吉大数字电子技术第二章

1、吉大数字电子技术第二章 逻辑代数基础 课堂笔记u 主要知识点掌握程度 了解并掌握数字电路逻辑功能的数学方法，掌握其逻辑代数的基本公式、常用公式和重要定理，并能熟练运用这些公式和定理化简逻辑函数，了解并掌握逻辑函数化简和变换的方法。u 知识点整理 一、概述数字电路主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，其研究工具是逻辑代数（布尔运算或开关代数）。逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学工具。二、逻辑代数的基本运算 逻辑代数基本运算有与、或、非三种，逻辑与、逻辑或和逻辑非。（一）逻辑与1、定义只有决定某事件的全

2、部条件同时具备时，该事件才发生，逻辑与或称逻辑乘。2、示意图在该电路图中，只有A、B两个开关同时闭合时，指示灯才会亮。3、表示方法逻辑与“”，写成或F=AB。4、逻辑真值表若以A、B表示开关的状态，并以1表示开关闭合，以0表示开关断开；以Y表示指示灯的状态，并以1表示灯亮，以0表示灯灭，则可列出0、1表示的逻辑关系的图表。逻辑真值表（truth table）：自变量的各种可能取值与函数值的对应关系，简称真值表。两个变量的与逻辑真值表：由真值表看出：当输入变量只要有0存在，输出便为0，只有当输入全为1时，输出才为1，该逻辑用符号表示为“and”。（二）逻辑或1、定义决定某事件的诸多条件中，只要有

3、一个或一个以上条件具备时，该事件都会发生，或称逻辑加。2、示意图只要有任何一个开关闭合，指示灯就亮，只有两个开关都断开时，指示灯才灭。3、表示方法逻辑或“+”，写成Y=A+B。4、真值表两个变量的或逻辑真值表：由真值表看出：两个变量当中输入只要有1，输出便为1，只有当输入均为0时，输出才为0。（三）逻辑非1、定义在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，称为逻辑非，也称为逻辑反。2、示意图电路中只有一个开关，只有该开关处于断开的情况下，电路才处于闭合回路，灯亮，当开关处于接通的情况下，灯反而不亮。3、表示方法逻辑反写成Y=A或。4、真值

4、表当输入为1时，输出反而为0；当输入为0时，输出反而为1。其符号为inverter， 或用以下矩形轮廓符号来表示，只要表示非，则输出端均有小圆圈。（四）其他常见逻辑运算1、与非和或非与非：逻辑表达式为，先与后非，输入只要有0存在，输出函数值为1，只有输入全为1，输出才为0。逻辑符号如下： 或非逻辑符号或非：逻辑表达式为，先或后非，只要输入有1存在，输出便为0，只有输入均为0时，输出才为1。逻辑符号如上：2、与或非与或非：逻辑表达式为，先与再或后取非，逻辑符号和真值表如下： 3、异或运算与同或运算异或运算：，变量取值相同时，函数值为0，变量取值相异时函数值为1。同或运算：Y=AB=AB+，变量取

5、值相同时，函数值为1，变量取值相异时函数值为0。 异或逻辑真值表 同或逻辑真值表 异或逻辑符号 同或逻辑符号注：奇数个1相异或，等于1；偶数个1相异或，等于0。异或与同或运算互为反运算，即A异或B的非就等于A同或B。三、逻辑代数的基本公式和常用公式（一）基本公式1、常量之间的关系与运算： 或运算：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1非运算： 2、基本公式0-1律：互补律： 重叠律：A+A=A 还原律（双重否定律）：，亦称非非律。分别令A=0或A=1代入上面公式即可证明公式的正确性。3、基本定理交换律： 结合律： 分配律： 反演律（摩根定律）： 利用真值表很容易证明这些公式的正确性。（

6、二）常用公式1、A+AB=A在两个乘积项相加时，如果其中一项是另一个项的一个因子，则另一项可以被吸收。2、 一个乘积项的部分因子是另一乘积项的补，这个乘积项的部分因子是多余的，统称为吸收律。3、 当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B两个因子而其它因子相同时，则两项可以合并，可将B和B两个因子消去。4、 变量A和A的和相乘时，结果等于A。5、 推广在一个与或表达式中，若一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则由这两个与项其余的因子组成的第三个与项是多余项。第三项只要含有BC，其他不管再包含多少变量，其结果均不变，该定律称为冗余定律或多余项定理或包含律。该定理的其他形式注：标红的一项

