概率论与数理统计统计课后习题答案_总主编_邹庭荣_主编_程述汉_舒兴明_第二章

1、第二章习题解答1.设B(x)与F2(x)分别是随机变量X与Y的分布函数，为使aFi(x)bFz(x)是某个随机变量的分布函数，则a,b的值可取为(A).A.aC.a3,bq51B.aD.a=,b=-222.一批产品20个，其中有5个次品，从这批产品中随意抽取4个，求这4个产品中的次品数X的分布律.解：因为随机变量X=这4个产品中的次品数X的所有可能的取值为：0,1,2,3,4.一c4c0且px=5=CmC20910.2817;323PXcc5=1C204550.4696;969PX=222C15c5c4C2070定0.2167323PX-313C15c5c4C2010ft0.0310323PX

2、=404C15c54c2010.0010969因此所求X的分布律为:00.281710.469620.216730.031040.00103.如果X服从0-1分布，又知X取1的概率为它取0的概率的两倍，写出X的分布律和分布函数.解：设Px=1=p,则Px=0=1p.2由已知，p=2(1p),所以p=一3X的分布律为：X1/32/3当x0时，F(x)=PXWx=0;1当0x1时，F(x)=PXx=PX=0=_;3当x至1时，F(x)=PXx=PX=0+PX=1=1.0x:二0X的分布函数为：F(x)=1/30Mx1.I1 x_14. 一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从这批零件中

3、任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已取出不合格品数的概率分布.解：设X=在取出合格品以前，已取出不合格品数).则X的所有可能的取值为0,1,2,3.一一7Px=0=；10377Px=1=109303277Px=2=，一，一=；109812032171Px=3=一一一二.10987120所以X的概率分布为：X|0123P7/107/307/1201/1205.从一副扑克牌(52张)中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布.解：设X=其中黑桃张数).则X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.Px=005C13C392109上0.2215:C5

4、C529520Px=1_1_4C13C3927417:0.4114一C5266640Px=2C2C3C13C3927417一C：999600.2743PxQIC3C2C13C3916302nnoAK_3一C521999200.0815Px=441C13C39429一C5C5239984-0.010750Px=5：.0.0005C13C3933-5C5266640所以X的概率分布为：X012345-P0.2210.41140.27430.08150.010750.00056. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数X的概率

5、函数.解：由已知，X:G(p)以P(X=i)=p(1-p),i=0,1，27. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求X的概率分布.解：X的所有可能的取值为0,1,2,3.口1且PX=0=；2111PX=1=-M二一；2241111PX=2=二一;2228PX22所以X的概率分布为X|0123P1/21/41/81/88. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况,估计大约有4%的培训者不能完成培训任务.求：(1) 恰有6个人不能完成培训的概率；(

6、2) 不多于4个的概率.解：设X=不能完成培训的人数JX:B(100,0.04),(1) PX=6=C1600.0460.9694=0.1052;4kk100_k(2) PX4-%C1000.040.96=0.629.k=09 .一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率P接受一批产品的概率.假设你是使用方，允许次品率不超过p=0.05,你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品.试求使用方风险是多少？(假设这批产品实际次品率为0.06).解：设X=100个产品中的次品数),则X:B(100,0.06),所求概率为PX3C：00(

7、0.06)k(0.94)100-=0.1430.k.：310 .甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博.约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元.分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设*甲=投掷一次后甲的赌本,*乙=投掷一次后乙的赌本).则X甲的取值为20,40,且1PX甲=20=PX甲=40=,21PX乙=10=PX乙=30=,2所以X甲与X乙的分布律分别为:2040X乙10301/21/2p1/21/2x：:20x：:10f0,/、1FxJx)=_,广0,Fx/x=I1,21,11.设离散20x:二

8、4,0型随机变108_PX9=0.0511-0.0214=0.0297;(2) PX_8=0.02136.13.一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5,从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X的概率分布.解：X的所有可能的取值为1,2,3.C263PX=1=-3-=；C5105C：3Px=2=一；C510C221Px=3=-二.C510所以X的概率分布为：X|123P6/103/101/1014.已知每天去图书馆的人数服从参数为以九下0)的泊松分布.若去图书馆的读者中每个人借书的概率为p(0p1),且读者是否借书是相互独立的.求每大借书的人数X的概率分布.解：设丫=每天去图书馆的

9、人数,则丫：p(?j,iPY=i=-e,i=0,1,2,i!当Y=i时，X:B(i,p),-tokki_kPX=k=PYFCip(1-p)i土二，i二，ikki-k-一i!ki_k八一eCip(1-p)八一ep(1-p)i+i!=i!k!(i-k)!i.kk：；i-ki!ki-kpi-k八一ep(1-p)=e、(1-p).i!k!(i-k)!k!i(i-k)!kk二二.i_kkkk1p-ip(1T)(p)-1p二e(1-p)二ee=ek!i+(i-k)!k!k!即X的概率分布为PX=k=k!15.解:k,p-e-,k=0,1,2,.设随机变量X的密度函数为f(x)13axb1PX=：-=317

