数值分析实验

1、实验四数值积分与数值微分专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907一、实验目的1、熟悉matlab编程。2、学习数值积分程序设计算法。3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的 原理。二、实验题目P1371、用不同数值方法计算积分.x l n xdx(1)取不同的步长h 分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的 h，使得精度不能再被改善?(2)用龙贝格求积计算完成问题(1 )。三、实验原理与理论基础1.2龙贝格求积算法：龙贝格求积公式是梯形法的递推化, 和柯特

2、斯公式之间的关系的基础上, 量的前提下提高误差的精度的特点。1.1复合梯形公式及其复合辛普森求解h n 1Tn -f(XQ2 k 0f(Xk 1)h f2n 1a 2k 1fXkf b误差关于h的函数：Rnfb ah2 f12hn 1n 1复合辛普森公式：Sr,-f a4f Xk 1/22f Xkf b6k 0k 14误差关于h的函数：Rn fISnb ahf41802也称为逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式 构造出一种计算积分的方法，同时它有在不断增加计算计算过程如下:(1 )取 k 0, h b a，求:(2)T00求梯形值T0f b 令 k1 k记为区间a, b的二分次数.即按递

3、推公式T2n2Tnx 1计算T0k. k -2(3 )求加速值，按公式Tmk4m4m-Tmk1114mTmk 1逐个求出T表的地k行其余各元素 Tjk j j 1,2, L , k000一,.人（4）若TkTk 1（预先给定的精度），则终止计算，并取TkI;否则令k 1 k转（2）继续计算。khT0kT1k0b-a0T。1b a1十02T0T12b a2214T0T13b a3428T0T14b a47316T0T1MMMMT2kT3kT4k3T205T216T308T229T3110T40MMM上表指出了计算过程，第二列h宁给出了子区间长度，i表示第i步外推。可以证明，如果f X充分光滑，那

4、么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分I。四、实验内容程序设计如下：1、复合梯形法M文件：fun cti ont=n atrapz(f name,a,b ,n)h=(b-a)/n;fa=feval(f name,a);fb=feval(fname,b);f=feval(f name,a+h:h:b-h+0.001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f);2、复合辛普森法 M文件：fun cti ont=n atrapz(f name,a,b ,n)h=(b-a)/n;fa=feval(f name,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(f n a

5、me,a+h:h:b-h+0.001*h) f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h);t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2);3、龙贝格算法M文件：fun cti on l,step=Roberg(f,a,b,eps) if (nargin=3)eps=1.0e-4;end ;M=1; tol=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f),a)+subs(sym(f),findsym(sym( f),b);while tol>epsk=k+1;h

6、=h/2;Q=0;for i=1:Mx=a+h*(2*i-1);Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f),x);endT(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;M=2*M;for j=1:kT(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j)/(4Aj-1);endtol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j);endI=T(k+1,k+1);step=k;1、复合梯形法运行：>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short;

7、ans =>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short; ans =>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short; ans =-0.4443875389971622、复合辛普森法运行：>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),forma

8、t short; ans =-0.435297890074689>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short; ans =>> format long;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short; ans =-0.4444341176141803、龙贝格算法运行：>>q,s=Roberg('sqrt(x)*log(x)',0.00000

9、01,1)q =-0.4444s =9五、实验结果1、复合梯形法结果：>> format long;n atrapz(i nli ne('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short;ans =>> format long;n atrapz(i nli ne('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short;ans =>> format long;n atrapz(i nli ne('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000

10、),format short;ans =-0.4443875389971622、复合辛普森法结果：>> format long;n atrapzz(i nli ne('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short;ans =-0.435297890074689>> format long;n atrapzz(i nli ne('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short;ans =>> format long;n atrapzz(i nli ne(&#

11、39;sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short;ans =-0.4444341176141803、龙贝格算法结果：>>q,s=Roberg('sqrt(x)*log(x)',0.0000001,1)q =-0.4444s =9实验结论：对比以上的计算结果可得：复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时，即n越大，h越小时，积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的h，使得精度不能再被改变。由两个相应的关于h的误差余项4Rn f b a h2f ， R. f b a - f4 ，其中 a,b，可知 h愈12 180 2小，余项愈小，积分精度越高。六、实验结果分析与小结1、通过这次实习，加深了对复合梯形法、复合辛普森法和龙贝格法的理解，之前学习这三 个算法时觉得特别麻烦，公式那么长，而且不是很理解。这次实习对三种算法的编程，对三 种算法进行详细地分析，现在理解了算法的过程。在编写函数程序的过程中也在不断地提高和改进，有些虽然不是很熟，也不太清楚到底怎么做，但是查阅了之后就懂了。2、在编写程序，进行算法设计还是会出现很大问题，有程序运行