正余弦定理完美教(学)案

1、正余弦定理教案教学标题正余弦定理及其应用教学目标熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式会用正余弦定理解三角形会做综合性题目教学重难点正弦定理、余弦定理的综合应用授课容：梳理知识1.正弦定理abc2R或变形：sinCa:b:csinA:sinB:sinCsinAsinB2.余弦定理：2ab2b22a2c2c2bccosA2accosB或cosAcosB222bca2bc222acb.2cb22a2bacosCcosC2ac222bac2ab3.(1)两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角(2)两类余弦定理解三角形的问题：1、已

2、知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5.解题中利用ABC中ABC换的运算，如：sin(AB)sinC,cos(A,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变B)cosC,tan(AB)tanC,sinC,tan2cotC2.ABCABsincos,cos222典型例题探究点一正弦定理的应用例1(1)在4ABC中，a=V3,b=V2,B=45°,求角A、C和边c；(2)在ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求边b和c.解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用

3、正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判断方法如下：在ABC中.已知a、b和A,求B.若A为锐角，当a>b时，有一解；当a=bsinA时，有一解；当bsinA<a<b时，有两解；当a<bsinA时，无解.若A为直角或钝角,当a>b时，有一解；当awb时，无解.解(1)由正弦定理.a=.b/导,sinA=工3.sinAsinB2.a>b,A>B,.-.A=60°或A=120°.当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°

4、bsinC,6+2c=HnrB=2；当A=120°时，C=180°-45°120°=15；=,6,2综上，A=60°,C=75或八=120°,815°,c=(2)B=60°由正弦定理,C=75ac-V6+Wc2?，622.A=45.csinAsinBsinC'aa-sinBa-sinC得b=：t=4y6,c=：t=4J3+4.sinAsinA，b=4g,c=4艰+4.变式迁移1(1)在ABC中，若1_。一一tanA=§,C=150,BC=1,则AB=(2)在ABC中，若a=50,b=25V6,A=

5、45°,贝UB=探究点二余弦定理的应用例2已知a、b、c分别是ABC43角ABC的对边，且a2+c2-b2=ac.求角B的大小；(2)若c=3a,求tanA的值.解(1);a2+c2b2=ac,-cosB=a2+c2-b22ac12.bsinCc=：-：sinB-cc汽.0<B<n,B=.3(2)方法一将c=3a代入a2+c2b2=ac,彳导b=ga.人b2+c2a25J7由余弦定理，得cosA=.=Y.2bc142“.21 .sinA=V1cosA=J,14，sinA；3 tanA1.cosA5方法二将c=3a代入a2+c2-b2=ac,得b=,7a.由正弦定理，得si

6、nB=17sinA汽匹由(1)知，B=y,.sinA=K.又b=V7a>a,，B>A,.:2“5_7.cosA=.1-sinA=0.14sinA；35,由正弦定理，得sinC=3sinA2.tanA=cosA方法三c=3a,2支1.sin(A)=3sinA,3 sin-3cosAcos-3-slnA=3sinA,.1.一.A+2sinA=3sinA,5slnA=3cosA,sinA：3tanA=t=T.cosA5变式迁移22在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B=,b=xp3,a+c=4,求a.3探究点三正、余弦定理的综合应用例3在ABC中，a、b、c分别表示三个角A、B

7、、C的对边，如果(a2+b2)sin(AB)=(a2b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状.解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.解方法一(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)?a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B), 1-2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正弦定理，得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)=0, .sin2A=sin2B,由0<2A<2兀，0<2B<2为得2A=2B

8、或2A=l2B,即ABC是等腰三角形或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正、余弦定理，即得2b2+c2-a22a2+c2b2a2bx-=b2a乂,a2bca2aca2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2b2)(c2a2b2)=0,a=b或c2=a2+b2,，三角形为等腰三角形或直角三角形.变式迁移3ACcosB在ABC中，Ac=八'ABcosC.证明：B=C;.1,、一兀，,一(2)若cosA=3,求sin4B+3的值.课堂练习一、选择题（每小题5分，共25分）()6D.31 .在ABC中，a=15,b=10,A=60&

9、#176;,则cosB等于2.2B.32 .在4ABC中AB=3,AC=2,BC=7T0,则ABAC等于（）A.-|B.2C.|D.|2332Acb3 .在ABC中，sin2'=2（a，b,c分别为角A,B,C的对边），则ABC的形状为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形4 .（2011聊城*II拟）在4ABC中，若A=60°,BC=4j3,AC=4、/2,则角B的大小为（）A.30°B.45°C.135°D,45°或135°5 .（2010）在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=

10、120°,c=.12a,则（）A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定二、填空题（每小题4分，共12分）6 .在ABC中，B=60°,b2=ac,则ABC的形状为.7 .已知a,b,c分别是ABC的三个角A,B,C所对的边，若a=1,b=J3,A+C=2B,则sinC=.8 .在锐角ABC中，AD±BC,垂足为D,且BD：DC：AD=2：3：6,则/BAC的大小为.三、解答题（共38分）,_A_-LLrU、1八、，L*LA25_t9 .在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos-,AB?AC=3.25求ABC的面

