实验1 多元函数微分学(基础实验)指导书

1、 附录 大学数学实验指导书项目三 多元函数微积分实验1 多元函数微分学（基础实验）实验目的 掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分例1.1 (教材 例1.1) 设求输入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y则输出所求结果.例1.2 设求和全微分dz.输入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y则有输出再输入Dtz则得到输出例1.3 (教材 例

2、1.2) 设其中a是常数, 求dz.输入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constants->a/Simplify则输出结果:(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants->a+ Dty,Constants->a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中Dtx,Constants->a就是dx, Dty,Constants->a就是dy. 可以用代换命令“/.”把它们换掉. 输入wf/.Dtx,Constants->a->dx,Dty,Constants->a->dy输出为(a+xy)-1+y(dxy2+dy(x

3、y+(a+xy)Loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 设,求输入 eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants->u,v(*第一个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants->u,v(*第二个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstants->u,v,Dv,x,NonConstants->u,v/Simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出 其中Du,x,NonConstants->u

4、,v表示u对x的偏导数, 而Dv,x,NonCosnstants->u,v表示v对x的偏导数. 类似地可求得u,v对y的偏导数.微分学的几何应用例1.5 求出曲面在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.解(1) 画出曲面的图形. 曲面的参数方程为输入命令Clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=ParametricPlot3Dr*Sinu/Sqrt2.,r*Cosu,r2,u,0,2*Pi,r,0,2则输出相应图形(图1.2).图1.2 (2) 画出切平面的图形. 输入命令a=Dfx,y,x/.x->1,y-&

5、gt;1;b=Dfx,y,y/.x->1,y->1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-1);g2=Plot3Dpx,y,x,-2,2,y,-2,2;则输出切平面方程为及相应图形(图1.3).图1.3 (3) 画出法线的图形. 输入命令lyx_=1+b(x-1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3Dx,lyx,lzx,x,-2,2;Showp1,g2,g3,AspectRatio->Automatic,ViewPoint->-2.530,-1.025,2.000;则输出相应图形(图1.4).图1.4例1.6 (教材 例

6、1.4) 求曲面在点处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里.输入Cleark,z;kx_,y_=4/(x2+y2+1);(*定义函数k(x,y)*)kx=Dkx,y,x/.x->1/4,y->1/2;(*求函数k(x,y)对x的偏导数, 并代入在指定点的值*)ky=Dkx,y,y/.x->1/4,y->1/2;(*求函数k(x,y)对y的偏导数, 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定义在指定点的切平面函数*)再输入qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange->0,

7、4,BoxRatios->1,1,1,PlotPoints->30,DisplayFunction->Identity;qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;Showqm,qpm,DisplayFunction->$DisplayFunction则输出所求曲面与切平面的图形（图1.5）.图1.5多元函数的极值例1.7 (教材 例1.5) 求的极值.输入Clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx=0,fy=0则分

8、别输出所求偏导数和驻点:x->-3,y->0,x->-3,y->2,x->1,y->0,x->1,y->2再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令fxx=Dfx,y,x,2;fyy=Dfx,y,y,2;fxy=Dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2输出为判别式函数的形式:(6+6x)(6-6y)再输入data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;TableFormdata,TableHeadings->None, "x ", "y ", "fxx ",

9、 "disc ", "f "最后我们得到了四个驻点处的判别式与的值并以表格形式列出.Xyfxxdiscf-30-12-7227-32-127231101272-51212-72-1易见,当时判别式disc=72, 函数有极大值31;当时判别式disc=72, 函数有极小值-5;当和时, 判别式disc=-72, 函数在这些点没有极值.最后,把函数的等高线和四个极值点用图形表示出来,输入d2=x,y/.critpts;g4=ListPlotd2,PlotStyle->PointSize0.02,DisplayFunction->Identity

10、;g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contours->40,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg4,g5,DisplayFunction->$DisplayFunction则输出图1.6.图1.6从上图可见, 在两个极值点附近, 函数的等高线为封闭的. 在非极值点附近, 等高线不封闭. 这也是从图形上判断极值点的方法.注:在项

11、目一的实验4中,我们曾用命令FindMinimum来求一元函数的极值, 实际上,也可以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令FindMinimumfx,y,x,-1,y,1则输出-5.,x->1.,y->-2.36603×10-8从中看到在的附近函数有极小值-5, 但y的精度不够好.例1.8 求函数在条件下的极值.输入Clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y,r,x=0,Dlax,y,r,y=0,D

