特殊平行四边形典型例题解析题

1、、参考例题例1如下图， ABC中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点F.(1) 求证：EO=FO(2) 当点0运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE=OF,可借助第三条线段 0C，即证：OE=OC, OF=OC， 这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证 OEC、AOCF是等腰三角形， 由已知条件即可证明(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角 . 由已知可得到：/ ECF=90°,由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF 是

2、矩形，只需OA=OC.证明：(1)：CE、CF分别是/ ACB、/ ACD的平分线./ ACE=Z BCE,/ ACF=Z DCF MN / BC/ OEC=/ ECB,/ OFC=/FCD/ ACE=/ OEC,/ ACF=/ OFCOE=OC, OF=OCOE=OF(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC又由(1)证得OE=OF四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)111由(1)知：/ ECA+ / ACF=； / ACB+1 / ACD=； (/ ACB+/ ACD)=90°即/ ECF=90°四边形AECF是矩形.因此：当点O运动到AC

3、的中点时，四边形AECF是矩形.例2如下图，已知矩形 ABCD的对角线AC、BD相交于O, 0F丄AD于F, 0F=3 cm, AE丄 BD 于 E,且 BE : ED=1 : 3,求 AC 的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE,进而得出AB=AO,即得出BE=0F=3 cm,求出BD 的长，即AC的长.解：四边形ABCD是矩形. AC=BD,OB=OD=OA=OC又 BE : ED=1 : 3 BE : BO=1 : 2 BE=EO又 AE 丄 BO ABEA ADE AB=OA 即 AB=AO=OB/ BAE= / EAO=30

4、°,Z FAO=30° ABEA AOFBE=OF=3 cm, BD=12 cmAC=BD=12 cm二、参考练习1如图，有一矩形纸片 ABCD, AB=6 cm,BC=8 cm,将纸片沿EF折叠，使 点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF由折叠的意义可知：EF丄BD, EF平分BD. BE=ED,BF=FD四边形ABCD为矩形 AB=CD, AD=BC,Z C=90°, AD / BC/ EDO= / FBO点B和D重合 BO=DO,Z BOF=Z DOE BOFA DOE ED=BF,a ED=BF=FD=BE四边形BFDE是菱形1S菱形= X

5、 BD X EF=BFX CD2 BF=DF，二可设 BF=DF=xJ则 FC=8 - x在RtA FCD中，根据勾股定理得：x2=(8 - x)2+6225x=4 - 、82 62 EF 兰 624EF=7.5因此，折痕EF的长为7.5 cm.2当平行四边形ABCD满足条件寸，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：/ BAC=90° 或 AC=BD 或 OA=OB 或/ ABC+Z ADC=180° 或/ BAD +/ BCD= 180°等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且丄丄丄二-，求:（1）工匚的度数；（

6、2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD勺面积.分析 （1）由E为AB的中点，可知DE是 AB的垂直平分线，从而，且，则 是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而丄即。二页，禾U用勾股定理可以求出 AC （3）由菱形的 g 二 J. 豆£）对角线互相垂直，可知-解 （1）连结BD,:四边形ABCD1菱形，二二-'三是AB的中点，且三工三，.二二二匸3二是等边三角形，二二“也是等边三角形. 一二二-：' 2-11/（2）v四边形ABCD是菱形， AC与 BD互相垂直平分,1 a.S=-AC BD 二丄屈（3）菱形ABCD勺面积说明：本题中的菱形有一个内角是 60&

7、#176;的特殊的菱形，这个菱形有许多特 点，通过解题应该逐步认识这些特点.例2 已知：如图，在菱形 ABC冲，匚£ -工 于丄丄丄亠-于F.分析 要证明二二，可以先证明IE =匚i , 难证明，从而可以证得本题的结论.证明四边形ABCD是菱形,BC = CD"Z£EC = DFC = 90a厶虫一庄* * ? AE = AF.例3已知：如图，菱形ABC冲，E, F分别是S仝0。，二偕，求ACEF的度数而根据菱形的有关性质不，且；,CD上的一点，解答：连结AC四边形ABCD为菱形， N养 W60。 A£BC=CD = AD* * ?.丄出二与m 为等边三