11、积；（2）若b+c=6,求a的值.10 .（12分）在ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.11 .（14分）设ABC的角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b2+3c23a2=42bc.（1）求sinA的值；._n：2sinA+4sinB+C+4（2）求1cos2A4土的值五课堂小结1 .解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用.2 .在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解

12、的情况，应结合图形并根据“三角形边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.3 .在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口.家庭作业选择题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）1、在ABC中，下列式子与aa-相等的是sinAbc°sb触DsinCbsinB2、在ABC中，已知c=10,/A=30°,则/B等于A.105°B.60C.15°D.105°或15°3、在AABC中,/A=450,/B=6C0,a=

13、2,贝Ub=4、不解三角形,A.C.5、在B.2、,6C.3,6确定下列判断中正确的是a7,ba6,bABC中,A.直角三角形4.614,A9,AsinA30,有两解45,有两解B.D.sinB,则ABC是30,b9,c25,A150，有一解10,A60,无解B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形6、在ABC中，一定成立的等式是A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA7、在ABC中，若a15,b10,A60则cosB等于（）A、三B、善C、冶D、冶3333二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）1、在ABC中，a=2J3,

14、b=2j2,B=45°,则A等于.2、在ABC中，AB=dSA45,C75,则BC的长度是3、在ABC中，已知ax,b2,B60°,如果ABC两组解，则x的取值围是.2,22abc一.4、已知ABC的二边分别为a,b,c,且SABC=a一-,那么角C=.45、已知ABC中，A=60°,最大边和最小边是方程x2-9x+8=0的两个正实数根，那么BC边长是.5.6、在ABC中，若ab,A2B则cosB27、在4ABC中，已知a=7,b=8,cosC=13,则最大角的余弦值是.三、解答题（10分）（要求具体的解题过程，否则按错误处理）1、在ABC中，已知b3,c3石，B

15、30,解此三角形。2、在ABC中,a,b,c分别是三角A、B、C的对边，且tanB2actanCa2+b2=c2+反ab,求A.参考答案变式迁移1手(2)60或120°1一解析(1).在4ABC中，tanA=-,C=150,31A为锐角，-sinA=.10-y.Bo=i.根据正弦定理得AB=(2)由b>a,得B>A,由BCsinC匹sinA=2.absinAsinB'得sinB=bsinA25V6XV2_V35021.10<B<180°B=60°或B=120°.变式迁移2解由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB99

16、c2=a2+c22accos3兀=a2+c2+ac=(a+c)2ac.又=a+c=4,b=T3,ac=3,a+c4联立，解得a=1,c=3,或a=3,c=1.ac=3a等于1或3.变式迁移3解题导引在正弦定理sinAsinBsinC=2R中，2R是指什么？a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC的作用是什么？(1)证明在4ABC中，由正弦定理及已知得sinBcosBsinCcosC.于是sinBcosCcosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为一BBC<TT,从而B-C=0.所以B=C.(2)解由A+B+C=兀和(1)得人=兀一2B,1故cos2B=cos(兀一2B)

17、=cosA=-.3又0<2B<兀,是sin2B=力cos22B=2.3从而sin4B=2sin2Bcos2B=42,9cos4B=cos22B-sin22B=.9所以sin4B+f3&一=sin4Bcos3+cos4Bsin34电73课后练习区1. D2,D3.B4.B5.A6 .等边三角形解析b2=a2+c22accosB,ac=a2+c2ac,'''(a_c)2=0,a=c,又B=60,.ABC为等边三角形.7 .1解析由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°.由正弦定理知,sinAsin60°一1即sin

18、A=-2.由a<b知，A<B,.-.A=30°,C=180-A-B=180-30-60=90°,sinC=sin90=1.兀&4解析则tan设/BAD=%/DAC=3,a=1,tan3=工，32./oAcx/0、tana+tan3.tan/BAC=tan(a+S)=1tandan311一十一32dd7=1.1、/11-x-132/BAC为锐角，/BAC的大小为4A259.解(1)因为coS2=-5",所以cosA=2cos2A1=3,sinA=4255.分)又由ABAC=3得bccosA=3,所以bc=5,1因此SaABC=bcsinA=2.分)(4(8(2)由(1)知,bc=5,又b+c=6,由余弦定理，得a2=b2+c22bccosA=(b+c)2-6bc=20,所以a=275.510.解(12分)在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得,cos/ADC=AD2+DC2AC22ADDC（6分）（8分）100+3619612X10X62'.ZADC=120°,ZADB=60°.在ABD中，AD=10,B=45°,ZADB=60°,由正弦定理得一AB一=小»,sin