追及与相遇问题(详解)

1、追及与相遇问题 刘玉平课时安排：3课时三维目标：1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度-位移公式；2、能灵活选用合适的公式解决实际问题；3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；4、 通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。教学方法：启发式、讨论式。教学过程两物体在同一直线上追及、 相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求

2、解。一、追及问题1、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。a追上前，当两者速度相等时有最大距离；b、当两者位移相等时，即后者追上前者。匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。a、 当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最_小距离；b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的

3、临界条件；c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个 值都有意义。即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟类似。匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟类似；被追赶的物体做匀减速 运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。2、分析追及问题的注意点： 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。

4、两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的 位移关系是解题的突破口。若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v-t图象的应用。第2页共10页、相遇 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【典型例题】【例1】在十字路口，汽车以 0.5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：(1) 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？(2) 在什么地方汽车追

5、上自行车？追到时汽车的速度是多大？解：汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为tv 汽=at= v 自t= 10s设汽车追上自行车所用时间为r1 2最远距离 x = x自一x汽=v自t at = 25m2此匕时x自=x汽v自t = a t"2t = 20s2此时距停车线距离x = v自tZ= 100m此时汽车速度v汽=a tz= 10m/s【例2】 客车以30m/s的速度行驶，突然发现前方72 m处有一自行车正以 6m/s的速度同 向匀速行驶，于是客车紧急刹车 若以3m/s2的加速度匀减速前进，问：(1) 客车是否会撞上自行车？若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞

6、上？(2) 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？(3) 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？1) 速度相等时用时t，则30-3t=6m/s解得t=8s，此时自行车行驶6*8=48m,客 车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m<144m,所以会撞上。假设t时刻撞上，则有 30*t-1/2*3t2=72+6*t 解得 t1=4s , t2=12s (舍去)2)不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。由(1)中得144=48+S所以至少相差96m【例3】在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为1

7、5m/s，加速度大小为 0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：(1) 两车不相遇；(2) 两车只相遇一次；(3 )两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动)。a=-0.5 v1=10 v2=15当甲车减速为v=10时，两车速度相同。即之后甲车速度小于乙车。设甲车v=10时，辆车正好相遇。t=(v1-v2)/a=10.s 甲=v2*t+atA2/2=15*10-0.5*10*10/2=125s 乙=v1*t=100L=s 甲-s 乙=25 (m )即当L<25时为两车相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动)当L=25时为两车只相遇一次当L>25时为

8、两车不相遇【例4】 如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动 ，而 物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右，做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2, 从图示位置开始计时，经多少时间A追上B.Vv2第2页共10页丄評第5页共10页解：物体B的运动时间为在此时间内B前进了tB10 =5 秒210SB = V tB5 = 25米2这时A前进了SA =VAtB =4 5 = 20 米可见在此时间内A没有追上B,必须在 B停止后,A才能追上 B.故A追上B的时间为：§B= 7哲=8秒Va4【例5】一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该

9、摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应 具有多大的加速度？解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。贝at2 =vot+So, ( 1)22Vot 2Sot22 25 2402 100022402= 0.24(m/s2)摩托车追上汽车时的速度:V = at = 0.24240 = 58 (m(3)因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。应先匀加速到最大速度再匀速追赶。丄 at： +V1mi t J - S0 ' V0t,(4)2Vm A at 1,(5)由(4) ( 5)得：11=40

10、/3 (秒)3090 c c 、a=2.25 (m/s)40/340【例6】汽车以1m/s2的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度 V0匀速追赶要车停下.已知人在离车小于20m且持续时间为 2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V0至少要多大？如果以 V0=10m/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？解：方法一、设经过时间T人和车相距20m,则根据位移关系可得60 m+ 1/2aT2- V°T= 20m将a= 1m/ s 2代入上式并整理得T 2-2V0T+ 80= 0设为该方程的两个根，由韦达定理有T 1+ T2 = 2V0 T 1 T2= 80 又因为人车相距 20

11、 m以内的时间至少持续 2s,所以有T1-T2 = 2解可得的最小速度为9m/s。当V0= 10m/s时经过一段时间t后人车之间距离为2 2 2d = 1/2aT+ 60 - MT= 1/2T 10T+ 60= 1/2(T 10)+ 10当T= 10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m点评 本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。方法二、已知人在离车小于 20m，且保持时间为 2s喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题 意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m.所以有，

12、vt-1/2at2=40 同时 v(t+2)-1/2a (t+2)2=40-得 t=v/a+1将代入得最小速度 v = 9m/s.如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。所以最小距离 =60-10*10-1/2*10 2=l0m方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机经过时间t后人与车相距为 20m即 1/2at2+60-Vot=20此时车速为at，接下来2s内保持20m距离即2 * v°=at * 2+1/2a * 22.解得 t=8s.vo=9m/s方法四、 根据题意，要在汽车的速度达到V之前，人与车的距离小于20m，因为

