近世代数期末试卷7

1、近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆(一) 填空题1. 剩余类加群Z12有4个生成元.2. 设群G的元a的阶是n，则ak的阶是.3. 6阶循环群有 2_个子群.4. 设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关 系为一ml n 。5. 模8的剩余类环Zs的子环有4个.6. 整数环Z的理想有 _无穷多个个.7. n次对称群Sn的阶是n!。& 9-置换勺2 3 4 5 6 7 8 分解为互不相交的循环之积是一Q43961827 丿9. 剩余类环Z6的子环S= : 0 , : 2 , :4 ，则S的单位元是10. Z24中的所有可逆元是：1、5、7、11、13、17、19、23.

2、11. 凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个变换群同构。12. 设G=(a)为循环群，那么(1 )若a的阶为无限，贝U G同构于整数加群, (2)若a的阶为n,则G同构于 _单位根群。13. 在整数环Z中，+3） =；14. n次对称群Sn的阶是15. 设 2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件为。16. 除环的理想共有 2个。17. 剩余类环Z5的零因子个数等于 0.18. 在整数环Z中，由 2, 3生成的理想是 .19. 剩余类环Zy的可逆元有 6个.20. 设Zu是整数模11的剩余类环，则Zu的特征是1121. 整环1=所有复数a+bi（a,b是整数），贝U I的单位是22

3、. 剩余类环Zn是域二n是素数.23. 设Zy =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6是整数模7的剩余类环，在Zy x中，（5x-4）（3x+2）=.24. 设 G 为群，若 |a=12，则 |a8 =3。25. 设群G= e, a1, a?,，a”1,运算为乘法，e为G的单 位元，则 a1n =_e_.26. 设A=a,b,c，贝U A到A的映射共有 6个.27. 整数环Z的商域是.整数加群Z有2个生成元.29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R |是一个域当且仅当I是。30. 已知“ 2 3 4 5为S5上的元素，则-1 = 。G 12 5 4 丿31. 每一个有限群都

4、与一个 置换群群同构。32、设I是唯一分解环，则I X与唯一分解环的关系是二、基本概念的理解与掌握。（二）选择题1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A X B中含有（）个元素。B.5A. 2C.7D.102.设A = B= R（实数集），如果A到B的映射:X x+ 2, - x R,则是从A到B的（A. 满射而非单射B单射而非满射C.6D.8C.6D.8C.映射D.既非单射也非满射3. 设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。B.42C.6D.84、 G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是（）A 5 ; B 6; C 7;D

5、9.5、 下面的集合与运算构成群的是（）A 0 , 1，运算为普通的乘法；B 0，1，运算为普通的加法；C -1 ，1，运算为普通的乘法；D -1，1，运算为普通的加法；6、 关于整环的叙述，下列正确的是（）A左、右消去律都成立；B左、右消去律都不成立C每个非零元都有逆元；D每个非零元都没有逆元7、 关于理想的叙述，下列不正确的是（）A 在环的同态满射下，理想的象是理想；B在环的同态满射下，理想的逆象是理想；C除环只有两个理想，即零理想和单位理想D环的最大理想就是该环本身.8、整数环Z中，可逆元的个数是（）。A.1个B.2个 C.4个 D.无限个9、设M2（R）=a打a,b,c,d R, R为

6、实数域；按矩阵的加法和疋d丿乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是 （）。A.有单位元的交换环B无单位元的交换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环10.设Z是整数集，(T (a)=丿当a为偶数时2a+j当a为奇数时i2,Z，贝V彷是R的().A.满射变换B.单射变换C.一一变换D.不是R的变换11、设A=所有实数x, A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的同态满射的是().A、X 10xB、x 2xC、x |x|D 、x -x .12、 设是正整数集Z上的二元运算，其中aGbmaxCab (即取a与b中的最大者)，那么在Z中()A、不适合交换律B、不适合结合律

7、C、存在单位元D、每个元都有逆元.13. 设S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) ，则中与元(1 2 3)不能交换的元的个数是()A、1B、2C、3D、4.14、设G,t为群，其中G是实数集，而乘法；:a；)b二a b k，这 里k为G中固定的常数。那么群 G,C中的单位元e和元x的逆 兀分别是( )A、0 和- x ； B、1 和 0; C、k 和 x-2k ； D、-k 和-(x 2k)15、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类 HaH,bH,cHl如果h|=6,那么G的阶g =（）A、 6 B、 24C、 10D、 1216.

