2020届高三数学立体几何专项训练(文科)

1、2020届高三数学立体几何专题(文科)吴丽康2019-11ABCD , E为PD的点.1 .如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA，平面(I)证明：PB/平面AEC;i-(n)设AP=1,AD=J3,三棱锥P-ABD的体积Vd3.求A点到平面PBD的距离.2 .如图，四棱锥P-ABCD中，AB/CD,AB=2CD,E为PB的中点.(1)求证：CE/平面PAD;(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD/平面CEF?D若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由.3如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC，平面ABCD,且PAXAC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC/AD,

2、ABXAD,AB=BC=1.点E,口PEPF-且=X0)PBPC(1)求证：EF/平面PAD;1,(2)当上2时，求点D到平面AFB的距离.4.如图，四棱柱ABCDAiBiCiDi的底面ABCD是正方形.证明：平面AiBD/平面CDiBi;F分别为侧棱PB, PC上的点,(2)若平面ABCDA平面82心=直线1,证明：BiDi/l.5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP/GH.”6 .如图，在四棱锥P-ABCD中，PA，底面ABCD,ABLAD,ACLCD,/ABC=60°,PA

3、=AB=BC,E是PC的中点.证明：(1)CD，AE;(2)PD,平面ABE.7 .(2018北京通州三模，18)如图，在四锥P-ABCD中，平面PAB，平面ABCD,四边形ABCD为正方形QPAB为等边三角形，E是PB中点，平面AED与棱PC交于点F.V2,直接写出的值.求证:AD/EF;(2)求证：PBL平面AEFD;记四棱锥P-AEFD的体积为Vi,四棱锥P-ABCD的体积为8如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是/DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(1)求证：BGL平面FAD;(2)求证：ADXPB;若

4、E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF，平面ABCD?并证明你的结论.9.(2016高考北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC，平面ABCD,AB/DC,DCXAC.(1)求证：DC,平面FAC;(2)求证：平面PABL平面PAC;设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA/平面CEF?说明理由.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB/EF;(2)若AFEF,求证：平面PAD，平面ABCD.11.如图，在四棱锥P-ABCD中，FA，平面ABCD,PA=AB=BC=V3,AD

5、=CD=1,/ADC=120°,点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN=PB.(1)证明：MN /平面PDC;(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.12.(2016高考四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PAXCD,AD/BC,ZADC=ZPAB=90°,BC=CD=-AD.2在平面PAD内找一点M,使得直线CM/平面PAB,并说明理由；,卜(2)证明：平面PABL平面PBD.求证：(1)直线DE/平面A1C1F；13.(2016高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DXA1F,A1CA1B

6、1.(2)平面BiDEL平面AiCiF.14.【2014,19如图，三棱柱ABCAB1G中,侧面BB.GC为菱形，BQ的中点为。，且AO平面BB,GC.(1)证明：B1cAB；(2)若ACAB,CBB160,BC1,求三棱柱ABCABG的高.(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.15.(2017天津，文17)如图，在四棱锥P-ABCD中,AD，平面PDC,ADIIBC,PD±PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.B(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证:PD，平面PBC;16.(2016高考浙江卷)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE，平面ABC,/

7、ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证：BF,平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.17.(2018全国出)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明：平面AMD，平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC/平面PBD?说明理由.立体几何中的翻折问题，一,兀一118如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,/BAD="2,AB=BC=AD=a,E是AD的中点，。是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图(2)中AiBE的位置,得到四棱锥Ai-BCDE.(1)证明：CD，

8、平面AiOC;(2)当平面AiBE，平面BCDE时，四棱锥Ai-BCDE的体积为36v2,求a的值.，一，一，119.如图1,在直角梯形ABCD中，/ADC=90,AB/CD,AD=CD=AB=2,E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BC，平面ACD;(2)点F在CD上，且满足AD/平面BEF,求几何体F-BCE的体积.20.如图，长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=16,BC=10,AAi=8.点E,F分别在AgD1C1上，过点E、F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.求证：Ai

