微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念

1、微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念2022-3-121 曲面的概念1.1.简单曲面及其参数表示；简单曲面及其参数表示；2.2.光滑曲面光滑曲面 曲面的切平面和法线；曲面的切平面和法线；3.3.曲面上的曲线族和曲线网曲面上的曲线族和曲线网. .1.1 简单曲面及其参数表示简单曲面及其参数表示定义定义1 1 （约当曲线）（约当曲线）.称称为为约约当当曲曲线线平平面面上上不不自自交交的的闭闭曲曲线线注注（约当定理）（约当定理）分分，约约当当曲曲线线分分平平面面为为两两部部线线为为边边界界，并并且且每每一一部部分分都都以以此此曲曲，它它们们中中间间一一个个是是有有限限的的.另另一一部部分分是是无无限

2、限的的定义定义2 2 （初等区域）（初等区域）部部在在平平面面上上的的同同胚胚像像约约当当曲曲线线的的内内部部及及其其内内.称称为为平平面面上上的的初初等等区区域域如如：长长方方形形内内部部 正正方方形形内内部部圆圆内内部部椭椭圆圆内内部部Oxy全全平平面面 1.1.简单曲面简单曲面定义定义3 3 （简单曲面）（简单曲面）.3面面中中的的同同胚胚像像称称为为简简单单曲曲平平面面上上的的初初等等区区域域在在 E如如：简单曲面简单曲面fgOuv),(vu.GOyzx),(zyx2.2.简单曲面的参数表示简单曲面的参数表示Sf P),(vurr ),(vurr ),(),(),(vuzvuyvux

3、的向量式参数表示的向量式参数表示)(S),(),(),(vuzzvuyyvuxx 的坐标式参数表示的坐标式参数表示)(S),(vu.,坐标坐标叫做曲面的参数或曲纹叫做曲面的参数或曲纹vu).,(),(vuPzyxP也也可可直直接接写写作作曲曲面面上上的的点点GOuv),(00vu.Oyzx3.3.曲纹坐标网曲纹坐标网Sf P),(00vu坐标直线坐标直线u坐标曲线坐标曲线u坐标直线坐标直线v坐标曲线坐标曲线v坐坐标标直直线线的的方方程程为为u,0vv ),()(vurrS 的的方方程程为为设设曲曲面面曲曲线线的的方方程程为为：的的上上点点则则过过曲曲面面-),()(00uvuPS),(0vur

4、r ),(),(),(000vuzvuyvux ,0vv 或或,同同样样坐坐标标直直线线的的方方程程为为v,0uu 曲曲线线的的方方程程为为：的的上上点点则则过过曲曲面面-),()(00vvuPS),(0vurr ),(),(),(000vuzvuyvux ,0uu 或或GOuv),(00vu.Oyzx3.3.曲纹坐标网曲纹坐标网Sf P),(00vu坐标直线族坐标直线族u坐标曲线族坐标曲线族u坐标直线族坐标直线族v坐标曲线族坐标曲线族v坐坐标标曲曲线线族族的的方方程程为为u常常数数； v坐坐标标曲曲线线族族的的方方程程为为v.常常数数 u网网坐坐标标曲曲线线族族形形成成的的曲曲线线坐坐标标曲

5、曲线线族族与与 vu叫叫做做曲曲纹纹坐坐标标网网（或或参参数数曲曲线线网网）xyzo例例1 1（带缝的圆柱面）（带缝的圆柱面）O)( u)(tv 2fR t参数方程：参数方程：),20( t 其其中中tzRyRx ,sin,cos :其其坐坐标标曲曲线线为为:)(常常数数曲曲线线 t ,sin,cos0tRRr 纬纬圆圆 :)(常常数数曲曲线线 t,sin,cos00tRRr 1 , 0 , 00 ,sin,cos00tRR 直直母母线线 例例2 2（带缝的球面）（带缝的球面）O)( u)( v 2f参数方程：参数方程：)20 ,22( 其中其中 sin,sincos,coscosRzRyRx