8、整数环Z中，可逆元的个数是（）.A、1个B、2个C、4个D、无限个17、 设f：Ri R2是环同态满射，f（a）=b，那么下列错误的结论 为（）A、若a是零元，则b是零元B、若a是单位元，则b是单位元C、若a不是零因子，则b不是零因子D、若R2是不交换的，则R1不交换18. 下列正确的命题是（）A、欧氏环一定是唯一分解环B、主理想环必是欧氏环C、唯一分解环必是主理想环D、唯一分解环必是欧氏环19. 下列法则，哪个是集A的代数运算（）.A. A=N, a b=a+b-2B. A=Z,a b=-bC. A=Q, a b= abD. A=R, a b=a+b+ab20. 设A=所有非零实数x,A的代

9、数运算是普通乘法，则以下B. xf映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是（）.A. x f -x1x1C. x fD. x f 5xx21.在3次对称群S3中，阶为3的元有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个22 .剩余类环Z6的子环有（）.A. 3个B 4个C. 5个D. 6个23、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a = bxc,acx = xac ,那么x =（）A. bca ； B.ca，；C. abe ； D.bca。24、设f：GG2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）A. f的同态核是G的不变子群；B. G的不变子群的象是G2的不变子群。C. G的子群的象是

10、G2的子群；D. G2的不变子群的逆象是 G的不变子群；25、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH?。如果H=6，那么G的阶G =（）A.6 ；B.24；C.10；D.12。（三）判断题（每小题2分，共12分）1、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。（）2、 除环中的每一个元都有逆元。（）（非零元）3、如果循环群G二a中生成元a的阶是无限的，则G与整数 加群同构。（T）4、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（）5、域是交换的除环。（T）6、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子。（）7、设f: G g是群g到群g的同态满射，a G

11、 ,则a与f （a） 的阶相同。（）8、 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（F ）9、 循环群的子群也是循环群。（T ）10、整环I中的两个元素a, b满足a整除b且b整除a, 则 a= bo （）11、 一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（F ）12、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f，。 （T ）13、如果环R的阶-2，那么R的单位元 仃0。（）14、指数为2的子群不是不变子群。（F ）15、 在整数环Z中，只有土 1才是单位，因此在整数环 Z中 两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（）16、 两个单位；和的乘积；也是一个单位。（）17、环K中素元

12、一定是不可约元；不可约元一定是素元。（）18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元 和单位都不能唯一分解。（）19、整环必是唯一分解环。（）20、在唯一分解环K中，p是K中的素元当且仅当p是K中的 不可约元。（）21、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（）22、整数环Z和环QLx 1都是主理想环。（）23、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。（）24、整数环Z、数域P上的一元多项式环Px 1和Gauss整环Z 1都是欧氏环。（）25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（）26、 欧氏环 主理想环 唯一分解环 有单位元的整

13、环。（）27、 设环:R,的加法群是循环群，那么环R必是交换环.（T）28、对于环R,若a是R的左零因子，则a必同时是R的右零因子（ F）29、剩余类Zm是无零因子环的充分必要条件是 m为素数.（T）30、整数环是无零因子环，但它不是除环。（T）31、 S2=于是M 2 (C )的子域.()2 0 J32、 在环同态下，零因子的象可能不是零因子。()33、理想必是子环，但子环未必是理想.()34、群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个 数相等.()35、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。(T)二、基本方法与技能掌握。(四) 计算题1 .设 为整数加群，：；-求Z : H =