9、E=DiF;（2）判断AiD与平面a的关系.2020届高三数学立体几何专题（文科）中位线EO/PB,1解析：（I）设AC的中点为O,连接EO.在三角形PBD中,且EO在平面AEC上，所以PB平面AEC.(n) AP=1 , AD11333Vp-abd二一-PAABAD=AB=，.AB,32642由题意可知 BC,平面FAB,BCXAH,故AH,平面PBC.又AHPAAB网3,故A点到平面PBC的距离空.PB13132 .(1)证明：如图所示，取PA的中点H,连接EH,DH,1因为E为PB的中点，所以EH/AB,EH=2AB,1一一.又AB/CD,CD=,AB.所以EH/CD,EH=CD,因此四

10、边形DCEH是平行四边形，所以CE/DH,又DH?平面PAD,CE?平面PAD,所以CE/平面PAD._，一，1(2)如图所不，取AB的中点F,连接CF,EF,所以AF=AB,1一一.一一.一.一一.又CD=2AB,所以AF=CD,又AF/CD,所以四边形AFCD为平行四边形，所以CF/AD,又CF?平面PAD,所以CF/平面PAD,由(1)可知CE/平面PAD,又CEACF=C,故平面CEF/平面PAD,故存在AB的中点F满足要求.八PEPF_，_3 .(1)证明.彘=PF=X江。)，-EF/BC.-.BC/AD,.EF/AD.PBPC又EF?平面PAD,AD?平面PAD,.EF/平面PAD

11、.1(2)解入=2,，F是PC的中点，在RtFAC中，FA=2,AC=a/2,.1.PC=FA2+AC2=6,1J6.PF=yC=卞7.平面FAC,平面ABCD,且平面FACA平面ABCD=AC,PAXAC,PA?平面PAC,.PAL平面ABCD,PAXBC.又 AB，AD, BC / AD,BCXAB,又PAAAB=A,PA,AB?平面PAB,.BC,平面PAB,BCXPB,在RtPBC中，BF=-2pc=i26.连接BD,DF,设点D到平面AFB的距离为d,在等腰三角形BAF中，BF=AF=坐，AB=1,.4abf=乎，又Saabd=1,点F到平面ABD的距离为由丫得加小宗”享解得雪即点口

12、到平面AFB的距离为唔4 .证明（1）由题设知BBi/DDi且BBi=DDi,所以四边形BBiDiD是平行四边形，所以BD/BiDi.又BD?平面CDiBi,BiDi?平面CDiBi,二1A3所以BD/平面CDiBi.因为AiDi/BiCi/BC且AiDi=BiCi=BC,所以四边形AiBCDi是平行四边形，所以AiB/DiC.又AiB?平面CDiBi,DiC?平面CDiBi,所以AiB/平面CDiBi.又因为BDAAiB=B,BD,AiB?平面AiBD,所以平面AiBD/平面CDiBi.（2）由（i）知平面AiBD/平面CDiBi,又平面ABCDA平面BiDiC=直线l,平面ABCDA平面A

13、iBD=直线BD,所以直线l/直线BD,在四柱ABCDAiBiCiDi中，四边形BDDiBi为平行四边形，所以BiDi/BD,所以BiDi/l.5 .连接AC交BD于点O,连接MO,因为PM=MC,AO=OC,所以PA/MO,因为PA?平面MBD,MO?平面MBD,所以PA/平面MBD.p因为平面PAHGn平面MBD=GH,所以AP/GH.6 .证明(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA，底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PAXCD,因为ACCD,且PAnAC=A,所以CD,平面FAC,而AE?平面FAC,所以CDXAE.(2)由FA=AB=BC,ZABC=60°,可得AC=PA

