第二章 假设检验

1、第二章 假设检验邹昌文假设检验的基本思想 从三个实例看假设检验的基本思想例1：某车间用包装机装葡萄糖，按照标准，每袋平均净重应为0.5kg，现抽查9袋，测得净重（单位：kg）为0.497,0.506,0.516,0.524,0.481,0.511,0.510,0.515,0.512可认为净重2( ,)N 检验假设0:0.5H例3：已知某班学生的一次考试成绩，问学生的考试成绩是否服从正态分布？210:检验假设：H),(:检验假设20N：H19.6X 例2：对于某种针织品的强度，在80度时，抽取5个样品，测得样本均值 ，样本标准差Sx=0.42；在70度时，抽取6个样品，测得样本均值 ，样本标准差

2、Sy=0.30。设这种针织品的强度服从天上正态分布，问在80度和70度时的平均强度是否相同？20.3Y 假设检验的基本思想 提出假设 H0 检验假设（根据小概率原理）假设检验的基本原理问题：设总体 ，其中(X1,X2,Xn)是 的样本检验2( ,)N 000:H分析：由Th1.10(0,1)XnN取统计量00000XXUnnn若H0为真，则000n000(0,1)XXUnnN000n0若H0不真，则U相对N(0,1)会有一个向左或右的偏移002212u12u对假设检验： H0:=0, H1:0因为 是的无偏估计所以，若H0为真，则X0X不能太大即：00|P XK为小概率事件当H0为真0(0,1

3、)XUNn0XKPnn12Kun012012:,:,XIfunXIfun拒绝H0接受H0检验的两类错误和显著性水平一类错误：=P拒绝H0|H0为真（拒真）二类错误：=P接受H0|H0为假（纳伪）例：设总体2( ,)XN 0011:,:HH10其中方差已知(X1,X2,.,Xn)是来自容量为n的样本，在显著性水平之下检验假设其中：取统计量：0XUn若H0为真，则10( )0E Un0XUKn010XPunU有偏大的趋势所以拒绝域形式应为：0101:xIf uunxIf uun则拒绝H0则接受H0计算犯两类错误的概率011|XPun010101(,1)XXUNnnnn=P接受H0|H1为真H1为真

4、时10111|XPunn1010111()XPuunnn 10101UUUnn 10UUn 检验的p值0XUn统计量设一组样本的观察值为u称0| | |P Uu为检验p值若p，则在水平之下拒绝H0若p， 则在水平之下接受H0对0010:,:HH0|pP Uu0|pP Uu0010:,:HH对注意与拒绝域的形式一致假设检验的基本步骤 设立统计假设 确定原假设H0和备择假设H1，从而确定使用双侧检验还是单侧检验 选择检验统计量 要求H0为真时，其分布确定并已知 规定检验水平 由设立的假设提出拒绝域的形式 结论 根据小概率原理对统计假设做出判断正态总体均值的假设检验2001000100010:,:(

5、1):,:(2):,:(3)HHHHHH0XUn设总体 ，(X1,X2,.Xn)是来自X的一组样本，下讨论 已知时关于的检验（U检验）考虑在显著水平a之下的以下三个假设取检验统计量2( ,)XN 考虑（2）H0不真（或H1为真）时U有偏大的趋势所以拒绝域的形式为0XUKn00|XPKn00|XPKnnP拒绝H0|H0为真00n000|XXPKPKnnn故只需0|XPKn1Ku即可,求得得拒绝域01Xun对（3）有拒绝域01Xuun 未知时关于的检验（t检验）2在水平a之下检验如下三个假设001000100010:,:(1):,:(2):,:(3)HHHHHH0XtSn取检验统计量由Th1.4，

6、当H0为真（即= 0）时0 (1)Xtt nSn先考虑（1）当H0不真（H1为真）时，0XtSn有偏大的趋势拒绝域形式为0XtKSn00|XPKnP拒绝H0|H0为真12(1)Ktn对单边假设检验（2）、（3）同理可得拒绝域为01(1)XttnSn和01(1)(1)XttntnSn 例2.2：某砖厂生产的砖其抗断强度X服从正态分布，长期以来，砖的抗断强度的均值为30，今改进了生产工艺，新生产了一批砖，从中随机取出10块作抗断强度试验，测得其抗断强度为30.8 32.6 29.7 31.6 30.2 31.9 31.0 29.5 31.8 31.4试问：这批砖的抗断强度的均值是否较以往生产的砖有