12、lax,y,r,r=0得到输出再输入fx,y/.extpts/Simplify得到两个可能是条件极值的函数值但是否真的取到条件极值呢? 可利用等高线作图来判断.输入dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle->PointSize0.03,DisplayFunction->Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours->20,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,A

13、xes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;cp2=ContourPlotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->60,Contours->0,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,ContourStyle->Dashing0.01,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg1,cp1,cp2,AspectRatio->

14、;1,DisplayFunction->$DisplayFunction输出为及图1.7. 从图可见，在极值可疑点处, 函数的等高线与曲线(虚线)相切. 函数的等高线是一系列同心圆, 由里向外, 函数值在增大, 在的附近观察, 可以得出取条件极大的结论. 在 的附近观察, 可以得出取条件极小的结论.图1.7梯度场例1.9 画出函数的梯度向量.解 输入命令<<GraphicsContourPlot3D<<GraphicsPlotField3D<<CalculusVectorAnalysisSetCoordinatesCartesianx,y,z;f=z2

15、-x2-y2;cp3d=ContourPlot3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,Contours->1.0,Axes->True,AxesLabel->"x","y","z"vecplot3d=PlotGradientField3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,PlotPoints->3,VectorHeads->True;Showvecplot3d, cp3d;则输出相应图形(图1.8)图1.8例1.10 在同一坐标面上作出 和 的等高线图

16、(), 并给出它们之间的关系.解 输入命令<<CalculusVectorAnalysis<<GraphicsPlotFieldSetCoordinatesCartesianx,y,z;checku_,v_:=Gradu1-Gradv2,Gradv1+Gradu2u=x(1+1/(x2+y2);v=y(1-1/(x2+y2);checku,v/Simplifyugradplot=PlotGradientFieldu,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;uplot=ContourPlotu,x,-2,2,y,-2,2,Co

17、ntourStyle->GrayLevel0,ContourShading->False,DisplayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40;g1=Showuplot,ugradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;vgradplot=PlotGradientFieldv,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;vplot=ContourPlotv,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle->Gray

18、Level0.7,ContourShading->False,DisplayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40;g2=Showvplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g3=Showuplot,vplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g4=Showugradplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;则输出相应图形(图1.9)，其中(a) 的梯度

19、与等高线图;(b) 的梯度与等高线图;(c) 与的等高线图;(d) 与的梯度图. (a) (b) (c) (d)图1.9从上述图中可以看出它们的等高线为一族正交曲线. 事实上, 有且它们满足拉普拉斯方程例1.11 (教材 例1.6) 设作出的图形和等高线, 再作出它的梯度向量gradf的图形. 把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起, 观察它们之间的关系.输入调用作向量场图形的软件包命令<<GraphicsPlotField.m再输入Clearf;fx_,y_=x*Exp-x2-y2;dgx=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->

20、60, Contours->25,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0td=PlotGradientFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Frame->FalseShowdgx,td输出为图1.10. 从图可以看到平面上过每一点的等高线和梯度向量是垂直的, 且梯度的方向是指向函数值增大的方向.图1.10例1.12 求出函数的极值, 并画出函数的等高线、驻点以及的梯度向量的图形.输入命令<<GraphicsPlotFieldf=x4-4*x*y

21、+y2;FindMinimumf,x,1,y,1conplot=ContourPlotf,x,-2,2,y,-3,3,ContourShading->False,PlotPoints->100,Contours->-4,-2,0,2,4,10,20;fieldplot=PlotGradientField-f,x,-2,2,y,-3,3,ScaleFunction->(Tanh#/5&);critptplot=ListPlot-Sqrt2,-2*Sqrt2,0,0,Sqrt2,2*Sqrt2,PlotStyle->PointSize0.03;Showconp

22、lot,fieldplot,critptplot;则得到的最小值以及函数的图形(图1.11).图1.11 实验2 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Mathematica计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力. 计算重积分 例2.1 (教材 例2.1) 计算 其中为由 所围成的有界区域.先作出区域的草图, 易直接确定积分限,且应先对积分, 因此, 输入 Integratex*y2,y,1,2,x,2-y,Sqrty则输出所求二重积分的计算结果 例2.2 (教材 例2.2) 计算 其中为 如果用直角坐标