10、ab3(axb)dx=0183PX-=1(axb)dx=34a2b十一，3由三1816.b+=34a2b1/日.1小a-1.5,服从柯西分布的随机变量己的分布函数是F(x)=A+Barctanx,求常数A,B;PX1以及概率密度f(x).-二)n=lim(ABarctanx)=A-一BF(二)=lim(ABarctanx)=ABx,2=0覆行二1A2B_!BIn所以F(x)=十一arctanx；2二PXf(x)17.求：(1)解:1=P1x1=F(1)-F(-1)=0.5;11=F(x)=一-2二1x设连续型随机变量常数A的值；(2)X的分布函数为0,2F(x)=Ax2,I,1,x:二00Mx

11、：1X的概率密度函数f(x)；(3)px2.(1)由F(x)的连续性得F(1-0)=F(1+0)=F(1)=1即limAx2=1所以A=1,F(x)=x1一0,2x,x:01,0x1;x-12x,0cx1(2)f(x)=F(x)=J,其他；(3) PX2=F(2)=1.18.设随机变量X的分布密度函数为f(x)=hH当x1其它试求：(1)系数A；(2)广1P/一X22；(3)X的分布函数F(x).解：(1)因为1=产f(x)dxJjoQ1Adx=Aarcsin.d2.1fx1一、.1-所以人=一,f(x)=(冗Ji_x冗0x1其它1-(2)P-：:X：:2=1f(x)dx=1222二(3)当x

12、1时,f(x)=PXx=0,当0Wx1.1解：(1)由已知，X:E(一),Y:B(5,p)5i10io1_其中p=PX10=1PX10=1一f(x)dx=1_-e5dxe-o5所以丫的分布为_kk5k_k2k25kPY=k=C5P(1-p)-=C5(e)(1-e-)-，(k=0,1,2,3,4,5);(2) P1y_1)=1PY=0=1C：(eN)(1-e)5=0.5167.21.设随机变量XN(5,4),求口使:(1)PXa=0.01.解：由XN(5,4)得X-5N(0,1)2(DPixX-5二一51工5:二二J=P:二=：，()=0.9032225查标准正态分布表得：=1.3,所以a=7.

13、6;2(2)由PX一5|Aa=0.01得，pX-5a=0.99所以PX-5a=P-ax-5aXC；.X-5=P-:二：二一二：，(一)一：J(一)=24()-1=0.99222222一-CiCi.即(一)=0.995,查标准正态分布表得一=2.58,所以Ct=5.162222.设XN(10,22),求P。X13,pX-10|2.22X-10解：由XN(10,22)得N(0,1)2P(10X13=P10PXT01.5卜=6(1.5)-(0)=0.9932-0.5=0.4932；2PX-10M2=P-2X-102X-10二P_1：-：-1=中.殳(_1)=2苗(1)一1=20.8413_1_0.6

14、826.223 .某地8月份的降水量服从R=185mm,a=28mm的正态分布，求该地区8月份降水量超过250mm的概率.解：设随机变量X=该地8月份的降水量,皿2X-185贝1X:N(185,28),从而：N(0,1)28所求概率为X-185250-185PX_250=P=1_：，(2.32)=10.9898=0.0102282824 .测量某一目标的距离时，产生的随机误差X(cm)服从正态分布N(0,400),求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30cm的概率.X解：由X:N(0,400)得一:N(0,1)20设丫=在3次测量中误差的绝对值不超过30cm的次数,则丫：B(3,p)其中

15、p=PX|30=P-30X30=P1.5X1_0_0_3=1-PY=0=1-C30.86640.13320.997625 .已知测量误差XN(7.5,102),X的单位是mm,问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0.9.解：设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0.9.由已知XN(7.5,102),X7.5N(0,1)10设丫=n次测量中，绝对误差不超过10mm的次数,则丫：B(n,p)aX-7.5,其中P=PX10.9,即PY=0.2当y1时,1Fy(y)=PY-y_=PQ=1；2FY(y)=PYy=Px之=1_PX1-y-211-p-1-y21-y1-Fx()-Fx21-y(一)2即FY(y)=1一r0,1-y()-Fx2),Py(y)=Fy(y)=2P0,1-y()21Px(0,),29.随机变量X的概率密度为f(x)=2二(x1)0,求丫=InX的密度函数.解：由于y=lnx是一个单调函数，其反函数为x=ey,：=minf(0-0),f(：；3)-：,-=maxf(0,0),f(,f)-,二利用公式得Y=lnX的密度函数为Py(y)=Px(ey)(eyI2ey2-y，(二e1-二二y；二).设随机变量X表示直线在点的直线与x轴的交a在(0