版高中数学第一章解三角形疑难规律方法学案苏教版必修5

1、第一章解三角形直点深化4i正弦定理和余弦定理的证明方法的探究正弦定理和余弦定理都是三角形中的重要定理，它们的证明方法比拟多，除了教材上介绍的 向量法外，还可以采用下面的方法.i.几何法证明正弦定理设ABC外接圆O 0的直径，贝U BD= 2R下面按/ A为直角、锐角、钝角三种情况加以 证明. 假设/ A为直角，如图，贝U BC经过圆心Q BC为圆Q的直径，BC= 2R,aBC=BC= 2Rsin A sin 90(2)假设/ A为锐角，如图，连接 CD 那么/ BAC=Z BDC BCBC在 Rt BCD中,=sin / BDC sin / BACBCBC=BD= 2R.=2Rsin / BD

2、Csin / BACsinA= 2R假设/A为钝角，如图，连结 CD那么/ BAOZ CD=n, sin / BAC= sin / CDB在 Rt BCD中,BCsin Z CD= BD=2RBC = BC sin Z CDB sin Z BAC2RBCsin / BAC可证得：.3八=2R sin Abc同理可证：=2R,= 2Ra b c sin A sin B sin Csin B sin C不管 ABC是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形，都有2F其中RABC的外接圆的半径.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径.2 .坐标法证明余弦定理如

3、下图，以 ABC的顶点A为原点，射线 AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点 B可作角A终边的一个点，它到原点的距离r = c.设点B的坐标为x, y,由三角函数的定义 可得：x = ccos A, y= csin A,即点B的坐标为ccos A, csin A，又点C的坐标是b, 0. 由两点间的距离公式，可得：2 2 2两边平方得：a = b-ccos A + csin A22=b + c 2bccos A.以厶ABC的顶点B或顶点C为原点，建立直角坐标系，同样可证b2= a2+ c2 2accos B, c2 = a2 + b2 2abcos C余弦定理：三角形任何一边的平方等于其

4、他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍.余弦定理的第二种形式是cos A=cos B=2 | 2 2b + c a2bc,2 | 2 2a + c b2ac,2 . 2 2cos C=a + b c2ab3 .向量法证明正弦、余弦定理如图，在 ABC中，三个内角/A,ZB,ZC所对的边长分别是a,b,c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，那么点 C的坐标是b,0.由三角函数的定义，得点 B 的坐标是ccos A, csin A .所以=(ccos A- b, csin A).现将平移到起点为原点A 终点为点 0那么=，且 | =| = a,/ DAC= 180/

5、 C根据三角函数的定义，知点D 的坐标是(一acos C, asin C).所以=(acos C, asin C).因为=，所以(一acos C asin C) = ( ccos A- b, csin A).asin C= csin A,acos C= ccos A b. a c由，得 =.sin A sin Ca b同理可证=sin A sin B所以 sin A sin Bcsin C由，得 acos C= b ccos A.两边平方，得 a cos C= b 2bccos A+ ccos A.所以 a2 a2sin 2C= b2 2bccos A+ c2 c2sin 2A 而由，得 a2

6、sin 2C= c2sin 2A所以 a2= b2+ c2 2bccos A2 2 2 2 2 2同理可证 b = a + c 2accos B, c = a + b 2abcos C2正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，假设问同学们这样一个问题：在ABC中，假设sin Asin B,那么A与B的大小关系怎样？那么近乎所有的同学都会认为A与B的大小关系不确定.假设再问：在厶ABC中,假设AB,那么sin A与sin B的大小关系怎样？仍然会有很多同学答复大小关系不确定.鉴于 此，下面我们讲讲这个问题.一、结论在厶 ABC中, sin Asin B? AB.分析 题中条件简单，不易入手.但