23、计算, 输入Clearf,r;fx,y=Exp-(x2+y2);Integratefx,y,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2,Sqrt1-x2则输出为 其中Erf是误差函数. 显然积分遇到了困难. 如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入 Integrate(fx,y/.x->r*Cost,y->r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出所求二重积分的计算结果 如果输入 NIntegrate(fx,y/.x->r*Cost,y->r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出积分的近似值 1.98587例2.3 (教材 例2.3)

24、 计算, 其中由曲面与围成. 先作出区域的图形. 输入 g1=ParametricPlot3DSqrt2*Sinfi*Costh, Sqrt2*Sinfi*Sinth, Sqrt2*Cosfi,fi,0,Pi/4,th,0,2Pig2=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,1,t,0,2PiShowg1,g2,ViewPoint->1.3,-2.4,1.0则分别输出三个图形（图2.1(a), (b), (c)）.(a)(b) 图2.1考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 gx_,y_,z_=x2+y2+z; Integrate

25、gx,y,z,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2, Sqrt1-x2, z,Sqrtx2+y2,Sqrt2-x2-y2执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入 Integrate(gx,y,z/.x->r*Coss,y->r*Sins)*r, r,0,1,s,0,2Pi,z,r,Sqrt2-r2则输出 如果用球面坐标计算,输入Integrate(gx,y,z/.x->r*Sinfi*Cost,y->r*Sinfi*Sint,z->r*Cosfi)*r2*Sinfi,s,0,2Pi,fi,0,Pi/4,r,

26、0,Sqrt2则输出 这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用 例2.4 求由曲面与所围成的空间区域的体积. 输入Clearf,g;fx_,y_=1-x-y;gx_,y_=2-x2-y2;Plot3Dfx,y,x,-1,2,y,-1,2Plot3Dgx,y,x,-1,2,y,-1,2Show%,%一共输出三个图形, 最后一个图形是图2.1.图2.2首先观察到的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到平面上输入 jx=Solvefx,y=gx,y,y得到输出 为了取出这两条曲线方程, 输入 y1=jx1,1,2 y2=jx2,1,2输出为 再输入tu1=Ploty1,x,-2,3,PlotS

27、tyle->Dashing0.02,DisplayFunction->Identity;tu2=Ploty2,x,-2,3,DisplayFunction->Identity;Showtu1,tu2,AspectRatio->1, DisplayFunction->$DisplayFunction输出为图2.2, 由此可见,是下半圆(虚线),是上半圆,因此投影区域是一个圆.图2.2设的解为与,则为的积分限. 输入 xvals=Solvey1=y2,x输出为 为了取出, 输入 x1=xvals1,1,2x2=xvals2,1,2输出为 这时可以作最后的计算了. 输入

28、Volume=Integrategx,y-fx,y,x,x1,x2,y,y1,y2/Simplify输出结果为 例2.5 (教材 例2.4) 求旋转抛物面在平面上部的面积 先调用软件包, 输入 <<GraphicsParametricPlot3D 再输入 CylindricalPlot3D4-r2,r,0,2,t,0,2 Pi则输出图2.3.图2.3 利用计算曲面面积的公式, 输入 Clearz,z1; z=4-x2-y2; z=SqrtDz,x2+Dz,y2+1输出为, 因此,利用极坐标计算. 再输入z1=Simplifyz/.x->r*Cost,y->r*Sint;

29、Integratez1*r,t,0,2 Pi,r,0,2/Simplify则输出所求曲面的面积 例2.6 在平面内有一个半径为2的圆, 它与轴在原点相切, 求它绕轴旋转一周所得旋转体体积.先作出这个旋转体的图形. 因为圆的方程是它绕轴旋转所得的圆环面的方程为, 所以圆环面的球坐标方程是 输入 SphericalPlot3D4 Sint,t,0,Pi,s,0,2 Pi,PlotPoints->30,ViewPoint->4.0,0.54,2.0输出为图2.4. 图2.4这是一个环面, 它的体积可以用三重积分计算(用球坐标). 输入Integrater2*Sint,s,0,2 Pi,t

30、,0,Pi,r,0,4 Sint得到这个旋转体的体积为计算曲线积分例2.7 (教材 例2.5) 求 , 其中积分路径为: 注意到,弧长微元, 将曲线积分化为定积分,输入 Clearx,y,z; luj=t,t2,3t2;Dluj,t则输出对的导数 再输入 ds=SqrtDluj,t.Dluj,t;Integrate(Sqrt1+30 x2+10y/.x->t, y->t2,z->3t2)*ds,t,0,2则输出所求曲线积分的结果:326/3.例2.8 (教材 例2.6) 求, 其中 输入 vecf=x*y6,3x*(x*y5+2);vecr=2*Cost,Sint;Integ