14、.因为E是PC的中点，所以AEXPC.由(1)知AECD,且PCACD=C,所以AEL平面PCD.而PD?平面PCD,所以AEXPD.因为PAL底面ABCD,所以PAXAB.又因为ABAD且PAAAD=A,所以AB,平面PAD,而PD?平面PAD,所以ABXPD.又因为ABAAE=A,所以PD,平面ABE.7 .(1)证明因为ABCD为正方形，所以AD/BC.因为AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD/平面PBC.因为AD?平面AEFD,平面AEFDn平面PBC=EF,所以AD/EF.(2)证明因为四边形ABCD是正方形，所以AD±AB.因为平面PAB，平面ABCD,平面PAB

15、n平面ABCD=AB,AD?平面ABCD,所以ADL平面PAB.因为PB?平面PAB,所以AD±PB.因为4PAB为等边三角形，E是PB中点，所以PBXAE.因为AE?平面AEFD,AD?平面AEFD,AEnAD=A,所以PB,平面AEFD.221(3)解由(1)知,V1=VC-AEFD,VE-ABC=VF-ADC='VC-AEFD="V1,458：Vbc-aefd=3v1,则Vp-abcd=Vi+*Vi=*Vi8 .解(1)证明：在菱形ABCD中，/DAB=60°,G为AD的中点，所以BGXAD.又平面PAD±平面ABCD,平面PADn平面AB

16、CD=AD,所以BGL平面PAD.(2)证明：如图，连接PG.因为PAD为正三角形，G为AD的中点所以PGXAD.由(1)知，BGLAD,又PGnBG=G,所以AD,平面PGB.因为PB?平面PGB,所以ADXPB.当F为PC的中点时，满足平面DEF，平面ABCD.证明如下：取PC的中点F,连接DE、EF、DF.在4PBC中，FE/PB,在菱形ABCD中，GB/DE.而FE?平面DEF,DE?平面DEF,EFADE=E,PB?平面PGB,GB?平面PGB,PBAGB=B,所以平面DEF/平面PGB.因为BGL平面PAD,PG?平面PAD,所以BGXPG.又因为PGXAD,ADABG=G,所以P

17、GL平面ABCD.又PG?平面PGB,所以平面PGBL平面ABCD,所以平面DEFL平面ABCD.9 .【解】(1)证明：因为PC,平面ABCD,所以PCXDC.又因为DCLAC,且PCAAC=C,所以DC,平面PAC.(2)证明：因为AB/DC,DCXAC,所以ABAC.因为PC,平面ABCD,所以PCXAB.又因为PCAAC=C,所以AB,平面PAC.又AB?平面PAB,所以平面PABL平面PAC.棱PB上存在点F,使得PA/平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点，所以EF/PA.又因为PA?平面CEF,且EF?平面CEF,所以PA/平面CEF

18、.10 .证明因为四边形ABCD是矩形，所以AB/CD.又AB?平面PDC,CD?平面PDC,所以AB/平面PDC,又因为AB?平面ABE,平面ABEn平面PDC=EF,所以AB/EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABXAD.因为AFXEF,(1)中已证AB/EF,所以AB±AF.又ABLAD,由点E在PC上(异于点C),所以点F异于点D,所以AFnAD=A,AF,AD?平面PAD,所以AB,平面PAD,又AB?平面ABCD,所以平面PAD，平面ABCD.11 .(1)证明因为AB=BC,AD=CD,所以BD垂直平分线段AC.又/ADC=120。，所以MD=2AD=2,AM=

19、当.所以AC=<3.又AB=BC=43,所以ABC是等边三角形,3BM1BMBN所以BM=2,所以而=3,又因为PN=PB,所以而=NP=3,所以MNHPD.又MN?平面PDC,PD?平面PDC,所以MN/平面PDC.(2)解因为PA，平面ABCD,BD?平面ABCD,所以BDXPA,又BDAC,PAAAC=A,PA,AC?平面PAC,所以BDL平面PAC.由(1)知MN/PD,所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角,故/DPM即为所求的角.在RtAPAD中，PD=2,1所以sin/DPM=DM"=|=4，所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为，12

