2020-2021备战中考数学相似综合题附答案解析

1、2020-2021备战中考数学相似综合题附答案解析一、相似1.如图，ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm,高AD=24cm,要加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上.(1)AK为何值时，矩形EFGH是正方形？(2)若设AK=x,Sefg中y,试写出y与x的函数解析式.(3) x为何值时，Sefgh达到最大值.【答案】(1)解：设边长为xcm,1 .矩形为正方形，2 .EH/AD,EF/BC,Eh班以AE根据平行线的性质可以得出：盯，二"、双=AB,xBExAh由题意知EH=x,AD=24,BC=16,EF=x,即二为=祐,=.必，3 BE+A

2、E=ABLrjJiAE4 +=+=1,/.S解得x=-J,园.-AK=$,费，当时，矩形EFGH为正万形(2)解：设AK=x,EH=24-x,EHGF为矩形，AK2K=AL,即EF=Jx,22SEFGH=y='x?(24-x)=-；x2+16x(Ovxv24)(3)解：y=-Jx2+16x配方得：y=3(x-12)2+96,，当x=12时，SEfgh有最大值96【解析】【分析】(1)设出边长为xcm,由正方形的性质得出，EH/AD,EF/BC,根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。(2)设AK=x,则EH=16-x,根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应

3、边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。(3)将(2)中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。2.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EHI±DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.DGCAB(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；(2)过点H作MN/CD,分另I交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点，求4PDC周长的最小值.【答案】(1)解：结论：CF=2DG理由：:四边形ABCD是正方形，A

4、D=BC=CD=AB/ADC=ZC=90；DE=AE.AD=CD=2DEEG±DF,/DHG=90；/CDF+ZDGE=90；/DGE+/DEG=90,°/CDF=ZDEG,.DEGACDF,MRE1.疗=Dl=一.CF=2DG(2)解：作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,AB此时APDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK4B/DE*DC由题意：CD=AD=10,ED=AE=5DG=J,EG=?,DH=&='门，EH=2DH=2-,DH,Eh.-HM=死=2,.DM=CN=NK="+；*=

5、1,在RtDCK中，DK=Cl)-CK=附+/山"+"=2屈，PCD的周长的最小值为10+2.【解析】【分析】(1)结论：CF=2DG.理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB/ADC=/C=90°,根据中点的定义得出AD=CD=2DE根据同角的余角相等得出/CDF=/DEG,从而判断出DE84CDF,根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点巳连接PC,此时4PDC的周长最r短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+D仲题意得CD=AD=10,ED=AE=5DG=,5厂I1弓E

6、G=N,根据面积法求出DH的长，然后可以判断出4DEH相似于46口儿根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=,再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK=1,在RtDCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。3.如图，抛物线y=dT'九一t与x轴交于两点A(-4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2),动点D沿4ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交4ABC的另一边于点E,WAADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒.F用废1(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2

7、)是否存在某一时刻t,使得4EFC为直角三角形？若存在，求出请说明理由；(3)设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式.t的值；若不存在,【答案】(1)解：把A(-4,0),B(1,0),点C(0,2)代入F一用广,切T16s-4bc=0a.+bc=0得:抛物线的解析式为:对称轴为：直线(2)解：存在,x=一AD=2t,DF=AD=2t,.OF=4-4t,.D(2t4,0),直线AC的解析式为:EFC为直角三角形,，E(2t-4,t),分三种情况讨论:当/EFC=90；则ADEFAOFC,解得:,即t=当/FEC=90；/AEF=90,°.AEF是等腰直角三角形,.DE=上

8、AF,即t=2t,t=0,(舍去)，当/ACF=90°,则AC2+C*=AF2,即(42+22)+22+(4t4)2=(4t)2,解得：t=LJ匕存在某一时刻t,使得EFC为直角三角形，此时，t=或，(3)解：.B(1,0),C(0,2),，直线BC的解析式为：y=-2x+2,当D在y轴的左侧时，S=_(DE+O。？OD=_(t+2)?(4-2t)=-t2+4(0vtv2);当D在y轴的右侧时，如图2,.OD=4t4,DE=-8t+10,S=工(DE+OC)?OD=(8t+10+2)?(4t4),即飞，皮虫为(2<t<二)r2/4(0<i<2).5综上所述:-