7、既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？证明 因为sin Asin B? 2Rsin A2Rsin巳其中只为厶ABC外接圆的半径，根据正弦定理变式a= 2RsinA,b= 2RsinB其中a,b分别为A,B的对边，可得sinAsinB? ab,，可得 ab? AB.再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边所以 sin Asin B? AB.、结论的应用 例 1 在厶 ABC中, A= 45, a= 4, b= 2 2,求 B.分析 在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定 理得B= 30或B= 150。.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现

8、.,、宀 /口 sin 45 sin B1解 由正弦定理得=,sin B=；,4 2冷22又 sin Bsin B, 所以OB,所以C有两解.(1)当 C= 60 时，有 A= 90;当 C= 120。时，有 A= 30.点评除此之外，此题也可以利用余弦定理来求解3细说三角形中解的个数解三角形时，处理“两边及其一边的对角，求第三边和其他两角 问题需判断解的个数,这是一个比拟棘手的问题.下面对这一问题进行深入探讨.一、出现问题的根源我们作图来直观地观察一下.不妨设ABC的两边a, b和角A,作图步骤如下： 先做出角 A,把未知边c画为水平的，角 A的另一条边为边 b; 以b边的不是A点的另外一个

9、端点为圆心，边a为半径作圆C; 观察圆C与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数.显然，当A为锐角时，有如下图的四种情况：/f c Hfxn 牛解z f%:C ! 2Bi H &十C/=hKiii Ab一斛根据上面的分析可知，由于a, b长度关系的不同,导致了问题有不同个数的解.假设A为锐角,只有当a不小于bsin A时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的.当A为钝角时，只有当a大于b时才有解.二、解决问题的策略1.正弦定理法 ABC的两边a, b和角A,求B根据正弦定理sin asin B可得sinbsin B= a假设sin B1,三角形无解；假设 sin B= 1,三角形有且只

10、有一解；假设 0sin B1, B有两解，再 根据a, b的大小关系确定 A, B的大小关系利用大边对大角，从而确定B的两个解的取舍.2 余弦定理法 ABC的两边a, b和角A,求c. 利用余弦定理可得 a2= b2 + c2 - 2bccos A整理得 c2 - 2bccos A- a2 + b2 = 0.适合上述一元二次方程的解 c便为此三角形的解.3 .公式法当 ABC勺两边a, b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：A 90a babaw babsin Aa= bsin Aab，所以AB,故B= 30, 符合条件的 ABC只有一个.方法二由余弦定理得22= c

11、2+ (2)2- 2 X 2X ccos 45 ,即 c2-2c 2= 0,解得 c= 13.而1 3b,故符合条件的 ABC只有一个.易错警示44挖掘三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点由于我们对三角公式比拟熟悉，做 题时比拟容易入手. 但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象,其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条 件的挖掘.1 .两边之和大于第三边例1钝角三角形的三边 a= k, b= k + 2, c= k+ 4，求k的取值范围.错解 cba且厶ABC为钝角三角形，C为钝角.由余弦定理得cos

12、C=2abk2+ ( k+ 2)2 (k+ 4)2 =2k(k + 2)2k 4k 12 0.2k(k + 2)2 k 4k 120,解得2k0.综上所述，0kk + 4.即k2而不是k0.正解 cba，且 ABC为钝角三角形，C为钝角.2.2 2 . 2a + b c k 4k 12由余弦疋理得 cos C= 一20b = 2k(k + 2) 0.2 k 4k 120,解得2k k+ 4, k2,综上所述，k的取值范围为2k0, ab- 0 W 3. a点拨忽略了三角形内角和为 180,及角A、B的取值范围，从而导致 ？取值范围求错.正解,r、宀b sin B sin 3 A由正弦定理得a

