椭圆的简单几何性质练习题

1、课时作业（八）学业水平层次一、选择题1.（2015人大附中月考）焦点在x轴上，短轴长为8,离心率,3,为匕的椭圆的标准方程是（）5B，J110064A.高+i110036C.，/12516D-l259【解析】本题考查椭圆的标准方程.由题意知2b=8,得b=4,所以b2=a2c2=16,又e=一=，解得c=3,a=5,a5又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为占+3=1,故选C.25162.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离1B.3心率为（）1A-21C-42D-T【解析】由题意知a=2c,.e=-=丁=二.a2c2【答案】A3曲线1+=1与占T+:)=1(0<k<9)

2、的关系是()2599k25kA.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对【解析】“八x2y2，一,由线点+5=1的焦距为x22c=8,而曲线-r+9-ky27=1(0<k<9)表木的椭圆的焦距也是8,但由于焦点所在的坐25k标轴不同，故选B.【答案】Bx2y24.已知O是坐标原点，F是椭圆7+3=1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点，则cos/MON的值为B.513()5A.13D.2：1313【解析】由题意，a2=4,b2=3,故c=Ja2b2=#43=1.不妨设M(1,y0),N(1,一Vo),J2V0所

3、以7+可=1,433角牛倚y0=±2'所以|MN|=3,|OM|=|ON|由余弦定理知cos/MON|OM|2+|ON|2|MN|22|OM|ON|厂2+32513二、填空题5.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C、D的椭圆的离心率为【解析】如图，AB=2c=4,点C在椭圆上，CB+CA=2a=3+5=8,-e=2c412a-8-2x2y26.设AB是椭圆了+萨=1的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点，O为坐标原点，则kABkoM=【解析】设A(x/y1),B(X2,y),则中点x1+x2M-y1+y22，阳N2f得kAB=,x2-x1.yi

4、77;yiylylkoM=.，kABkoM=22,x2+x1x2x2b2x2+a2y2=a2b2,b2x2+a2y2=a2b2,22.0°cccc-y2y2a2-得b2(x2x2)+a2(y2y2)=0,即勺号=x2x1b2【答案】2y27.(2014天津局二检测)已知P(m,n)是椭圆x2+y=1上的一个动点，则m2+n2的取值范围是y2人【解析】因为P(m,n)是椭圆x2+y=1上的一个动点，所以on2m2+-2_=1,即n2=22m2,所以m2+n2=2m2,又一1WmW1,所以1W2m2w2,所以1wm2+n2w2.【答案】1,2三、解答题8.(1)求与椭圆卷+?=1有相同的

5、焦点，且离心率为J的椭圆945的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(一6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.【解】(1)C=q9-4=yJ5,所求椭圆的焦点为(-邓,0),西，0).设所求椭圆的方程为三十巳=1(a>b>0).ab,e=a=,c=5,.a=5,b2=a2c2=20,x2y2所求椭圆的方程为工t+zt=1.2520(2)因椭圆的焦点在x轴上，x2y2设匕的标准方程为了十1=1(a>b>0),2c=8,"=4,又a=6,.b2=a2c2=20.入，、,x2y2.二椭圆的万程为TT+TT=1.3620x

6、2y2,-9.(2014河泽局二检测)设椭圆+亍=1(a>b>0)与x轴交于点A,以OA为边作等腰三角形OAP,其顶点P在椭圆上，且/OPA=120°,求椭圆的离心率.【解】不妨设A(a,0),点P在第一象限，由题意，点P的横坐标是£，设p2,y,由点p在椭圆上，得a2b2-,23一i,y2=j2,，故tan/a2b2-a3-即P2，2b，又/OPA=120，所以/P0A=30C2b3POA=十，所以a=3b,所以a3273b2-b22陋3b=.能力提升层次1.(2015福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F/F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF

7、2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是(A.£B./2-1【解析】设椭圆方程为一+2=1(a>b>0),abb2由题得|PF2|=a=2c,a2c2即=2c,得离心率e=，21,故选B.【答案】Bx2y22.（2014清远高二期末）“m=3”是“椭圆+=1的离心一1,率为,的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件x2y21【解析】椭圆7+m=1离心率为£，4一十4m1一1,2,得16=3，当0Vm<4时，2=2，得m=3,一Um4当m>4时，N/；mx2y2即“m=3”是“椭圆7+411的离心率为2”的充分不必要条

8、件.【答案】Ax2y2.，一3 .（2015济南历城局二期末）已知椭圆a2+亍=1（a>b>0）的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，且BF±x轴，直线AB交y轴于点P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是.【解析】由AP=2PB,得|AO|=2|FO|(O为坐标原点)，即a=2c,-1则离心率e=.1【答案】24 .(2014青海省西宁)已知点A,B分别是椭圆+1的3620左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAXPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.【解】(1)由已知可得A(6,0),B(6,0),F(4,0),设点P的坐标是(x,y),则AP=(x+6,y),FP=(x4,y).x2y2-+TT=1,由已知得3620x+6x4+y2=0,3.一则2x2+9x18=0,解得x=2或x=-6.3-由于y>0,只能取x=2，于是y=35所以点P的坐标是万，、3(2)直线AP的方程是x，3y+6=0.设点M的坐标是(m,0),_|m+6|一一则M到直线