13、如果在汽车速度达到V的时候人车的距离还大于20m,那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1 (因为a=1 )时，人距车必须小于 20米，有60+1/2*(v+1)A2-v*(v+1)<=20,解出v就o 了方法五、根据判别式等于零来求解。作业：1. 一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以v=8m /s的速度匀速行驶的货车有违

14、章行为时，决定前去追赶。经2.5s，警车发动起来，以加速度a=2m / s2做匀加速运动，试问:(1 )警车要多长时间才能追上违章的货车？(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大？解析：方法1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。v 警=at, v 货=v。,由 v 警=v 货得 at1=v0九8s即相距最远时警车所用的时间为匕=& = 一 =4s此时货车和警车前进的距离分别为x货=v0 (t0+t1)=8m/ sx( 2.5s+4s) =52m1 5 1加 i 一22s 警=£=- x 2m/ s2 x( 4s) 2=16m两车的最大距离为

15、Xmax=x货一x警=52m 16m=36m1 adt两车的位移分别为 x警=-,x ®=v0 ( t+t°)1 i追上时两车位移相等 x警=x货，即-=v0 (t _ +t0)解得追上时所用时间t2=10s。方法2、利用二次函数的知识求解。1 3一加货车和警车的位移分别为 x警=,x ®=v0 ( t+t0)，两车的位移之差为1 2 M 22 x=x 货一x »=vo (t+t。)一 -= t +8t+20= (t-4)+36当t=4s时， x有最大值36m，即追上之前相距最大为36m。当t=IOs时, x=0，即相遇。2. 客车以20m/s的速度行驶

16、，突然发现同轨道前方 120处有一货车正以5m/s的速度同向匀速 行驶，于是客车紧急刹车，若以0.9m/s2的加速度匀减速前进，问：(1) 客车是否会撞上货车？若会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？(2) 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？(3) 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？3 .甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以vi=10m/s的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以ai=4m/s2的加速度匀减速前进。2s后乙车与甲车同方向以 a2=1m/s2的加速度从同一一 车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？解析

17、： 解法一(公式法)：甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为v1t =V1 -ao =10m/s2 4 m/s=2 m/s,此时离甲车停止运动的时间V1t2二s=0.5s。第8页共10页第#页共10页甲车已经停止了运动。根据题设条件，乙车在0.5s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时,1022 4m=12.5m2甲车停止时离车站 A的距离x甲二工 2a11 22x甲,2汉12.5设乙走完这段路程所需的时间为t,由x乙a?t2二x甲得t二.甲s=5s。2 a21故乙车出发后经过 5s追上甲车。联想求解本题最易犯的错误是：根据追上的条件1 2 1 2 X甲=x乙，有 V

18、1(t to) a1(t - to)a?t ,2 2代入数据可得t=2.6s。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。本题中甲车在被乙车追上前已停止运动。上述计算的实质是认为甲车速度减为0后又反向加速运动，所以计算出与乙车相遇的时间就短了。4 .在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为V。、加速度大小为2a的匀减速直线运动； 而B车同时做初速度为 0、加速度大小为a的匀加速直线 运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度Vo应满足的条件。解析： 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与 B车速度相等。设 A、B两从 相距s到A车追上B车时

19、，A车的位移为Xa，末速度为Va，所用时间为t; B车的位移为Xb,末 速度为Vb，运动过程如图2 -37所示。现用四种方法求解。解法一一 （利用位移公式和速度公式求解）：1 2对 A车有 xA = vot（ -2a）t , va =v0 （-2a）t。21 2对 B车有xBat , vB = at o2两车有 S =Sa - Sb，追上时，两车刚好不相撞的条件是Va =Vb ,由以上各式联立解得Vo - 6as o第9页共10页第#页共10页故要使两车不相撞，A车的初速度Vo应满足的条件是Vo< . 6as o解法二（利用速度公式和速度一位移关系式求解）：两车刚好不相撞的临界条件是：即

20、将追上时两车速度相等。设此速度为v, A车追上B车前,A车运动的时间为Va _ Vo V _ VoVo _ VaA-2a 2aB车运动的时间为tBVbV,因为tA二tB，所以aVo - V2av，即aA车的位移Xa2Va-V24aB车的位移2VbXb :2a2a，因为xs Xb，所以2Vo4a二 s2avo -3v s 二4a两式联立解得v0 = 6as o故要使两车不相撞，A车的初速度Vo应满足的条件是Vo<6as o解法三（利用判别式解）：1 2由解法一可知 XA 二 s XB , 即卩vot 2（2a）t 二 sVt2，整理得3at2 -2v°t as =0。第#页共10