31、rate(vecf.Dvecr,t)/.x->2Cost,y->Sint, t,0,2 Pi则输出所求积分的结果12 例2.9 求锥面与柱面的交线的长度. 先画出锥面和柱面的交线的图形. 输入g1=ParametricPlot3DSinu*Cosv, Sinu*Sinv,Sinu, u,0,Pi,v,0,2Pi,DisplayFunction->Identity;g2=ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,z,t,0,2Pi,z,0,1.2, DisplayFunction->Identity;Showg1,g2,ViewPoint->1

32、,-1,2,DisplayFunction->$DisplayFunction输出为图2.5.图2.5输入直接作曲线的命令ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,Cost,t,-Pi/2,Pi/2, ViewPoint->1,-1,2,Ticks->False输出为图2.6.图2.6为了用线积分计算曲线的弧长, 必须把曲线用参数方程表示出来. 因为空间曲线的投影曲线的方程为, 它可以化成,再代入锥面方程, 得 因为空间曲线的弧长的计算公式是, 因此输入Clearx,y,z;x=Cost2;y=Cost*Sint;z=Cost;qx=x,y,z;Inte

33、grateSqrtDqx,t. Dqx,t/Simplify,t,-Pi/2,Pi/2输出为 2Elliptice-1这是椭圆积分函数. 换算成近似值. 输入 %/N输出为 3.8202 计算曲面积分例2.10 (教材 例2.7) 计算曲面积分, 其中为锥面被柱面所截得的有限部分.注意到,面积微元, 投影曲线的极坐标方程为将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.输入Clearf,g,r,t;fx_,y_,z_=x*y+y*z+z*x;gx_,y_=Sqrtx2+y2;mj=Sqrt1+Dgx,y,x2+Dgx,y,y2/Simplify;Integrate(fx,y,gx,y*mj/.

34、x->r*Cost,y->r* Sint)*r,t,-Pi/2,Pi/2,r,0,2Cost则输出所求曲面积分的计算结果 例2.11 计算曲面积分 其中为球面的外侧. 可以利用两类曲面积分的关系, 化作对曲面面积的曲面积分. 这里. 因为球坐标的体积元素注意到在球面上, 取后得到面积元素的表示式: 把对面积的曲面即直接化作对的二重积分. 输入ClearA,fa,ds;A=x3,y3,z3;fa=x,y,z/a;ds=a2*Sinu;Integrate(A.fa/.x->a*Sinu*Cosv,y->a*Sinu*Sinv, z->a*Cosu)*ds/Simpli

35、fy,u,0,Pi,v,0,2Pi输出为 如果用高斯公式计算, 则化为三重积分, 其中为. 采用球坐标计算, 输入 <<CalculusVectorAnalysis执行后再输入SetCoordinatesCartesianx,y,z; (*设定坐标系*)diva=DivA; (*求向量场的散度*)Integrate(diva/.x->r*Sinu*Cosv,y->r*Sinu*Sinv,z->r*Cosu)*r2Sinu,v,0,2Pi,u,0,Pi,r,0,a输出结果相同.实验3 最小二乘拟合（基础实验）实验目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理. 学会观察给

36、定数表的散点图, 选择恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理给定平面上的一组点寻求一条曲线使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求使达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式其中称为拟合函数的基底函数.为使取到极小值, 将的表达式代入, 对变量求函数的偏导数, 令其等于零, 就得到由个方程组成的方程组, 从中可解出曲线拟合例3.1 (教材 例3.1) 为研究某一化学反应过程中温度对产品得率的影响, 测得数据如下:x100110120130140150160170180190y45515461667074788589试求其拟合曲

37、线.输入点的坐标, 作散点图, 即输入b2=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89;fp=ListPlotb2则输出题设数据的散点图.通过观察发现散点基本位于一条直线附近, 可用直线拟合. 输入Fitb2,1,x,x (*用Fit作拟合, 这里是线性拟合*)则输出拟合直线-2.73939+0.48303x作图观察拟合效果. 输入gp=Plot%,x,100,190,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->Identity; (*作拟合曲线的

