数学苏教版选修11作业222 椭圆的几何性质

1、基础达标1椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为_解析：把椭圆的方程化为标准形式1，故a2，b21，所以a，b1,24，解得，m，符合题意答案：2已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0<e，则长轴的最大值是_解析：由e2，得0<，解得1<a24.故1<a2,2<2a4.即长轴的最大值是4.答案：43若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_解析：由题意知2bac，又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20，5c22ac3a20.5e22e30，e或e1(舍去)答案：4已知F1、F2是椭圆

2、的两个焦点，满足·0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_解析：结合图形(图略)，转化为c<b.答案：5设P为椭圆1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果PF1F275°，PF2F115°，则椭圆的离心率是_解析：在RtPF1F2中，由正弦定理，得2c，2c.由椭圆的定义，知PF1PF22a.代入上式，有e.答案：6在平面直角坐标系xOy中，以椭圆1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是_解析：由题意得，圆半径r，

3、因为ABC是锐角三角形，所以cos 0>cos>cos，即<<1，所以<<1，即<<1，解得e.答案：7已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2组成的三角形的周长为42，且F1BF2，求椭圆的标准方程解：设长轴长为2a，焦距为2c，则在F2OB中，由F2BO得：ca，所以F2BF1的周长为2a2c2aa42，a2，c，b21；故所求椭圆的标准方程为y21.8已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C

4、2上，2，求直线AB的方程解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a>2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k±1，故直线AB的方程为yx或yx.能力提升1过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：椭圆1的右焦点F2(1,0)，故直线AB的

5、方程y2(x1)，由，消去y，整理得3x25x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，则x1，x2是方程3x25x0的两个实根，解得x10，x2，故A(0，2)，B，故SOABSOFASOFB××1.答案：2设F1、F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为_解析：由题意，知F2F1PF2PF130°，PF2x60°.PF22×3a2c.F1F22c，F1F2PF2，3a2c2c，e.答案：3椭圆1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当F1PF2

6、为钝角时，求点P的横坐标的取值范围解：设点P的坐标为(x，y)，F1(，0)，F2(，0)，在三角形PF1F2中，由余弦定理得：cos F1PF2，因为PF1PF26，F1F22，故cos F1PF211，当且仅当PF1PF2时取等号，即cos F1PF21.所以当cos F1PF2<0时，F1PF2为钝角令·0，因为(x，y)，(x，y)，则x25y20，y2x25，代入椭圆方程得：x2，x±，所以点P的横坐标的取值范围是<x<.4如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)已知点(1，e)和都在椭圆上

7、，其中e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.()若AF1BF2，求直线AF1的斜率；()求证：PF1PF2是定值解：(1)由题设知a2b2c2，e.由点(1，e)在椭圆上，得1，解得b21，于是c2a21.又点在椭圆上，所以1，即1，解得a22.因此，所求椭圆的方程是y21.(2)由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x1my，直线BF2的方程为x1my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0.由得(m22)y2my110，解得y1，故AF1.同理，BF2.()由得AF1BF2，解得m22，注意到m>0，故m.所以直线AF1的斜率为.()证明：因为直线AF1与BF2平行，所