9、16f子40t24(2<t<-【解析】【分析】(1)(1)利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。(2)根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论EFC为直角三角形：当/EFC=90,°则DED4OFC,根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可；/FEC=90°,/AEF=90°,AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；当/ACF=90°,则AC2+CF2=AF2,建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。(3)求得直线

10、BC的解析式为：y=-2x+2,当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2,根据梯形的面积公式即可得到结论。y1+bx十£4.如图，抛物线？-过点A0),S2).M(通0)为线段OA上一个动点(点M与点A不重合)，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N.(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；(3)如果以B,巳N为顶点的三角形与不巧相似，求点M的坐标.【答案】(1)解：设直线9的解析式为此L心(上X4).书为，应依刃解得2F-x2，直线/比的解析式为3kjr奈也丫啖e.抛物线经过点力,B(O,2)A，,凿(2

11、)解：jJ轴，应0)则/伽.一丁*2)点是.|A尹月*(3)解：书起,p(0f2)，'血一严,”f2BP由.钻6,35MO).当A5m与./I网相似时，存在以下两种情况:BP丹MPA【解析】【分析】(1)运用待定系数法解答即可。(2)由(1)可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M(m,0)可得点N,P用m表示的坐标，则可求得NP与PM,由NP=PM构造方程，解出m的值即可。BP丹BPPA_i二I5.如图1,在RtAABC中，/B=90；BC=2AB=8点DE,将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为图02(1)问题发现D、E分别是边BCAC的中点，连接a.备用图(3)在4BPN

12、与4APM中，ZBPN=ZAPM,则有呼鼻和刑出这两种情况，分别用含m的代数式表示出BP,PN,PM,PA代入建立方程解答即可。当a=附，而=；当a=18CM,BU=.(2)拓展探究也试判断：当0°抬360°时，底的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.(3)问题解决当4EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.【答案】(1)下；二F(2)解：如图2,图24Z-当0°抬360°时，血的大小没有变化, /ECD=ZACB,/ECA=ZDCB,ECAC又比BC2, .EC/VADCB,AEEC烟而一丘一丁 .AC=4CD=4,CD±

13、AD,，AD= .AD=BC,AB=DC/B=90； 四边形ABCD是矩形，BD=AC=入*.如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,=2,.,AC=J求中蜡=/力十点D、E分别是边BC、AC的中点，三?.AC=入耳，CD=4,CD±AD,.AD=J/二苏-人,"/点D、E分别是边BC、AC的中点，11I-AB=-X(8-r2)=-X.DE=k.AE=AD-DE=8-2=6,由(2),可得AE>/!BD一二?6I2J2.BD=综上所述，BD的长为A/或5.【解析】【解答】（1）当a=0时ABC中，ZB=90；图L当a=180时

14、，可得AB/DE,ACBi【分析】（1）当”=0时，RtABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；如图1,当a=180时，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=BC：BD,再根据比例的性质得出AE：BD=AC：BC从而得出答案。（2）当0°抬360°时，AE：BD的大小没有变化，由旋转的性质得出/ECD叱ACB,进当而得出ZECA=ZDCB,又本据EC：DC=AC：BC=/，根据两边对应成比例，及夹角相等的三史角形相似得出ECADCB,根据相似三角形对应边成比例得出AE：BD=EC：DC=2;（3）如图3,在RtAADC中，根据

15、勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=A+；如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,在RtAADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的悍长，卞据AE=AD-DE算出AE的长，由（2）,可得AE：BD”，从而得出BD的长度。6.如图（1）,在矩形DEFG中，DE=3,EG=6,在RtAABC中，/ABC=90°,BC=3,AC=6,4ABC的一边BC和矩形的一边DG在同一直线上，点C和点D重合，RtAABC将从D以每秒1个单位的速度

16、向DG方向匀速平移，当点C与点G重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）如图（2）,当（2）如图（3）,当AC过点E时，求t的值;AB与DE重合日AC与EF、EG分别交于点M、N,求CN的长;（3）在整个运动过程中，设RtAABC与4EFG重叠部分面积为y,请求出y与t的函数关系式，并写出相应t的取值范围.【答案】（1）解：如图（2）,当AC过点E时,在RtAABC中，BC=3,AC=6,2 .BC所对锐角/A=30；/ACB=60；依题意可知/ABC=ZEDC=90,3 /ACB=ZECD4 .ABCAEDC,.CD=4,t=CD=.(2)解：如图(3),/EDG=90,DE=