6、 :其其坐坐标标曲曲线线为为:)(常常数数曲曲线线 .纬纬圆圆:)(常常数数曲曲线线 .经经线线2 2 R xyzO例例3 3（带缝的旋转曲面）（带缝的旋转曲面）O)( u)(tv 2f参数方程：参数方程：),20( t 其其中中)(,sin)(,cos)(tztytx :其其坐坐标标曲曲线线为为:)(常常数数曲曲线线 t .纬纬圆圆:)(常常数数曲曲线线 t.经经线线xyzo).()()(),()(如如图图旋旋转转曲曲面面轴轴旋旋转转一一周周得得一一带带缝缝的的绕绕，：面面上上的的曲曲线线将将zttztxCxoz ),(zyx 1.2 光滑曲面光滑曲面 曲面的切平面和法线曲面的切平面和法线1

7、.1.光滑曲面，正常点光滑曲面，正常点定义定义4 4,阶的连续偏微商阶的连续偏微商中的函数有直至中的函数有直至k),(),(),(),(vurrvuzzvuyyvuxx 或或如如果果曲曲面面方方程程.类曲面类曲面则称为则称为kC特别地，特别地，类曲面又称为光滑曲面类曲面又称为光滑曲面1C.0类曲面又称为连续曲面类曲面又称为连续曲面C定义定义5 5，上上的的点点对对于于曲曲面面),(),(:00vuPvurrS )(光滑曲面光滑曲面)(正常点正常点0),(),(0000 vurvurvu如如果果为为曲曲面面上上的的正正常常点点，则则称称点点),(00vuP.,称称为为奇奇点点否否则则注注正常点的

8、几何意义：正常点的几何意义：OyzxS P曲曲线线-u曲线曲线-v),(00vuru),(00vurv0),(),(0000 vurvurvu.-),(00曲线不相切曲线不相切曲线和曲线和的的表示经过点表示经过点vuvu定义定义6 6曲线网，曲线网，曲面上两族曲线构成的曲面上两族曲线构成的)(正规曲线网正规曲线网不不相相切切，如如果果任任意意两两条条异异族族曲曲线线则称该曲线网为则称该曲线网为.正规曲线网正规曲线网注注.)1(网网是是正正规规网网正正则则曲曲面面上上的的曲曲纹纹坐坐标标.)2(是是正正规规网网因因而而其其上上的的曲曲纹纹坐坐标标网网则则曲曲面面片片上上，曲曲面面的的正正常常点点

9、总总在在一一正正事事实实上上，因因为为曲曲面面是是光光滑滑的的，, 连连续续vurr为为正正常常点点，如如果果点点),(00vuP, 0),(),(0000 vurvurvu则则.连续连续从而从而uurr ，的的一一个个邻邻域域总总存存在在Uvu),(00, 0 vurr在在此此邻邻域域内内，所所对对应应的的正正则则曲曲面面片片上上在在邻邻域域于于是是点点UvuP),(00.规规网网其其上上的的曲曲纹纹坐坐标标网网是是正正命题命题1 1总总可可以以用用形形如如曲曲面面在在正正常常点点的的邻邻域域中中),(),(),(zyxxzxyyyxzz 或或或或.的的参参数数表表示示证：证：为为正正常常点

10、点，设设点点),(00vuP, 0),(),(0000 vurvurvu则则，的的一一个个邻邻域域总总存存在在Uvu),(00, 0 vurr在在此此邻邻域域内内, 0, vyvxuyuxvxvzuxuzvzvyuzuyrrvu即即.),(Uvu , 0 vyvxuyux不妨设不妨设 ),(),(vuyyvuxx对对于于方方程程组组)( 满足：满足：；至至少少有有一一阶阶连连续续偏偏微微商商，),(),()(vuyvuxi ),(),()(000000vuyyvuxxii, 0),(),()()0,0(00),( vuvyvxuyuxvuyxJocbiiiivu行列式行列式，由由反反函函数数存

11、存在在定定理理可可知知，的一个邻域的一个邻域总存在总存在Vvu),(00内内，在在此此邻邻域域 V反反函函数数有有唯唯一一一一对对连连续续可可微微的的方方程程组组)( ),(),(yxvvyxuu得得：将将其其代代入入),(vuzz ),(),(yxvyxuzz ),(yxz 注注数数表表示示，是是曲曲面面的的一一种种特特殊殊的的参参),(yxzz ，即即),(,yxzyxrr ).,(是是参参数数yx2.2.曲面的切平面和法线曲面的切平面和法线GOuv),(00vu.OyzxSf P),(00vu坐标直线坐标直线u坐标曲线坐标曲线u坐标直线坐标直线v坐标曲线坐标曲线v),(:vurr )()