14、?解二在Z中的陪集有：0 + ff=5z|zEZ 1 十1 十5纠占7 2 十2 十5纠 W2) ) )3十77=3十5纠上込,4十丹=4十5名|込,所以，Z : H = 5.2、找出S的所有子群。解：S3显然有以下子群：本身；(D) = (1) ； (12) = (12), (1) ;(13) = (13), (1) ; (23) = (23), (1) ;(123) = (123), (132), (1) 若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有(12), (13)这两个2-循环置换，那么 H含有(12) (13) = (123), (123) (12) = (23),因而H=S3

15、。同理，若是S3的一个子群含 有两个循环置换(21), (23)或(31) , (32)。这个子群也必然 是S3。用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3毎环置换，那么这个子群也必然是S3。3. 求Zi8的所有子群。解Zi8的子群有= 一 ； =1；:JI-.；J厶；5=9 - 2ig = 0j./ 1 2 3 4 5 6 74. 将表为对换的乘积.解 (7 = (1 7X2 3 6 4) = (1 7)(2 3)(3 6)(6 4).容易验证：；(4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).5. 设按顺序排列的13张红心纸牌A, 2, 3,

16、4, 5, 6, 7, 8, 9,10, J, Q, K经一次洗牌后牌的顺序变为3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9问:再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的解 每洗一次牌，就相当于对牌的顺序进行一次新的置换.由题意知，第一次洗牌所对应的置换为r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I 3 8 13 1 4 10 12 11 5 7 6 2 9 丿则3次同样方式的洗牌所对应的置换为r 1 2 3 4 5 6 7 S 9 10 11 12 13 XI 9 6 5 13 3 12 8 10 1 2 7 11 4 J6. 在Z6中,计

17、算:丨； (2);!-;4 1 解 (2) 2 二 _ 一 _ 一；(3) -； 1 一 二-：.7. 试求高斯整环二丄的单位。(可逆元)解设(二；二)为_ |: |的单位,则存在I; -| , 使得=,于是1 = 11= (o + bi )(c + di )(a + 6 i )(c + di)=3+備(衣+旳因为-J-f：-,所以从而；：,-.,或 匚-.因此可能的单位只有1_ 1* i _ i.显然它们都是引i的单位.所以订恰有四个单位1? li ? 一i 8. 试求Z12中的所有零因子与可逆元，并确定每个 可逆元的逆 元素.解由定理可知:1U心丄为Z12的全部零因子.（2）为Z12的全部

18、可逆元.直接计算可知，相应的逆元为1 1 1 1 ,r ,.9、找出模6的剩余类环Z6的所有理想。解：R=0，1，2，3，4，5。若I是R的一个理想，那么I 一定是加群R的一个子群。但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群，我们有Gi= (0)=0G2 =（1）=(5)=RG3 =(2)=(4)=0, 2, 4G4 =(3)=0,3易见，G1， G2， G3， G4都是R的理想，因而是 R的所有理想。10. 在Z12中，解下列线性方程组:| 3工十= 62x y = 1解：f 、x卜 1-5丫6、IIa 一1 丿 l1 丿13r23人1丿即工=11, 9 = 9.11 .求Zi8的所有子环

19、 解设为Zi8的任一子环，则是Zi8的子加群，且存在二；, 训18,使得 十)二行).d的可能取值为1, 2, 3, 6, 9,12相应的子 加群为A =二 Zia,fa=(2) = 2Zifl = OJJ, &瓦 12#14#18,h= (?) =3乙坤=0*瓦&玄12*两,Z4 = (6) = 6Zlfl = 0,6(12,Zs = (9) = 9Zifi = 09,人=(18) = 18 Z 坤=直接验证可知，以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭 ，所 以它们都是Z18的子环.于是Z18恰有6个子环:0? Z2Z曲 3Zig? 6Zie? 9Z)g,12.试求二的所有理想.解设为二的任意