17、3,EG=6DG=I1'射-昭亚-*=3小,ED3i在RtEDG中，sin/EGD=FC6j,/EGD=30；5 /NCB=ZCNG+/EGD,/CNG=ZNCB-/EGD=60-30=30；/CNG=ZEGD,6 .NC=CG=DG-BC=3V-3;（3）解：由（1）可知，当x>|/3时，4ABC与4EFG有重叠部分.分两种情况：当Wqvtw时，如图（4）,反BDQcG图ABC与4EFG有重叠部分为AEMN,设AC与EREG分别交于点M、N,过点N作直线NPXEF于P,交DG于Q,贝U/EPN=ZCQN=90, NC=CGNC=DG-DC=34-t,在RtANQC中,NQ=si

18、nZNCQNC=sin60°x(3Xht-t).PN=PQ-NQ=3-2=2 /PMN=ZNCQ=60；P即品-3*0sinZPMN=1%,MN=与“式汨/=t-在矩形DEFG中，EF/DG,/MEN=ZCGN, /MNE=ZCNG,/CNG=ZCGN,/EMN=ZMNE,，EM=MN, .EM=MN=ty=Saemn=EM?PN=当3Vt时，如图(5),ABC与4EFG重叠部分为四边形PQNM,设AB与EF、EG分别交于点P、Q,AC与EF、EG分别交于点M、N,则/EPQ=90°,° .CG=3-t,Saemn= EP=DB=t-3,/PEQ=30,在RtEP

19、Q中，PQ=tan/PEQXEP=tan30(t°-3)=SaepQ=二EP?PQ=(t3)Xy=Saemn-Saepq=(#-却J厂<t3)1万J舶-十区3-(3<tW为力综上所述，y与t的函数关系式：y=JTr【解析】【分析】(1)ffiAABCAEDC,由相似三角形的性质可求出CD的值，即可求t;(2)利用勾股定理求出DG的值，则由三角函数可/EGD=30,进而可证得/CNG=/EGD,贝UNC=CG=DG-BC,可求出答案；(3)根据重叠部分可确定x的取值范围，再由三角形的面积公式可求出函数解析式7.在RtABC中，ZACB=90°,AC=12.点D在直

20、线CB上，以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.若点G为DE中点，求FG的长.若DG=GF,求BC的长.(2)已知BC=9,是否存在点D,使得4DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.【答案】(1)在正方形ACDE中，有DG=GE=6在RtAEG中，AG=/贷-J行+6"1 .EG/AC2 .ACFAGEFF&EG如图1,在正方形ACDE中，AE=ED/AEF=/DEF=45,°又EF=EF.AEFADEF/1=/2(设为x)AE/BC/b=Z1=

21、x-.GF=GD/3=/2=x在clbf中，/3+/FDb+Zb=180°1-x+(x+90)°+x=180，解得x=30/B=30°在RtABC中,BC=(2)在RABC中，AB=+蜡山占中*万如图2,当点D在线段BC上时，此时只有GF=GDI图h1 .DG/AC.-.BDGABCA设BD=3x,贝UDG=4x,BG=5x，GF=GD=4x贝UAF=15-9x2 .AE/CB,3 .AEFABCF9-3x15-9x9%，即/&6=6解得X1=1,X2=5(舍去)腰长GD=4x=4如图3,当点D在线段BC的延长线上，且直线AB,CE的交点在AE上方时，此时

22、只有GF=Dg,DCB(ffi3)设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,.FG=DG=12+4x,1 .AE/BC2 .AEFABCFAE护法一哥3x*式90，.事，即x2=4解得xi=2,x2=-2(舍去)腰长GD=4x+12=20如图4,当点D在线段BC的延长线上，且直线AB,EC的交点在BD下方时，此时只有DF=DG,过点D作DHFGo-_(32x96),即7x2=288cos解得x1=（舍去）设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,DG=4x+124/£一期(4x'12)X-=AFH=GH=DGcos/DGB=32K+明.GF=2GH=5,32x+96/;5x-.A