12、,(tvvtuu )(),(tvvtuu 或或)(),(tvturr C)(vuu 或或)(uvv 或或0),( vuf或或的曲纹坐标方程的曲纹坐标方程曲线曲线)(C的的切切向向量量为为在在点点曲曲线线),()(00vuPC000),(),(0000tvtutdtdvvurdtduvurr 定义定义7 7)(切方向切方向的的切切向向量量平平行行的的方方向向在在点点与与曲曲线线PC)(向向叫叫做做曲曲面面在在该该点点的的切切方方).(或或方方向向命题命题2 2., 所所决决定定的的平平面面上上坐坐标标曲曲线线的的切切向向量量方方向向都都在在过过该该点点的的曲曲面面在在一一点点处处的的所所有有切切

13、vurr定义定义8 8)(切平面切平面.,面面在在该该点点的的切切平平面面所所决决定定的的平平面面上上叫叫做做曲曲线线的的切切向向量量曲曲面面在在一一点点处处的的坐坐标标曲曲vurr定义定义9 9)(法方向、法线法方向、法线.方方向向称称为为曲曲面面的的法法方方向向切切平平面面的的曲曲面面在在正正常常点点处处垂垂直直于于.法法线线直直线线叫叫做做曲曲面面在在该该点点的的过过该该点点平平行行于于法法方方向向的的S P，法法向向量量vurrN .vuvurrrrn 单位法向量单位法向量切切平平面面和和法法线线方方程程S P),(00vuurvr:切切平平面面方方程程0),(),(),(000000

14、 vurvurvurRvu0),(),(),(),(),(),(),(),(),(000000000000000000 vuzvuyvuxvuzvuyvuxvuzZvuyYvuxXvvvuuu:法法线线方方程程),(),(),(000000vurvurvurvu ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(000000000000000000000000000000vuyvuxvuyvuxvuzZvuxvuzvuxvuzvuyYvuzvuyvuzvuyvuxXvvuuvvuuvvuu ，若曲面若曲面),(:)1(vurrS ，若若曲曲面面),(:)

15、2(yxzzS ，则则),(,yxzyxr ，于是于是, 0 , 1prx ，, 1 , 0qry ，其其中中yzqxzp 处处的的切切平平面面方方程程为为：曲曲面面在在点点),(yx01001 qpzZyYxX).()(yYqxXpzZ 即即法线方程为：法线方程为：.1 zZqyYpxX例例1 1.),(,sin,cos:)(的的切切平平面面和和法法线线方方程程处处在在任任一一点点求求圆圆柱柱面面tPtRRrS 解：解：,sin,costRRr ,0 ,cos,sin RRr ,1 , 0 , 0 tr处处的的切切平平面面方方程程为为：在在任任一一点点),()(tPS , 01000coss

16、insincos RRtzRyRxRyx sincos即即处处的的法法线线方方程程为为：在在点点),()(tPS ,0sinsincoscostzRRyRRx .0sinsincoscostzRyRx 即即.,法法线线平平行行面面唯唯一一沿沿同同一一条条直直母母线线的的切切平平可可见见xyzo 注注切方向的表示法：切方向的表示法：)1(GOuv),(vu.OyzxSf P),(vuC切切方方向向dtdvrdtdurdtrdvu /切切方方向向),(vurdvdurdvrd /切切方方向向,vurdvdur /表表示示，切切方方向向常常用用dvdu :.)(表表示示或或也也用用drd,dvrdu

17、rrdvu /注注切切空空间间)2(fGOuv),(00vu.)(COyzxS P),(00vuurvr),(),(0000vurvurVvu 任任给给一一个个向向量量:),(00的的曲曲线线上上必必定定能能找找到到过过点点则则在在曲曲面面vuPS),(),(0000ttvtturr .),(00VvuP的的切切向向量量就就是是此此曲曲线线在在点点PT处的切空间，处的切空间，在点在点称为曲面称为曲面PSTP.,的一组基的一组基是切空间是切空间PvuTrr3.3.曲面的参数变换及曲面的正侧曲面的参数变换及曲面的正侧GvuvurrS ),(),(:)(给定曲面给定曲面 ),(),(vuvvvuuu