13、sin A sin Asin( A+ 2A)sin Acos 2 A+ cos Asin 2 Asin Asin A2 2=cos 2 A+ 2cos A= 4cos A 1./ A+ B+ C= 180, B= 3A, A+ B= 4A180, 0A45.cos A1,2-14cos A 13,b 1一3.a温馨点评 解三角问题，角的取值范围至关重要一些问题，角的取值范围隐含在题目的条 件中，假设不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败5正弦、余弦定理的应用有些题目，外表上看不能利用正弦、余弦定理解决，但假设能构造适当的三角形，就能利用两 定理，题目显得非常容易，本文剖析几例.一、平面几

14、何中的长度问题例1 如图，在梯形 ABCDK CD 2, AC= 19，/ BAD60,求梯形的高.1)A E分析 如图，过点D作DEL AB于点E,那么DE为所求的高.由/ BAD= 60,知/ ADG 120,又边CD与 AC的长，故 ACD为两边和其中一边的对角，可解三角形.解Rt ADE需先求AD的长，这只需在 ACD中应用余弦定理即可.解 由/ BAD-60，得/ ADC= 120,在厶ACD中，由余弦定理得aC= aD+ cD 2AD- cd- cos / ADC即 19 = AD+ 4 2ADX 2 x 2 ,解得 AD- 3或AD- 5舍去.在厶 ADE中, DE= AD- s

15、in 603.32点评依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的 表达.、求范围例2如图，等腰 ABC中，底边BC= 1，/ ABC的平分线BD交AC于点D,求BD的取值范围注：0x1时，fx = x 1为增函数.X分析 把BD的长表示为/ ABC的函数，转化为求函数的值域. 解设/ ABC= a .因为/ ABC=Z Ca所以/ A= 180 2 a ,Z BDC=Z A+Z ABD- 180 2 a + = 180因为BC= 1,在厶BCD中,由正弦定理得BD=sinsin2si naycosa22cosa2sin a cosaa sina2 a 1+ co

16、s4cos 222a3 a24cos2acos aBD减小，且当cos =BD= 2;当 cos = 1 时,2bd=3因为 0y45,所以-22cos aa1，a而当cos 增大时,2故BD的取值范围是 3，2 .(2)数形结点评此题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；合、等价转化等思想.三、判断三角形的形状例3 在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, 6假设=k(k R).(1)判断 ABC勺形状；假设c = .2,求k的值.解 (1) = cbcos A, = cacos B,又=, bccos A= accos B, bcos A= acos

17、B,方法一 sin Bcos A= sin Acos B,即 sin Acos B cos Asin B= 0, sin( A B) = 0,又 nV A Bn, A= BABC为等腰三角形.方法利用余弦定理将角化为边,.2 2 2b + c a2bc2,2 2 a + c b2ac, a2= b2, ABC为等腰三角形.由(1)知：a= b.=bccosA= bc .2 2 2b + c a2bc/ c = 2,. k= 1.6管窥高考热点跟踪4高考解答题一般先运用三角恒等变换，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正弦、余弦定理以及面积公式

18、实现边角互化,求出相关的边和角的大小.例 1 在厶 ABC中， AB= 2, AC= 3, A= 60.(1)求BC的长；求sin 2 C的值.分析 此题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角关系，考查运算求解 能力.1解 (1)由余弦定理知， BC= AB+ AC 2AB- AC- cos A= 4 + 9 2X 2 X 3X-= 7,所以 BC=7.、AB BC由正弦定理知，晶c=A，所以 sin C= AC sin A= 2器217因为AB 0,于是 sin A+ sin C= sin A+ sin 2A=sin A+ cos 2 A= 2sin 2A+ sin A+ 11 29=2 sin A 4 + 8.因为 0v Av 4，所以 ovsin Av#因此-2v 2 sin A- 4 2+ * 8.由此可知sin A+ sinC的取值范围是3 nj例3 在厶ABC中, A=,AB= 6, AC= 3 ：2，点D在BC边上，AD= BD求AD的长.的长度，再由正弦定理求出角分析 根据题意，设出 ABC的内角A B, C所对边的长分别是 a, b, c