7、显著提高（a=0.05)?解：001:30,:30HH两个正态总体均值差的检验（t检验）212, 012112012112012112:,:(1):,:(2):,:(3)HHHHHH12()()11wXYtSmn设(X1,X2,Xm)是总体21(,)XN 的样本，(Y1,Y2,Yn)是总体22(,)YN 的样本，两个样本相互独立，总体中的参数均未知考虑以下假设取统计量其中22(1)(1)2xywmSnSSmn由Th1.612()() (2)11wXYt mnSmn可得假设（1）的拒绝域为1212()()(2)11wXYttmnSmn同理可得（2）和（3）的拒绝域为1(2)ttnm1(2)(2)

8、ttnmtnm 和正态总体方差的假设检验单个正态总体方差的检验（卡方检验）2( ,)XN 设总体2和都未知，（X1,X2,Xn)是来自总体X的样本，现考虑以下假设检验222200102222001022220010:,:(1):,:(2):,:(3)HHHHHH取统计量2220(1)nS由Th1.222220(1)(1)nSn对假设（1）拒绝域形式为22122200(1)(1)nSnSKorK可求得2212122(1),(1)KnKn同理可分别求得假设（2）和（3）的拒绝域为22212022220(1)(1)(1)(1)nSnnSn221122, 设(X1,X2,Xm)是总体211(,)XN

9、的样本，(Y1,Y2,Yn)是总体222(,)YN 相互独立，总体中的参数均未知考虑两正态总体方差的检验（F检验）以下假设222201211222220121122222012112:,:(1):,:(2):,:(3)HHHHHH取统计量22xySFS221222(1,1)xySF mnS2212由Th1.8对假设（1），若H0为真，即22212222(1,1)xxyySSF mnSS拒绝域形式为：221222xxyySSKorKSS可求得同理，对假设（2）和（3）可分别求得拒绝域为：21222(1,1)(1,1)xyxySFFmnSSFF mnS12122(1,1)(1,1)KFmnorKF

10、mn 设有总体X，其分布形式不知道，但知道其一、二阶矩存在，记 。(X1,X2,.,Xn)是来自总体X的样本，样本容量n(30)很大，在显著水平a下检验以下假设非正态总体的参数假设检验2(),()E XD X单个总体均值的检验（大样本，单个总体均值的检验（大样本，U检验）检验）001000100010:,:(1):,:(2):,:(3)HHHHHH其中0是已知常数由中心极限定理当0XUSn0(0,1)()LXNnSn 所以取统计量上述假设检验问题（1）、（2）、（3）的近似拒绝域分别为：近似地服从N(0,1)分布0011201XXUuUuSSnnXUuuSn 书中例3.2.6-3.2.80 时

11、两个总体均值的检验（大样本，两个总体均值的检验（大样本，U检验）检验） 设有总体X和Y，其分布形式不知道，但知道其一、二阶矩存在，记 。(X1,X2,.,Xn1)和(Y1,Y2,.,Yn2)是来自总体X和Y的独立样本，这两组样本的样本均值和样本标准差分别是 这两组样本容量n1和n2都很大(30) ，在显著水平a下检验以下假设12(),( )E XE Y012112012112012112:,:(1):,:(2):,:(3)HHHHHH22, ,xyX SY S由中心极限定理12122212()()(0,1)(,)LyxXYUNnnSSnn 所以取统计量近似地服从N(0,1)分布122212()

12、()yxXYUSSnn上述假设检验问题（1）、（2）、（3）的近似拒绝域分别为：1211212212()(),yxXYUuUuUuuSSnn 例：某大城市为了确定城市家庭养猫灭鼠的效果，进行调查得：养猫户：n1=119,有老鼠活动的有15户无猫户：n2=418,有老鼠活动的有58户问：养猫与不养猫对该大城市家庭灭鼠有无显著差异(a=0.05)解：设p1,p2分别是养猫户和无猫户中有老鼠活动的家庭所占百分比，可看着0-1分布即12(1,),(1,)BpBp问题转化为：在显著水平a=0.05下检验假设012112:0;:0HppHpp即01:0;:0HEEHEE非参数假设检验总体分布函数的假设检验