20、.【解】取棱AD的中点M(MC平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下：1因为AD/BC,BC=2AD,所以BC/AM,且BC=AM,所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM/AB.又AB?平面PAB,CM?平面PAB,所以CM/平面PAB.(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点所以直线AB与CD相交.1(2)证明：由已知,PAXAB,PAXCD,因为AD/BC,BC=-AD,所以PAL平面ABCD,从而PAXBD.连接BM,1因为AD/BC,BC=2AD,所以BC/MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=1aD,所以BDXAB.又ABAA

21、P=A,所以BDL平面PAB.又BD?平面PBD,所以平面PABL平面PBD.13 .证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1IIAC.在4ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点，所以DE/AC,于是DE/A1C1.又DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直线DE/平面A1C1F.在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A，平面A1B1C1.因为A1C1?平面A1B1C1,所以A1AU1C1.又A1CA1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1AnAB1=A1,所以A1C1,平面ABB1A1.因为B1D?平面ABB1A1,所以A1CB1D.又B1

22、DLAF,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1nA1F=A1,所以BQ，平面A1C1F.因为直线B1D?平面BDE,所以平面BDE，平面A1C1F14 .证明：（I）连接BC,则。为B1C与BC的交点,.AO,平面BB1C1C.A01B1C,2分因为侧面BB1C1C为菱形，；BCXB1C,这分.BGL平面ABC,.AB平面ABC,故B1C±AB.4分(H)作ODLBC,垂足为D,连结AD,AO,BC,BCL平面AOD,又BC平面ABC,平面ABCL平面AOD,交线为AD,作OH,AD,垂足为H,3，平面ABC9分./CBB=60°,所以ACBB为等边三

23、角形，又BC=1,可得OA4，11:由于ACAB1,.OABC-,AD，ODOA222由OHAD=ODOA,可得OH=Y21,又。为B1C的中点,14所以点B1到平面ABC的距离为理,所以三棱柱ABC-AB1C1的高高为叵。T2分7另解(等体积法)：./CBB=60°,所以ACBB为等边三角形，又BC=1,可得BO=,由于ACABi,OA1B1C1,.AB=1,AC2,乡分2222则等腰三角形ABC的面积为14.12(、2)2，2248设点B1到平面ABC的距离为d,由 Vb1-abc=VA-bbic得d8所以三棱柱ABC-AB1C1的高高为.21712分15.(1)解如图，由已知A

24、D/BC,故/DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD，平面PDC,所以ADXPD.在RtAPDA中,由已知彳导AP=%bD?+PU二典AD_乖故cos/DAP=/IP-5.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为(2)证明因为AD，平面PDC,直线PD?平面PDC,所以AD±PD.又因为BC/AD,所以PDXBC.XPDLPB,所以PDL平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PDL平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以/DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD/BC

25、,DF/AB,故BF=AD=1,由已知，得CF=BC-BF=2.又ADLDC,故BCXDC,在RtADCF中，可彳导DF=、C'D2+仃工2'5在RtADPF中，可彳导sin/DFP=DF5但所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为516.【解】(1)证明：延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFEL平面ABC,且ACBC,所以AC,平面BCK,因此BFLAC.又因为EF/BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以4BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFXCK.所以BFL平面ACFD.(2)因为BFL平面ACK,所以/BDF是直线BD与平面ACFD所成

26、的角.在RtBFD中，BF=3,DF=|,得cos/BDF=与，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为率.17 .(1)证明由题设知，平面CMDL平面ABCD,交线为CD.因为BCXCD,BC?平面ABCD,所以BCL平面CMD,又DM?平面CMD,故BCXDM.因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DMLCM.又BCnCM=C,BC,CM?平面BMC,所以DM,平面BMC.又DM?平面AMD,故平面AMD，平面BMC.A（2）解当P为AM的中点时，MC/平面PBD.证明如下：连接AC,BD,交于点O.因为ABCD为矩形，所以。为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点，所以MC/OP.又MC?平面PBD,OP?平面PBD,所以MC/平面PBD