38、图形*)Showfp,gp,DisplayFunction->$DisplayFunction (*显示数据点与拟合曲线*)则输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图3.1）. 图3.1例3.2 (教材 例3.2) 给定平面上点的坐标如下表:试求其拟合曲线.输入data=0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4, 5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627;pd=ListPlotdata;则输出题设数据的散点图.观察发现这些点位于一条抛物线附近. 用抛物线拟合, 即取基底函数 输

39、入f=Fitdata,1,x,x2,x则输出5.30661-1.83196x+8.17149x2再输入fd=Plotf,x,0,1,DisplayFunction->Identity;Showpd,fd,DisplayFunction->$DisplayFunction则输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图3.2）. 图3.2下面的例子说明Fit的第二个参数中可以使用复杂的函数, 而不限于等.例3.3 (教材 例3.3) 使用初等函数的组合进行拟合的例子.先计算一个数表. 输入ft=TableN1+2Exp-x/3,x,10则输出2.43306,2.02683,1.73576,1.

40、52719,1.37775,1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135然后用基函数来做曲线拟合. 输入Fitft,1,Sinx,Exp-x/3,Exp-x,x则输出拟合函数其中有些基函数的系数非常小, 可将它们删除. 输入Chop%则输出实际上,我们正是用这个函数做的数表. 注:命令Chop的基本格式为Chopexpr,其含义是去掉表达式expr的系数中绝对值小于的项,的默认值为.实验4 水箱的流量问题（综合实验）实验目的 掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题.

41、问题 (1991年美国大学生数学建模竞赛的A题. 问题中使用的长度单位为E(英尺, 1 E=30.24cm), 容积单位是G(加仑, 1 G=3.785L).某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%). 当水箱水位低于水位L时, 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位H为止. 但是依然无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水泵一天灌水12次, 每次约2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t流出水箱的流量并估计一天

42、的总用水量.表1给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为57E, 高为40E的正圆柱体. 当水位落到27E以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至35.5E时, 水泵停止工作.表1 时间/s水位E时间/s水位E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水35503445466364995353936572546057464554685357185475021792548264985968899539327033

43、5032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假设(1) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求. 所给数据反映该镇在通常情况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等. 并且认为水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响;(2) 水泵的灌水速度为常数;(3) 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水箱中的水用尽, 这是显然的要求;(4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等)为基础的, 所以,可以认为每天的用水量分布都是相

44、似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似.问题分析与模型建立为方便起见,记V表示水的容积;表示时刻 (单位:h)水的容积;表示流出水箱的水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p表示水泵的灌水速度(G/h).先将表1中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积(单位: ). 输入tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649

45、,85968,89953,93270/3600/Nvv=Pi*(57/2)2*3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*7.481/103/N则输出下表.表2 时间/h水量/G时间/h水量/G0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9

46、811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.36764

47、8.477637.593由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表2的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度.平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度输入tt1=Table(tti+1+tti)/2,i,27vv1=Table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27则输出下表表3 时间区间的中点值/h平均水流量/G/h时间区间的中点值/h平均水流量/G/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911

48、.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.1036no_datano_datano_data18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data13.451411.8095模型求解为了作出时间tt1

49、与平均水流量vv1之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令 <<StatisticsDataManipulation.m执行以后再输入ClearL;L=TransposeDropNonNumericColumntt1,vv1*103(*命令中vv1*103,使平均水流量vv1的单位变为G/h*)g1=ListPlotL则输出图4.1图4.1图中空白区域为泵水时间. 从中可以看出数据分布不均匀. 我们采用8阶多项式进行拟合. 输入 ft=FitL,Tableti,i,0,8,t则输出这就是流出水箱的水的流速关于时间t的函数. 为作出其拟合曲线图, 输入fg=Plotft,t,0,2

50、6,DisplayFunction->Identity;Showg1,fg,DisplayFunction->$DisplayFunction则输出图4.2.图4.2求解结果将h和h代入到水的流速拟合函数我们得到这两时刻的流速分别近似为13532.5G/h和13196.1G/h,相差仅2.48587%, 从而可以认为能近似表达一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等于函数在24小时周期内的积分. 输入Integrateft,t,0.46,24.46则输出336013.G若按常规每1000人的用水量为105000G/d, 因此估计出这个地区大约有3200人.模型评价该模型数学概念简单, 并且容易实现, 任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模型