18、及函数组及函数组)( ；至至少少有有一一阶阶连连续续偏偏微微商商函函数数组组)()( i, 0),(),()( vvvuuvuuvuvuJocbiii行列式行列式定义定义1010Gvu ),(满满足足下下列列条条件件：若若函函数数组组)( .)()(的的一一宗宗一一一一对对应应到到给给出出了了函函数数组组GGiii .)()(的的一一个个参参数数变变换换为为曲曲面面则则称称函函数数组组S GOuv),(vu.Oyzx)(Sf同同胚胚),(vu PG),(vu.g同同胚胚h同同胚胚,)( 下下在在 :)(方程为方程为曲面的曲面的 S),(),(vuvvuurr ),(vur Gvu ),(.)(

19、)(的的一一个个参参数数变变换换称称为为曲曲面面函函数数组组S 注注.称为曲面的正侧称为曲面的正侧所指向的一侧所指向的一侧或或曲面的法向量曲面的法向量nN定义定义1111双侧曲面双侧曲面有正、负侧的曲面叫做有正、负侧的曲面叫做).(或可定向曲面或可定向曲面否则叫做单侧曲面否则叫做单侧曲面).(或不可定向曲面或不可定向曲面.P可定向曲面可定向曲面麦比乌斯带麦比乌斯带不可定向曲面不可定向曲面注注./)1(nnNN ，在在参参数数变变换换下下，., 0),(),()2(即即曲曲面面的的正正侧侧保保持持不不变变则则若若nnvuvu 事实上，事实上，),(),(vuvvuurr ,uvruurrvuu

20、,vvrvurrvuv )()(vvrvuruvruurrrNvuvuvu )(uurrvvvuuvuu )(),(),(uurrvuvu ，Nvuvu),(),( ./nnNN ，., 0),(),(nnNNvuvu 同同向向，从从而而与与则则若若.)3(换换下下不不变变曲曲面面的的正正则则性性在在参参数数变变.)4(的的确确定定有有关关曲曲面面正正侧侧的的确确定定与与参参数数顺顺序序构构成成右右手手系系，Nrrvu,对调时，对调时，与与当坐标曲线当坐标曲线vu改变为它的反向，改变为它的反向，N.侧侧因而曲面的正侧变为负因而曲面的正侧变为负1.3 曲面上的曲线族和曲线网曲面上的曲线族和曲线网

21、1.1.曲面上的曲线族曲面上的曲线族)(00是是固固定定常常数数vvv .曲曲线线表表示示一一条条 u )(00是是任任意意常常数数vvv .曲曲线线表表示示一一族族 u .曲曲线线族族即即 u)(00是是任任意意常常数数uuu .曲曲线线表表示示一一族族 v .曲曲线线族族即即 v)(),(),(是是任任意意常常数数CCtvvCtuu .曲曲线线表表示示一一族族 u .曲曲线线族族即即 u.表表示示曲曲面面上上的的一一族族曲曲线线 同同理理，)(0),(),(),(是是任任意意常常数数或或或或CCvufCtvCvu .表表示示曲曲面面上上的的一一族族曲曲线线 定义定义1212)(曲曲线线族族

22、，给给定定曲曲面面上上的的一一族族曲曲线线它它的的方方程程由由一一个个参参数数来来确确定定，参参数数并并且且连连续续地地依依赖赖于于这这个个)(，当当取取定定参参数数的的一一个个值值时时就就得得到到一一条条曲曲线线，点点，如如果果对对于于曲曲面面上上每每一一个个有有唯唯一一的的一一条条曲曲线线通通过过该该点点，的的单单参参数数则则称称这这族族曲曲线线为为曲曲面面上上曲曲线线族族，.简简称称曲曲面面上上的的曲曲线线族族由由上上可可以以看看出出，为为：曲曲面面上上的的曲曲线线族族可可以以表表 ),(),(CtvvCtuu),(Cvu 或或),( Ctv 或或0),( Cvuf或或)( 是任意常数是任意常数C命题命题1 1一一个个线线性性微微分分方方程程)0(0),(),(22 BAdvvuBduvuA.总总表表示示曲曲面面上上的的曲曲线线族族）（*.(*)表表示示的的微微分分方方程程线线族族均均可可用用形形如如反反之之，曲曲面面上上的的任任一一曲曲.(*)分分方方程程称称为为曲曲面面上上曲曲线线族族的的微微证：证：，不不妨妨设设0),( vuA，则则0 dv可可