20、理想，贝为二的子环，贝VI = ATi , dZ,且圧仝 u.对任意的二士 心,-,有da 曲=- d) E rfZ da - z z- du rfZ 从而由理想的定义知，：二为二的理想.由此知，二的全部理想为 dZ,且才A 0.13、数域F上的多项式环F Lx 的理想(x2 1,x5 x3 1)是怎样的一个主理想解 由于 X5 X3 1 -X3 X2 1 =1，所以 1- I：x2 1,x5 X3 1，于是得253x 1,x x 1 = 1 二 Fx。14、在：心中，求二-一的全部根.解共有16个元素：,二 将它们分别代入可知共有下列4个元素-，,-,-为二-1的根.15. 试举例说明，环R

21、X1中的m次与n次多项式的乘积可能不是 一个m+n次多项式.解例如，环Z6 X中多项式f (x 2x3 X2 - 3x 5 与 g(x)二 3x2 1的乘积f (x)g(x) =3x4 - x3 4x2 - 3x 5就不是3+2次多项式.16. 求出域Z3上的所有2次不可约多项式.解 经验算得知，Z3上的2次不可约多项式有三个，它们是：X2 1,X2 x -1,X2 - x-1.17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子(1)在M2(f)中.设=-1 C = F 210 一1 0 一4 2 一2(2) 在Zi2中，它的全部零因子是哪些.(3) Zu中有零因子吗？解(1) | A|=|C | =

22、0= A,C是零因子，但B不是.(2) Z12 中的零因子为2,3,4, 6,8, 9, 10(3) 乙i中没有零因子.19.举例说明，非零因子的象可能会是零因子.20设R为偶数环证明：N 二如 r R_R.问：N4；是否成立？ N是由哪个偶数生成的主理想？解：1) _4n,4m N,n ,m R :4n-4 m = 4 (n - m) N, n-m R故(4n - 4m)，N , N为子加群。2)另夕卜一门 R, -4r N,r R(4r)n 二 4(rn) N, rn Rn (4r) =( n4)r =(4 n)r=4( nr) N, n R= n r R,故 n(4r),(4r)nN.总

23、之有 N = 4r r 乏 RlR.另方面，由于N = Ur r R 一 , 16,8,0,8,16,且4 N.而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即N =4rr R=(8= 8r + 8nr R,z=，但是4= = Qnn,8, 4,0,4,8 因此，N4.实际上是N = 84.21、举例说明，素理想不一定是极大理想。22、设H二(1),(12),求S关于H的所有左陪集以及右陪集解 S3 = (1 ) , ( 1 2) , (1 3) , ( 2 3),(1 23),( 1 32 )H 的所有左陪集为：(1)H =(12)H =(1),(12) =H ；(13)H =(123)H =(1

24、3),(123) ； (23)H =(132)H 二(23),(132).H 的所有右陪集为：H (1) = H (12)二(1),(12)；H(13) H (132) =(13),(132) ； H (23) = H (123) =(23),(123).四、综合应用能力（五）证明题1 .在群中,对任意 二方程.二与L 都有唯一解. 证明 令；一：利 那么故.： .：为方程鳥.的 解。又如T为二1的任一解,即 气则少= a 飞口少）=aL6这就证明了唯一性.同理可证另一方程也有唯一解.2. 全体可逆的阶方阵的集合关于矩阵的乘法 构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵每个元素（即可逆矩阵卜的

25、逆元是上的逆矩阵丄.证明(1) 设三都是.阶可逆矩阵,贝则卜,-,从而 AB = A-BQ.所以且占也是阶可逆矩阵.这说明矩阵的乘 法是心江的代数运算；(2) 因为矩阵的乘法满足结合律,所以 丫匸的乘法也满足结 合律；(3) 设二为.阶单位矩阵，贝U引一-故人*,且对任意的 L，,有EA = AE = A所以，U是*1：的单位元.设则:从而丄可逆,设为丄的逆 矩阵，贝UW：故：；-，且止丄丄丄2.所以丄的逆矩阵丄为丄在中的逆元.因此，丄U构成 群.由矩阵的乘法易知，当时是非交换群.3. 二。那么H是S3的一个子群。证明I.H对于G的乘法来说是闭的，(1) (1)=(1), (1)(12)=(1

