22春“数学与应用数学”专业《常微分方程》在线作业答案参考10

1、22春“数学与应用数学”专业常微分方程在线作业答案参考1. 设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f"(x)0，g"(x)0,证明：对任何a0，1有设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f"(x)0，g"(x)0,证明：对任何a0，1有  证法1设    则F(x)在0，1上可导，并且    F'(x)=g(x)f'(x)-f'(x)g(1)=f'(x)g(x)-g(1)    由于x0，1时，f'

2、;(x)0，g'(x)0，表明g(x)在0，1上广义单调增加，所以F'(x)0，即F(x)在0，1上广义单调减少    注意到    而故F(1)=0    因此，x0，1时，F(x)0,由此可得对任何a0，1，有        证法2  因为所以        又由于x0，1时，f'(x)0，所以f(x)在0，1上广义单调增加，则有f(x)f(a)，对于任意xa，1    又由题设，当x0，1时，有g

3、'(x)0，所以    f(x)g'(x)f(a)g'(x)，xa,1于是    从而        注  在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下：    由积分中值定理知，存在a，1，使    一般来说，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查

4、考生对定积分变上限函数的导数的理解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明 2. 设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大泊松分布    已知X(5)，则其分布律为计算相邻两项的比值，得    当k4时，pk+1pk；当k4时，pk+1pk因此，最大值在k=4，或k=5时取到计算得，即共有两项最大 3. 某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开

5、始做另一套西服，每道工序所需时间所服从某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间所服从参数4u的负指数分布，平均需要2h。又设顾客前来定制西装的过程为泊松过程，平均每周来到5.5人(每人定制一套西服，且设每周工作6天，每天工作8h)。试问一位顾客从定货到做好一套西服平均需要多少时间?4. 设R是A上的关系，证明：若R是自反的，则domR=ranR=A反之是否成立?设R是A上的关系，证明：若R是自反的，则domR=ranR=A反之是否成立?对任意的aA，因为R是自反的，所以a，aR，因此adomR，且aranR，故AdomR，AranR又因

6、为R是A上的关系，所以domRA，ranRA，故domR=ranR=A    反之不成立例如，R=1，2，2，1是A=1，2上的关系，显然domR=ranR=A，但R不具有自反性 5. 极值反映的是函数的( )性质。A.局部B.全体C.单调增加D.单调减少参考答案：A6. 设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是实系数多项式，n2，且某个ak=0(1kn-1)，及当ik时，ai0。证明：若f(x)有n个设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是实系数多项式，n2，且某个ak=0(1kn-1)，及当ik时，ai0。证明：若f(x)有n个相异的实根，则

7、ak-1·ak+10证法1  由罗尔定理可知，在可导函数的两个零点之间，其导数在某点为零,因此，如果f(k-1)(x)有n-k+1个相异的零点，则f(k)(x)有n-k个零点，且f(k)(x)的零点位于f(k-1)(x)的每两个相邻零点之间    由于f(x)=anxn+a1x+a0，则    f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k11)!ak-1,C1=k！ak=0,    假设ak-1,ak+1同号，不妨设ak-10，ak+10，则f(k-1)(x)在点x=0的左方某

8、邻域内单调减少；在点x=0的右方某邻域内单调增加,而f(k)(0)=0，可知f(k-1)(0)=C00为f(k-1)(x)的极小值    若f(k)(x)无其他零点，则对任意x0，应有f(k-1)(x)f(k-1)(0)=C00，因此f(k-1)(x)也没有零点，矛盾    若x0是f(k)(x)与x=0相邻的零点，则在x=0与x0之间有f(k-1)(x)C00，这与f(k-1)(x)在0与x0为端点的区间内存在零点矛盾    从而可知ak-1·ak+10    证法2  由于   &