23、F=GF-AG=万方1 .AC/DG2 .ACFAGEFAC林.近一元-G+9611254x1腰长GD=4x+12=如图5,当点D在线段Cb的延长线上时，此时只有DF=Dg,过点D作DhAG,Cffi5)设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,DG=4x-12416x(4x-12)X.FH=GH=DGcos/DGB=32x-9696-7大-5T.AF=AG-FG=广£I.AC/EG.ACFAGEF12414解得xi=7,x2=*（舍去）-84+4Sf74,腰长GD=4x-12=7I84+W7|一冽十姐M综上所述，等腰4DFG的腰长为4,20,7,7【解析】【分析】（1）此小题考查相似

24、三角形的判定与性质；由正方形的性质可得AG/EG,则ACQ4GEF,即可得FG:AF=EG:AC=1:2,则只要由勾股定理求出AG即可；由正方形性的对称性，不难得出/1=/2,而由GF=GD可知/3=/2,在4BDF中，由三角形内角和为180度，不难求出/b的度数，可知是一个特殊角的度数，从而求出BC即可；（2）因为BC=9,所以B是定点，动点是D,因为点D是直线BC上一点，随着点D的位置的变化，E和F点的位置也跟着变化；需要分类计论点D在线段BC上，点D在BC的延长线和点D在CB的延长线上，再逐个分析等腰三角形的存在性，根据相似三角形的性及三角函数分析解答即可.8.如图，在平面直角坐标系中，

25、点A(5,0),以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结ACBC,并延长BC至点D,使CD=BC,过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F,点E为垂足，连结OF.(1)当/BAC=30o时，求ABC的面积；(2)当DE=8时，求线段EF的长；(3)在点C运动过程中，是否存在以点E、0、F为顶点的三角形与4ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)解：.AB是。的直径，/ACB=90,°在RtABC中，AB=10,/BAC=30,BC=AB=5,.,AC=出岸-4后-外弓,/.Saabc=AC?BC=(2)解：连接AD,D3 /ACB

26、=90,°CD=BC.AD=AB=10,.DEXAB,.,AE=庐。=6,BE=AB-AE=4,.DE=2BE,4 /AFE+/FAE=90；DDBE+ZFAE=90,/AFE=ZDBE,5 /AEF=ZDEB=90；6 .AEFADEB,.EF=3AE=-X6=3(3)解：连接EC,设E(x,0),Ld当班的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；团0。此的度数60°时，点E在O、B之间，/EOF/BAC=ZD,又/OEF玄ACB=90,由相似知/EOF=/EBD,此时有EODEBD,0E小.,BE如，EC是RtABDE斜边的中线，.CE=CB/CEB=ZCBE,

27、7 /EOF玄CEB8 .OF/CE,.AOFAAEC.一,5土久？解得x=/,因为x0,60°g的度数90°时，点E在O点的左侧,若/EOF=ZB,贝UOF/BD,1 1.OF=BC=BD,OFOE1-X1a.加跖J即5-#?解得x=3,若/EOFBAC,则x=-JI-15十J但综上点E的坐标为（，0）;（彳，0）;（二，0）.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得/ACB=90,根据30。的直角三角形的性质求得BC,进而根据勾月定理求得AC,然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD,由垂直平分线的性质得AD=AB=10,又DE=8,在RtAODE中，由勾股定理求

28、AE,依题意证明AED4DEB,利用相似比求EF;（3）当以点E、0、F为顶点的三角形与ABC相似时，分为两种情况：当交点E在0,B之间时；当点E在0点的左侧时；分别求E点坐标.9,已知：如图，在四边形-仿6中，-加/，-ACB=W,AB=/Am,BCAni|,如垂直平分工G点/从点不出发，沿力4方向匀速运动，速度为Jcm/s；同时，点Q从点。出发，沿Of方向匀速运动，速度为7ciii/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点一作法上.砧，交质于点£，过点，作|雨7",分别交业,仪于点刀，6.连接讯百。.设运动时间为上修/也（f.应，解答下列问题：（1）当卜为何值时，