13、独立性假设检验两总体比较假设检验几个实例P79总体分布函数的假设检验总体分布函数的假设检验0010:( )( ),:( )( )HF xF x HF xF x其中F0(x)为一个已知分布函数分布拟合 检验2112211(, ,( , ,(,(,)kkktt tttt1001( )()iiiiipP tXtF tF t在实轴上取k-1个点将实轴分成k个区间设记ni为X1,X2,Xn落入第i个区间的个数，则n 时 与pi很接近作统计量22211()()kkiiiiiiiinnnpnppnnpinn有定理保证22(1)()Lkn 22211()(1)kiiiinnpknp12,r 拒绝域为：P82例

14、3.3.4-3.3.5若F0(x)中含有未知参数则用其最大似然估计 12,r 代替,统计量拒绝域为：22211()(1)kiiiinnpkrnp 独立性假设检验独立性假设检验H0:X与Y独立，H1：X与Y不独立独立性的 检验法2( , )( )( ),xyF x yF x Fyx y 假设(X，Y)的联合分布函数为F(x,y)，边缘分布为Fx(x),Fy(y)，那么X与Y独立等价于设X的可能值为x1,x2,xr;Y的可能值为y1,y2,ys从总体(X,Y)中抽取一个容量为n的样本(X1,Y1),(X2,Y2),(Xn,Yn)记nij(i=1,.,r,j=1,s)为事件X=xi,Y=yj发生的频

15、数记11,sriijjijjinn nn有1111rsrsijijijijnnnn获得rs列联表 YXy1y2.ysx1n11n12.n1sn1.x2n21n22.n2sn2.xrnr1nr2.nrsnr.n.1n.2.n.sn此表将平面划为rs个互不相交的区域Aij，记11, sijijiijijrjijjipP Xx YyP XxppP Yypp0:ijijHpp p原假设等价于其中,ijpp均是未知参数，由极大似然估计得(1, ),(1, )jiijnnpirpjsnn得统计量2211()ijrsjijijn nninnn n有222(2) 1)(1)(1),()Lrsrsrsn 得近拟

16、拒绝域221(1)(1)rs书中例3.3.2，3.3.6例2.3.2中222222(10002000 3000/10000)(9002000 6000/10000)10000100002000 3000900 6000(1002000 1000/10000)(15004600 3000/10000)10000100002000 10004600 3000(26004600 6000/10000)10000100004600 60002222(5004600 1000/10000)4600 1000(5003400 3000/10000)(25003400 6000/10000)10000100

17、003400 30003400 6000(4003400 1000/10000)100003400 1000794.3两个总体分布比较的假设检验两个总体分布比较的假设检验设Fx(x)、Fy(y)分别为连续型总体X、Y的分布函数，fx(x),fy(y)为其密度函数，都未知。X1,X2,.,Xn, Y1,Y2,Ym是分别来自于X和Y的样本，且相互独立，统计假设为01:( )( ),:( )( )xyxyHF xF x HF xF x符号检验法符号检验法设两总体各抽容量都为n的样本值(x1,x2,xn),(y1,y2,yn)对于xi,yi有1iiiiiiP xyP xyP xy1( )( )2iix

18、yx yP XYfs ft dsdt当H0为真时，X和Y是独立同分布的连续型随机变量有120iiiiiiP XYP XYP XY因此可假定,1,2,iixy in定义二元函数1,( , )0,xyzf x yxy1(,) (1, )2iiiZf X YB11( , )2niiXB n则随机变量函数由独立性及B(1,1/2)分布的可加性有有11(),()24nniiiinnEXDX设iiXYnnn记为“+”，而“+”的个数记为n+iiXY记为“-”，而“-”的个数记为n-去除相等的部分Xi=Yi可得当H0为真时111( , ),( , )22niinZB nnB n因此当H0为真时，n+与n-以很大的概率取n/2若统计量S=min(n+,n-)比n/2小得多就应该拒绝H0例3.3.7p88秩的概念秩的概念定义：设X1,X2,Xn为来自连续型总体X的样本，x1,x2,xn是样本观察值，将其按由小到大排序为(1)(2)(3)( )nxxxx如果xi=x(k)，则称xi的秩为kxi的秩就是按观测值由小到大排列后xi所占位置的次序号数，若有几个xi相等，则取平均值例：1,2,2,2,3,3则3个2的秩是(2+3+4)/3=3;2个3的秩是(5+6)/2=5.5秩和检验法秩和检验法将X的一组样本观察值x1,x2,xn1和Y的一组样本观察值y1,y2,yn2一起按从小到大的顺序排成一行