学案解直角三角形的应用

1、学案解直角三角形的应用一. 学习目标1. 了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题， 逐步培养分析问题、解决问题的能力.2在运用锐角三角函数的知识解决实际问题的过程中， 体会数形结合及 建立锐角三角函数模型的数学思想.二、重点、难点重点：能根据有关仰角、俯角的实际问题建立锐角三角函数模型，然 后运用锐角三角函数的知识解决问题.难点：将某些实际问题中的数量关系，转化为直角三角形中兀素之间的纏关系，从而解决问题.眼睛_ 水平蹑三.课前预习（初步感知）角阅读课本第 117 页观察与思考，完成下面问题：1.如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的角叫做仰角，视线在水平线 _的角叫

2、做俯角.2._在图 31-14 中，仰角/ AOC 包含于_中，俯角/ BOC 包含于-_中，旗杆的高正好是上述直角三角形的两条 _，所以旗杆 的高AB=_,即问题的关键是分别在两个直角三角形中求出-_ 与_ ，就可求出旗杆的高.三.课中导学（反思提升）合作探究 1问题 1.如图，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在 窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇 测得树底B的俯角为60。，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有 六块边长为 0.5 米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间 的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约为多少米？（结果保留1位小数；参考数据： 迈1.414,

3、3 1.732）分析：1 把实际问题抽象为数学问题，即在 Rt ABC 中，已知_AC步护_ , AC=_ =_，求树的高度_AB.2已知边、角和要求的未知边之间构成了 _ 系.解答过程:体会：把实际问题转化为数学问题，建立相应的锐角三角 函数模型，问题便得以解决.问题 2某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后， 开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A测得河对 岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66塔底B的仰角为60已知铁塔的高度BC为20m,你能根据以上数据求出小山的高BD吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小山的高BD（精确到 0.1m）.分析：在 Rt_ 和 RtA_ 中，利用三

4、角函数和直角三角形的边角关系，分别用 BD 和含 BD 的代数式表示 _然后建立方程解答.解：能求出小山的高.设小山的高BD为xm,在RtAABD中，tan/ BAD二_同理，在RtAACD中，tan /CAD二所以，得方程_:体会：熟练掌握直角三角形的常用关系，根据题意合理选择直角三角形，把实际问题转化为数学问题，从而准确、迅速找出解决问题的方案这是_ 、想和_学思想的体现.合作探究 2问题 1.（2019 天门）如图，A、B 两地被一大山阻隔，汽车从 A 地到B 须经过 C 地中转.为了促进 A、B 两地的经济发展，现计划开通隧道，使 汽车可以直接从 A 地到 B 地.已知/ A=30 ,

5、/ B=4 5,贝 S AD=,tan 60_，贝 yAD二-CD-x 20tan 66解得x20ta n60tan 66ta n60203tan66. 367.4答：小山的高BD约为 67. 4m.ABC=15 2千米.若汽车的平均速度为 45 千米/时， 则隧道开通后，汽车直接从 A地到 B 地需要多长时 间？（参考数据：21.4, 3 1.7）分析：已知汽车的平均速度，要求汽车直接从 A 地到 B 地需要的时间,须知_ .但是所求元素不在直角三角形中，在这里可以过点 C 作 CD 丄_从而把 ABC 转化成两个_ 角形.解：过点 C 作 CD 丄 AB 交 AB 于点 D,贝 S在 Rt

6、 BCD 中，BD= BC cos45 =_ , CD=BD=_ ,在 Rt ACD 中，AD 二-CD5 3,tan 30所以 AB=_ ，所以 t=_ -_ 答：汽车直接从 A 地到 B 地需要_ .体会：把实际问题转化为数学问题，当所求的元素不在直角三角形中时,求：（1）点B的坐标；（2）cos/BAO的值.分析：作BH OA于H，就出现了直角三角形，再利用 RtA_的边角关系求出 _、_ 即得点B的坐标；在 Rt_中求cos/BAO.解：四.课堂反馈基础演练1. （2019 钦州市）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距 离楼底 O 点 20 m 的点 A 处，测得楼顶 B 点的仰角/

7、 OAB = 65, 则这幢大楼的高度为（）（结果保留 3 个有效数字）.A. 42.8 m B. 42.80 m C. 42.9 m D . 42.90 m2如图，在离铁塔 150 米的 A 处，用测角仪测 得塔顶的仰角为 30,又知测角仪高 1. 50 米，则 塔高BE 为（ ）应通过作_，构造适当的_三角形，选择_ ,计算无法测量的高度或距离A . 76.5 米B . 75 米C. （753+1.5）米D. （503+1.5）3如图，从热气球 C 上测定建筑物 A、B 底部的俯角分别为 30和 60, 如果这时气球的高度 CD 为 150 米，且点 A、D、B 在同一直线上，建筑物 A、

8、B间的距离为（）A . 150、3米 B. 1803米 C . 2003米D . 220 运米能力提升4如图，在C处用高1.20米的测角仪测得塔AB顶端B的仰角a30，向 塔的方向前进 20 米到E处，又测得塔顶端B的仰角B=45.求塔AB的高（精 确到0.1米）.五.我的收获六、课后巩固（分层测评）1.如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 I 的距离, 在 A点测得/ A=300，在 C 点测得/ BCD=600,又测得AC 50米，则小岛 B 到公路 I 的距离为（）米.A . 25B .25.3C .100 3D .25 25.332如图，小明站在 A 处放风筝，风筝飞到 C 处时的

9、线 长为20 米，这时测得/ CBD=60 ，若牵引底端 B 离地面 1.5 米，求此时风筝离地面高度是 _ （计算结果精确到 0.1 米，3 1.732）3. 如图，张华同学在学校某建筑物的 C 点处测得旗杆 顶部A 点的仰角为 30,旗杆底部 B 点的俯角为 45 .若 旗杆底部B 点到建筑物的水平距离 BE=9 米，旗杆台阶高1 米，则旗杆顶点 A 离地面的高度为4. （2019 年梧州市）如图，某飞机于空中探 测某座山的高度，此时飞机的飞行高度是 AF = 37 米，从飞机上观测山顶目标 C 的俯角是 30, 飞机继续以相同的高度飞行 3 千米到 B 处，此 时观测目标 C的俯角是60

10、,求此山的高度C D. （精确到01千米）（参考数据： 21414, ,31732）AC D I米（结果保留根号）1.上方，下方；2.RtAOAC, RtAOBC，直角，AC+BC , AC, BC.三.课中导学合作探究 1问题 1:/ ACB=60 , BD, 3,正切.解：由题意可知，AC BD 3.在Rt ABC 中， ACB 60, AC 3,空tan 60_ACAB=ACxtan60 =3X3=3.3 5.2 （米）答：树高AB约为 5.2 米.问题 2: ABD , ACD, AD.转化.BDAD,CD, ,一0，数形结合,AD tan 60 tan 664.解：RtAACE 中，

11、/ EAC = 30，则/ ACE = 60 ,tan/ACE =竺,CE AE = CE tan60=3CERt BCE 中，/ CBE = 60,则/ BCE = 30 ,tan/ BCE = |,二 BE = CE tan30=三 CE,AB = AE-BE,即：3CE-三 CE = 3, CE= 33226 （千米） CD = AF-CE = 37-2611 （千米）合作探究 2问题 1: A、B 两地的距离,0.52, 0.52 小时.辅助线或垂线,AB，直角，15, 15, 53+15,直角，正确的关系式问题 2: OHB, OH, BH , AHB ,解：（1）如图，作BH OA，垂足为H, 在RtOHB中，QBO点B