概率论与数理统计总结之第四章

1、第四章数学期望和方差数学期望：设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=Pk,k=1,2,qQqQ若级数£XkPk绝对收敛，则称级数£XkPk的和为随机变量X的数学期望，记为k1k4E(X)，即E(X)=£XkPkk4设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分.Lxf(x)dx绝对收敛，则称积分.1xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)=j1二xf(x)dx数学期望简称期望，又称为均值数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布也称E(X)是这一分布的数学期望定理设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数

2、)001)X是离散型随机变量，它的分布律为PX=Xk=Pk,k=1,2,，若£g(Xk)PkkWQO绝对收敛，则有E(Y)=E(g(X)L'g(Xk)Pkk=12)X是连续型随机变量，它的概率密度为有E(Y)=Eg(X)=二g(x)f(x)dxf(x)。若Lg(x)f(x)dx绝对收敛，则数学期望的几个重要性质:1 .设C是常数，则有E(C)=C2 .设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)若A,B相互独立，则有E(AB)=E(A)E(B)3 .设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)万差设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX

3、-E(X)2为X的方差,记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=EXE(X)2JD(X)，记为(T(X),称为标准差或均方差对于离散型随机变量，D(X)=，Xk-E(X)2Pkk1对于连续型随机变量，D(X)=百x-E(X)2f(x)dx随机变量X的方差计算公式：D(X)=E(X2)-E(X)2方差的几个重要性质：1 .设C是常数，则D(C)=02 .设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X)3 .设X,Y是两个随机变量，则有D(XY)=D(X)D(Y)2E(X-E(X)Y-E(Y)特别地，若X,Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)4 .D(X)=0的充要

4、条件是X以概率1取常数C,即PX=C=1,显然这里C=E(X)定理：(切比雪夫不等式)设随机变量X具有数学期望E(X)=内方差D(X)=仃2,则对于任意正数名,不等式_2P|X卜户名成立协方差及相关系数量EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)而Pxy=Cov(X,Y)称为随机变量X与Y的相关系数,D(X),D(Y)Pxy是一个无量纲的量Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)协方差的性质有：1 .Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,

5、b是常数2 .Cov(X1X2,Y)=Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)当|Pxy|较大时，X,Y线性相关的程度较好,当|Pxy|较小时,X,Y线性相关的程度较差，当Pxy=。，称X和Y不相关若X,Y独立，则其不相关，但若X,Y不相关，并不能说明其独立矩、协方差矩阵设X,Y是随机变量，若E(Xk),k=1,2,存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩若EXE(X)k,k=2,3，存在，称它为X的k阶中心矩若E(XkYl),k,l=1,2,存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩若EX-E(X)kYE(Y)1,k,l=1,2,存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩设n维随机变量(Xi,X2,Xn)的二阶混合中心矩Cj=Cov(XXj)=EXi-E(Xi)Xj-E(Xj),i,j=1,2，n都存在，则称矩阵fC11C12A、GnC=C21C22A