8、角形. I.' I . r I '工 ZBAE = Z.CAF ABE 三二-二三：丄三丄二为等边三角形二三 mi: H二匚：一_匚三二_-说明本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC证LABE 二 LACF.例4 如图，已知四边形匸三二 和四边形匸三二7都是矩形，且-4 匸归 求证：三三垂直平分匚丘.分析 由已知条件可证明四边形 '是菱形，再根据菱形的对角线平分 对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分.证明：四边形工三二二、匸三二71都是矩形卫总"占” AB / CD £DFH =£BCD = ° AD =

9、 BC* * ? ? ?四边形J 是平行四边形 匸二匸F 匸G = S匚* ? * *在匸p三和 m中二 ZBCH< £DHF =DF 二 BCD月豆望月左.DH二盟，HF= HC.四边形J 是平行四边形.四边形三匚咚芒是菱形.?-T平分三三匚. 三 平分.三F =三匚工Y垂直平分片二.例5 如图，-广三匕中，二匸二：占三，丘、P在直线二匸上，且 DE = CD = CF .求证：王丘一二F .分析 要证，关键是要证明四边形：是菱形，然后利用菱形 的性质证明结论.证明四边形匸代匚是平行四边形為心 ABCD AGHBH Z1 = Z£* *? ? ? * *G二 ED

10、AB 二 ED*? * */二上丑Z2=Z3在/加和中肋二趾.上M三望匚 .二?=三.AD =2 AB同理：AB=BH：.AG=BHAGHBH四边形ASHG是平行四边形AB= BH四边形ABHG是菱形:.AF丄酬典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3倍，那么这个平行四边形 的四个内角各是多少度？分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数.解 设平行四边形的一个内角的度数为 x，则它的邻角的度数为3x，根据 题意，得，解得 ，二这个平行四边形的四个内角的度数分别为 45°, 135°, 45°, 135°.例2 已知：如图

11、，夕山璇江1的周长为60cm对角线AC BD相交于点0, 的周长比的周长多8cm求这个平行四边形各边的长.分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半二30cm又由的周长比的周长多8cm,可知cm,由此两式,可求得各边的长.解四边形匸三工 为平行四边形，亠 二一 J，- / AB¥CD-AD¥SC=6Q=二丄 <2 二一丨一：_三二? * *丄一二答：这个平行四边形各边长分别为 19cm, 11cm 19cm 11cm说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行 四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三 角形周

12、长之差等于邻边之差.例3已知：如图，在中，交于点0,过0点作EF交ABCD于 E、F,那么0E 0F是否相等，说明理由.分析观察图形,ME。wbCDOMEOm昙三hDOF，从而可说明证明启C。中，貝G BD交于0,二畀。二0C.-.-AB / CD 三曲O="gZAEO 二 ZCFO， ? F VZ' _ ?£=寸.例4 已知：如图，点E在矩形ABCD勺边BC上,且- - ''''',垂足为F。求证：分析观察图形，与二三都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE贝U与丄:三全等，因此可以确

13、定图中许多有用的相等关系。证明四边形ABCD1矩形，丄m ，_=一二二- AF1 丄DE = 二 g(Tp 負 三 AZX7E AF = DC.例5 0是 ABCD寸角线的交点，-二“的周长为59，打一：，则砒=，若心。恥与心。加的周长之差为15,则AB=I口 ABCD的周长=.OA=OC = -AC OB = OD = -BD解答：ABCD中,-，二=OB +CC + 5C = -BD-h-AC-BC"的周长- 二= 19 + 12+SC-59BC= 28在 ABCD中 比_.2 AD = 23_i：；57的周长_上二工的周长 ''''1 " .'' ' 1' "，= BC-AB=15abcd勺周长 丄 - - - 一 _:二_ - 一：一一； I _：-一说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与丄二三的周长的 差转化为两条线段的差例6 已知：如图，ABCD勺周长是三处沆，由钝角顶点D向AB, BC引两条