26、2), (12)(1)=(12), (12)(12)=(1);II. 结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对;V.(1)(1)=(1), (12)(12)=(1)。4. 一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：匸已-:匚证明 必要性。H是G的非空子集且H的每一个元素的阶都有限。若H是子群，则由子群的条件必有-a,b H - ab H;充分性。由于H是G的非空子集，若一 a,b H - ab，H ;又 H的每一个元素的阶都有限二 a H, n N, an 二 e_ aan詔二 e_ a二 anH，综上知H是G的子群。6. 群亠的任何两个子群的交集也是一的子群.证明设二

27、壮为1的两个子群，贝y(1) 所以 eeHQ K,即 HCK 盖 0；任给qgRnk,e hnk,则 比e r, 百e k, 因此仃k；(3)任给- r; I二；那么二艮-,因此二上X上八, 所以I L从而由定理2知匕是二的子群.7. 设弓为亠的子群.则弓在二中左陪集的个数与右陪集的个数 相同.证明 设丄，三分别表示 三在中的左、右陪集所组成的集合.令 卩:A 一B:工 hi- ,- h_ J.则是丄到F的双射.事实上(1) 如果丄上,那么厂二，,故；小一二所以，士. ：-.于是,:为丄到_?的映射.(2) 任给乩-心有+厂；-亠,因此，：,为满射.(3) 如果莎-三：-那么己 因此，1 上,

28、从而得1为双射.即三在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.8. 有限群的任一元素的阶都是群一的阶数的因子.证明 设G的元a的阶为n,则a生成一个阶是n的子群，由 以上定理，n整除G的阶。9. 设匚与为群,是 一与一的同构映射，则(1) 如果为的单位元，贝V 一为的单位元；(2) 任给二j 为的逆元,即证明(1)因为r.r r 2 由消去律知，二为 二的单位元.(2) 任给毗。-J = t) =0G的单位元)，从而知 j 为的逆元.所以，J卞I10. 如果是交换群，则的每个子群 三都是二的正规子群. 证明 因为匚为交换群，所以二的每个左陪集-/也就是右陪集12. 设 G = GG(R), H=3L

29、R),则恥G.证明(1)丨,-I ,则总匸Jl 所以，养“T为小.的子群.任给：一；.， -宀.,则|CAC-l| = |C| |A| |C|-l = l.所以,CAC_SLff(JJ),从而 3N(R)1GLR).13. 群二的任何两个正规子群的交还是二的正规子群.证明设三与乂为、的两个正规子群，：则1为二的子 群.又任给】二二.则因为三与土都是的正规子群，所以 ；丄 匚 亠所以,二 二人.故丄-匸.14. 设二与二是群是二到二的同态映射.(1) 如果】是匚的单位元，则土是匸的单位元；(2) 对于任意的二丄匚是二在？中的逆元.即P(Q-1)=(皆何广证明(1)因为是一的单位元，设丁是匚的单位元，贝Vb华= 習佃)=甲3 - e)= 羽)習)从而有消去律得:-,贝U .：二证明设上-目贝贝I-君7因为三无零因子,且 ,所以:,从而-.同理可证另一个消去律成立.27、 群G的两个子群的交集还是 G的子群。证明：设Hi、H2为G之子群，a、b HiA H2,贝U a、b Hi,且 a、b H2.又 Hi、H2为子群，故 ab-1 Hi, ab-1 H2,从而 ab-1 Hi n H2.又显然e Hi nH2, 即卩HinH2非空，故h” H2