9、#160;f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k-1)!ak-10,C1=k！ak=0，    f(k-1)(x)有n-k+1个互异的零点，设为x1x2xn-k+1，    由于C00，可见    x1·x2··xn-k+10则多项式    (x)=Cn-k+1+Cn-kx+C2xn-k-1+C1xn-k+C0xn-k+1有互异的零点由罗尔定理可知    有不相等的二实根但C1=0，因此    

10、60;  即    ak-1·ak+10由前面几题可以发现，讨论方程根的存在性，常常利用函数的单调性、函数的极值、闭区间上连续函数的介值定理、罗尔定理以及综合运用上述性质 7. 重排级数，使它成为发散级数重排级数，使它成为发散级数将原级数展开，引用括号且适当重排为                            这样，取时有             &

11、#160;  即这样重排后级数发散 8. 求函数在此点的内法线方向上的导数求函数在此点的内法线方向上的导数9. 已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?用A表示求职n次至少有一次获得一个就业机会，则表示求职n次没有获得任何就业机会，依题意，即1-(1-0.4)n0.9，解之得n4.5所以至少要求职5次，才能有90%的把握获得一个就业机会10. 已知是全微分表达式则a=( ) (A) -1 (B)0 (C) 1 (D

12、) 2已知是全微分表达式则a=(  )  (A) -1  (B)0  (C) 1  (D) 2D用凑全微分法：由于分母是x+y的平方，故分子应凑为(x+y)及d(x+y)的形式为此考察    (x+2y)dx+ydy=(x+y)d(x+y)+yd(x+y)-(x+y)dy与(x+y)-2恰好构成全微分：    因此a=2        解2  用即可得a=2   &#

13、160;解3  用待定系数法，原函数必为的形式，作全微分得                比较得A=1(B=0，C=-1)，因而a=2 11. 设A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5，试求行列式det(A*-2E)的值，其中A*是A的伴随矩阵设A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5，试求行列式det(A*-2E)的值，其中A*是A的伴随矩阵因A的特征值为1，3，5，所以A可逆，且detA=15，于是A*的特征值依次为，    所以A*-2E的特征值为15-2=13，5-2=3，3-2=1

14、，    因此det(A*-2E)=13×3×1=39 12. 设en是内积空间X中的标准正交系，x，yX，证明设en是内积空间X中的标准正交系，x，yX，证明  利用Cauchy-Schwarz即Bessel不等式可知     13. f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x24x2x2；f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x24x2x2；正确答案：f(x1x2x3)的矩阵为因为A的顺序主子式为3都大于零所以这个二项型是正定的f(x1,x2,x3)的矩阵为因为A的顺序

15、主子式为3,都大于零所以这个二项型是正定的14. 设有一密度均匀的球锥体，球的半径为R，锥顶角为3，求该球锥体对位于其顶点处的单位质点的引力设有一密度均匀的球锥体，球的半径为R，锥顶角为3，求该球锥体对位于其顶点处的单位质点的引力"msg":"","data":,"voicepath":""15. 微分方程y&39;-y=ex，满足初始条件y|x=0=1的解是( ) Ay=ex(x+1) By=xex Cy=xex+1 Dy=e-x(x+1)微分方程y'-y=ex，满足初始条件y

16、|x=0=1的解是(  )  Ay=ex(x+1)  By=xex  Cy=xex+1  Dy=e-x(x+1)A16. f(x)=m|x+1|+n|x-1|，在(-，+)上( )A.连续B.仅有两个间断点x=±1，它们都是可去间断点C.仅有两个间断点x=±1，它们都是跳跃间断点D.以上都不对，其连续性与常数m，n有关参考答案：A17. 两个无穷小的差也为无穷小。( )两个无穷小的差也为无穷小。( )正确答案： 18. 设函数f和g分别为f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，试找出定义复合函数的数学公式设函数f和g分别为f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，试找出定义复合函数的数学公式因为f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，    所以=g(f(x)=g(2x+1)=(2x+1)2-2    =4x2+4x+1-2=4x2+4x-1 19. 当x0时，与x相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小当x0时，与x相比是(  )  A高阶无穷小  B低阶无穷小