7、为多余项，可扩展成含有B或C的其他形式。6、 7、四、逻辑代数的基本定理（一）代入定理在一个逻辑等式两边出现某个变量（逻辑式）的所有位置都代入另一个变量（逻辑式），则等式仍然成立。（二）反演定理对一个逻辑函数Y进行变换，将所有的“与”换成“或”，“或”换成“与”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到函数Y的反函数Y（或称补函数）。注意：1） 遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序；2） 不属于单个变量上的反号应保留不变；例：（三）对偶定理对一个逻辑函数Y进行变换，将所有的“与”换成“或”，“或”换成“与”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得

8、到函数Y的对偶函数YD。例：对偶规则：若两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。例：利用对偶规则可使要证明及要记忆的公式数目减少一半。五、逻辑函数及其表示方法（一）逻辑函数如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来表示。（二）逻辑函数表示方法1、逻辑真值表用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格。2、逻辑函数式把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。3、逻辑图由逻辑门电路符号构成，表示逻辑

9、变量之间关系的图形称为逻辑电路图。此外还可以用卡诺图和波形图来表示。4、不同描述方法之间的转换1）逻辑表达式逻辑真值表按自然二进制码的顺序列出所有逻辑变量的不同取值组合，确定出相应的函数值。例：写出逻辑函数Y=AB+BC+AC的真值表，分析知其为三变量逻辑函数，将三变量所有取值列写出来，将每组取值代入表达式，确定出在该组取值下函数值为1还是0，即可转换为对应的逻辑真值表如下。2）逻辑真值表逻辑表达式找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值的组合，每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量，将这些乘积项相加即得Y的逻辑表达式。 3） 逻辑函数式逻辑图用

10、图形符号代替逻辑式中的运算符号，按照运算优先顺序连接起来就可以画出逻辑图。 4） 逻辑图逻辑函数式从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式。 5） 波形图逻辑真值表从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，将输入、输出取值对应列表可得逻辑真值表。（三）逻辑函数的两种标准形式1、最小项定义：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准乘积项，常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8（23）个最小项，分别为：若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最

11、小项具有相邻性。最小项的性质：1） 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1；2） 任意两个不同的最小项的乘积必为0；3） 全部最小项的和必为1；4） 具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A+A=1和A(B+C)=AB+AC来配项展开成最小项表达式。一个与项若缺少一个变量，生成两个最小项；一个与项若缺少两个变量，生成四个最小项；一个与项若缺少n个变量，则生成2n个最小项。2、最大项定义：在n变量逻辑函数中，若M为包含n个因子的和项，且这n个变量都以

12、原变量或反变量的形式在M中出现，且仅出现一次，则这个和项M称为该函数的一个标准和项，常称为最大项，n个变量有2n个最大项，记作Mi。最大项的性质：1） 在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为0；2） 全体最大项之积为0；3） 任意两个最大项之和为1；4） 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。相同编号的最小项和最大项存在互补关系，即mi=Mi， Mi=mi。六、逻辑函数的化简方法（一）公式法化简利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有并项法、吸收法、消项法、消因子法、配项法等。1、并项法利用公式AB+AB=A将两个与项合并为一个，消去其中的

13、一个变量。例：2、吸收法利用公式A+AB=A吸收多余的与项。例：Y=(AB)+C)ABD+AD=(AB)+C)B+1AD=AD3、消因子法利用公式A+AB=A+B消去与项多余的因子。例：Y=AC+AD+CD=AC+(A+C)D=AC+(AC)D=AC+D4、消项法利用公式AB+AC=AB+AC+BC进行配项，以消去更多的与项。例：Y=ABCD+(AB)E+ACDE=ABCD+(AB)E5、配项法利用公式A+A=A，A+A=1配项，简化表达式。（二）卡诺图化简法将n变量的全部最小项各用一个小广场表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图1、逻

14、辑函数的卡诺图表示法2、用卡诺图化简逻辑函数1）合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子；四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子；八个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去三对因子。2）化简步骤：a.用卡诺图表示逻辑函数；b.将卡诺图中按矩形排列的相邻的1圈成若干个相邻组，原则是相邻组必须覆盖卡诺图上所有的1；每个相邻组中至少有一个1不包含在其他相邻组内；相邻组的数目应最少；每个相邻组应包含尽可能多的1。c.化简后的乘积项相加。例： 七、具有无关项的逻辑函数化简（一）约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项1、约束项当限制某些输入变量的取值不能出现时，用它们对应的最小项恒等于0来表示。2、任意项在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。3、无关项约束项和任意项均称为无关项，在卡诺图中用符号“”、“×”、“d”表示无关项，在化简函数时即可以认为它是1，也可以认为它是0。（二