成一双两只配成一双”（事件（事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？ 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？4102815)(AP错在同样的错在同样的“4 4只配成两双只配成两双”算了两次算了两次. .97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只410252815)(AP请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗

46、？成一双成一双只鞋子中至少有两只配只鞋子中至少有两只配设设解解4A一双一双只鞋子中恰有两只配成只鞋子中恰有两只配成41A双双只鞋子恰好配成只鞋子恰好配成242A2121AAA,AA且于是)()()()(2121APAPAAPAP则则41025410224152CCCCC2113只只鞋鞋子子都都不不能能配配成成双双设设另另解解4A4104252)(CCAP218)(1)(APAP则则21132181例如：从例如：从5 5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4 4只，这只，这4 4只鞋子中只鞋子中“至少有至少有两只配成一双两只配成一双”（事件（事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？ 97321

47、456810 几何概型几何概型( (Geometric probability) ) 把古典概型推广到无限个样本点又具有把古典概型推广到无限个样本点又具有“等可能等可能”场合场合, ,人们引入了几何概型人们引入了几何概型. . 由此形成了确定概率的另一方法由此形成了确定概率的另一方法几何方法几何方法. .如果一个试验具有以下两个特点：如果一个试验具有以下两个特点：样本空间样本空间是一个大小可以计量的几何区域（如线段、是一个大小可以计量的几何区域（如线段、 平面、立体）。平面、立体）。向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可等可能的能的”。那么，

48、事件那么，事件A的概率由下式计算：的概率由下式计算： ()AP A 的的的的 测度测度测度测度研究相应的概率问题为几何概型问题研究相应的概率问题为几何概型问题1 1、向区域、向区域上随机投掷一点，这里上随机投掷一点，这里“任意投掷一点任意投掷一点”的的含义是指该点落入含义是指该点落入内任何部分区域内的可能性只与这部内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关. .2 2、假如样本空间、假如样本空间可用一线段，或空间中某个区域表示，可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向并且向上随机投掷一点的含义如前述，则事

49、件上随机投掷一点的含义如前述，则事件A A的概率仍的概率仍可用公式确定，只不过把事件的测度理解为长度或体积即可用公式确定，只不过把事件的测度理解为长度或体积即可可. . 那么那么024024,.xy当两船相会时，所求的事件发生当两船相会时，所求的事件发生06yx， 甲、乙两船甲、乙两船 将在同一天的将在同一天的0 0点到点到2424点之间随机地到达码点之间随机地到达码 头，设该码头只有一个泊位头，设该码头只有一个泊位. .若甲先到，需停靠若甲先到，需停靠6 6小时后小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠才离开码头，若乙先到，则要停靠8 8小时后格离开码头。问这两小时后格离开码头。问这两船中有船需

50、等候泊位空出的概率？船中有船需等候泊位空出的概率？例例14 14 会面问题会面问题解解: :2222124(1816 )2( )24P A设甲船、乙船到达码头的时间分别是设甲船、乙船到达码头的时间分别是x 和和 y. 两船到码头时刻，相当于向方形区域内投点两船到码头时刻，相当于向方形区域内投点2424xy0即乙比甲晚到即乙比甲晚到6小时小时或甲比乙晚到或甲比乙晚到8小时小时08xy，即即A发生发生( , )0600)(0)的一些平行直线的一些平行直线, ,现向此现向此平面任意投掷一根长为平面任意投掷一根长为l( (l a ) )的针的针, ,试求针与任一平行直试求针与任一平行直线相交的概率线相

51、交的概率P. .解：解：,xM以以 表表示示针针投投到到平平面面上上时时 针针的的中中点点到到最最近近的的一一条条平平行行直直线线的的距距离离ax M. 表表示示针针与与该该平平行行直直线线的的夹夹角角( , ). x 那那么么针针落落在在平平面面上上的的位位置置可可由由完完全全确确定定( , )x ( , )|0,02axx 投投针针试试验验的的样样本本空空间间由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知, ,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题. .xa/20ax M0 02sin ,lx0d22sinla 22.llaa则则A A发生的充分必要发生的充分必要 条件是条件是( )GgP A 的

52、的面面积积的的面面积积G a/2蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义2( )lP Aa,( ),NnnP AN根根据据频频率率的的稳稳定定性性当当投投针针试试验验次次数数 很很大大时时 算算出出针针与与平平行行直直线线相相交交的的次次数数则则频频率率值值即即可可作作为为的的近近似似值值代代入入上上式式 那那么么, ,2nlNa2.lNan . 利利用用上上式式可可计计算算圆圆周周率率的的近近似似值值蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义2( )lP Aa,( ), NnnNP A根根据据频频率率的的稳稳定定性性当当投投针针试试验验次次数数很很大大时时算算出出针针与与平平行

53、行直直线线相相交交的的次次数数则则频频率率值值即即可可作作为为的的近近似似值值代代入入上上式式 那那么么2,nlNa2.lNan . 利利用用上上式式可可计计算算圆圆周周率率的的近近似似值值历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果( (直线距离直线距离a=1)=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81

54、850Wolf相交次数相交次数投掷次数投掷次数针长针长时间时间试验者试验者的近似值的近似值 1933年年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构公理化结构 ,给出了概率的严格定义给出了概率的严格定义 ,使概率论有了迅速使概率论有了迅速的发展的发展.二、概率的公理化定义与性质二、概率的公理化定义与性质附;)A(P,A:(1)10 有有对于每一个事件对于每一个事件性性有界有界 ;)(,:(2)1 P 有有对对于于必必然然事事件件规规范范性性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设,j, i ,AA, ji,A,A:(3)ji2

55、121 , 可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的定义概率的定义1.71.7:)(P.A),A(P,AE.,E满足下列条件满足下列条件如果集合函数如果集合函数的概率的概率称为事件称为事件记为记为赋予一个实数赋予一个实数每一事件每一事件的的对于对于是它得样本空间是它得样本空间是随机试验是随机试验设设 . 0)()1( P证明证明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()