21、页第#页共10页这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式人=（2vo）2-4 3a 2s vo时，t无实第#页共10页数解，即两车不相撞。故要使两车不相撞，A车的初速度vo应满足的条件是 v°w 6as。解法四(用速度图象解)：如图2- 38所示，先作A、B两车的速度图象。设经过时间t两车刚好不相撞，则图 2 -38对 A 车有Va = v = v° - 2at，对 B 车有 Vb = v = at ,由以上两式联立解得t 。3a经时间t两车的位移之差，即为原来两车间的距离s,它可用速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知11Vo V：s = Vot = Vo-2

22、2 3a 6a故要使两车不相撞，A车的初速度Vo应满足的条件是Vo .、6as。联想 分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位 移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极 值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、 解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。5. 甲、乙两车相距为s,同时同向运动，乙在前面做加速度为ai、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为 a?、初速度为vo的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度 的关

23、系。解析解法一(物理方法)：由于两车同时同向运动，故有v甲=v0+a2t, v乙=a。(1) 当aia2时，ait a2t,可得两车在运动过程中始终有v甲v乙.。由于原来甲车在后，乙 车在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。由于甲车追上 乙车时v甲 v乙，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。(2) 当ai= a2时，ait= a2t, v甲 v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。(3) 当aia2时，aita2t, v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化.。刚开始 ait和a2t相差不大且甲有初速度 vo,所以v甲 v 乙.。随着时

24、间的推移，ait和a2t相差越来越大， 当ait- a2t= vo时，v甲=v乙，接下来 ait- a2t vo,则有 v甲v乙。若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙时，两车刚好相遇，随后由于v甲v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=v乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于v甲v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次。方法二(数学方法)：设经过时间t两车能够相遇，由于12 12sp = Vot 亠 a2t ,s乙 = ait ,2 2相遇时有S甲-S乙=s，则所以

25、2(aa2)t -2v0t 2s = 0,i 2Vo - JVo - 2( a - a? )sa i _ a 2(1)当ai<a2时，t只有一个解，则相遇一次。212s(2 )当 a1= a2 时，s甲一屯=vot +_a2t2 -一a2 =vot =s，所以 t = .。t 只有一个解, 22Vo则相遇一次。(3) 当a1>a2时，若V： ： 2(a1 -a2)s , t无解，即不相遇；n若Vo =21 -a?"，t只有一个解，即相遇一次;若v； 2(a1 -a2)s，t有两个正解，即相遇两次。联想 以上两种解法，正好体现了解答物理问题的两种典型思路。方法一从比较两车的

26、速度 关系和位移关系出发，经过仔细而严密的逻辑推理，得出了不同条件下的不同结果。这种解法注 重物理过程的分析，物理情景比较清楚。方法二先假设两车相遇，由两车位移之间的关系列出求 解相遇时间的方程，然后再对方程解的个数展开讨论。这种解法的特点是将物理问题转化为数学 问题，充分运用数学规律和技巧使问题得以解决，论述简洁明了。6. 羚羊从静止开始奔跑，经过 S1=5Om的距离能加速到最大速度 V1=25m/s，并能维持一段 较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过s：=6Om的距离能加速到最大速度 V2=3Om/s，以后只能维持这个速度4.Os。设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.Os

27、开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：(1) 猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应在什么范围？(2) 猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？解析：(1)猎豹在达最大速度且尚未减速前追到羚羊，即猎豹的运动只能是先匀加速运动 后匀速运动。设猎豹在维持最大速度的时间t内追到羚羊，由题意知tw 4.Os。现在我们首先探索的问题是：当猎豹追上羚羊时，羚羊的运动情况如何？为此，我们可先分 别求出羚羊和猎豹做加速运动的加速度和时间。羚羊做加速运动的加速度为V12522a1m/s =6.25m/s ,2s 2 5O羚羊做加速运动的时间为4V125t1s=4

28、.Os；a16.25第8页共1O页而猎豹做加速运动的加速度为猎豹做加速运动的时间为t2V23022a2m/s =7.5m/s ,2s22 60V 30 s=4.0s。a27.5若猎豹刚达到最大速度时追上羚羊，则羚羊只加速了t '3s，有XiS2 -3i t21 2= 60m 6.25 3 m=32m ；2若猎豹刚要减速时追上羚羊，则有x2 = s2 vt - (si v1t60m 30 4m- (50 25 3) m=55m。由此可知，猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应为 32m < x< 55m。(2)羚羊刚要开始奔跑时，猎豹已前进的距离1 . 2 lyu 一

29、2x3 a2t 07.5 1 m=3.75m。2 2由此可知。猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应为 3.75m < xw 32m。联想：本题的求解告诉我们，研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多个物体的 运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，然后找出它们之间的联系。7甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以V1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以 V2=4m/ s的速度，a2=1m/s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相 遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时