29、点/在4K的平分线上？（2）设四边形四优的面积为5（car）,求|5与F的函数关系式.（3）连接|庞，我，在运动过程中，是否存在某一时刻|F,使|班J8？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：在Hid班花中，:上八6-缈"，的出口，肝氏m,k-卢一4=方心,如垂直平分线段求,川蛆,|上为北,=ZDCG,?2.丁一”,?I/出:一"/,?ACABBCOCCD也6108.r行一而，二:".U,/BPE土BCA=90°又/B=ZB当,为4秒时，点历在上丑北的平分线上.(2)解：如图，连接窕，汽.S颂?施国7-5且融&+54诙5-S

30、-函*(Sagpc'SdPCB5d第”4J41531§-.(4-t).3+i-r3,8一t.一(8t)'-t-L3(8T)25252t6248715538t-t75374-JI5,整理得：16解得5或10（舍）秒时，【解析】【分析】（1）根据勾股定理求AC,根据山也证J2YT*ASC4,求出CD、OD的值，根据BPaABAC得到比例式，用含有t的代数式表示出PEBE,当点E在ZBAC的平分线上时，因为EP±AB,EC±AC,可得PE=EC由此构建方程即可解决问题（2）根据S龈医用S箔GY沸3白颁'修飞倒'5©贪E$小做）构

31、建函数关EC*系式即可.（3）证明/EOC=ZQOG,可得tdiiZEOC=lauZQOG，推出tT一施，由此构建方程即可解决问题.10.如果三角形的两个内角“与3满足2a+3=90那么我们称这样的三角形为准互余三（2）如图，在RtABC中，/ACB=90,AC=4,BC=5若AD是/BAC的平分线，不难证明4ABD是推互余三角形”试问在边BC上是否存在点E（异于点D）,使得ABE也是准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.（3）如图，在四边形ABCD中，AB=7,CD=12,BD±CD,/ABD=2/BCD,且ABC是推互余三角形”，求对角线AC的长.【答案】

32、(1)15(2)解：如图中,在RtAABC中，ZB+ZBAC=90,/BAC=2ZBAD,/B+2/BAD=90；.ABD是准互余三角形”，.ABE也是准互余三角形”，.只有2/B+ZBAE=90,°/B+/BAE+/EAC=90,°/CAE之B,./C=/C=90；.CAEACBA<,可得CA2=CE?CB匕.CE=5,16g.BE=5-5=. /ABD=2/BCD,/BCD+ZCBD=90,° /ABD+ZDBC+ZCBF=180,°.A、B、F共线，ZA+ZACF=90° .2/ACB+/CABw90°.只有2/BAC+Z

33、ACB=90,° /FCB之FAC/F=/F, .FCBAFAC.CF2=FB?FA设FB=x,则有：x（x+7）=122,.x=9或-16（舍去）， .AF=7+9=16,在RtACF中，AC=、U/+CP=+川K【解析】【解答】(1)4ABC是准互余三角形"，ZC>90°,/A=60°, .2/B+/A=90；解得，/B=15°【分析】(1)根据准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；(2)只要证明CA&4CBA可得CA2=CE?CB由此即可解决问题；(3)如图中，将BCD沿BC翻折得到4BCF只要证明45045人6可得CF

34、2=FB?FA设FB=x,则有：x(x+7)=122,推出x=9或-16(舍弃)，再利用勾股定理求出AC即可；11.已知：如图，在RtABC中，/C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ,设运动时间为t(s)(0vtv2.5),解答下列问题:(1)BQ=,BP=;(用含t的代数式表示)设4PBQ的面积为y(cm2),试确定y与t的函数关系式;(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使4PBQ的面积为4ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使4BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的-JnM值；不存在，请说明理由.【答案】(1)5-2t;t;y=-(2)解：不存在，理由：AC=3,BC=4,IsSaabc=JX3W£,J-J由（1）知，Sapbq=-t2+-tPBQ的面积为4ABC面积的二分之一，-5t2+一t=3,.，2t2-5t+10=0, /=25-4X2X<10),，此方程无解，即：不存在某一时刻t,使PBQ的面积为4ABC面积的二分之一(3)解：由(1)知，AQ=2t,BQ=5-2t,BP=t, BPQ是等腰三角形， 当B