微积分综合练习题及参考答案

1、综合练习题1(函数、极限与连续部分)1 .填空题1_(1)函数f(x)=的定义域是.答案：x>2且x#3.ln(x-2)(2)函数f(x)=-1+3-x2的定义域是.答案：(2,1)=(1,2ln(x2)(3)函数f(x+2)=x2+4x+7,贝Uf(x)=.答案：f(x)=x2+3-ua+1y/a(4)右函数f(x)=Jx,在x=A处连续，则k=.答案：k=1k,x,A(5)函数f(x-1)=x2-2x,贝uf(x)=,答案：f(x)=x2-1一x2-2x-3(6)函数y=的间断点是.答案：x=-1x1.1:(7)limxsin=.答案：1xx(8)若limsn"=2,则k=

2、.答案：k=2xAsinkx2.单项选择题(1)设函数-xxee广2,则该函数是(A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数答案：B(2)下列函数中为奇函数是().exD.xx2ee2A.xsinxB.C.ln(x+、r1+x)答案：Cx(3)函数y=十ln(x+5)的定义域为().x4A.x>-5B.x0-4C.x>-5且x=AD.x>-5Hx-4答案：D(4)设f(x+1)=x21,则f(x)=()A.x(x1)C.x(x-2)答案：C(5)当k=(A.0B.1答案：D(6)当k=(D.(x+2)(x-1)ex+2,、k，D.)时，函数f(x)=C.2)时，函数

3、f(x)=x-0在x=0处连续.x=0x21,k,x=0,在x=0处连续.x=0A.0B.1C.2D.-1答案：Bx-3(7)函数f(x)的间断点是()x2-3x2A.x=1,x=2B.x=3.无间断点C.x=1,x=2,x=3D答案：A3.计算题(1)x2-3x2-4解:2x2-3x2(x-2)(x-1)x-1lim2limlimx2x2-4xN(x-2)(x2)x卫x2(2)limx3-9x2-2x-3解:2一一一.x2-9.(x-3)(x3)lim；二limx3x2-2x-3x3(x-3)(x1)lim(3)x2-6x8lim2x"x-5x4解:lim4=lim(x-4)(x-

4、2)=lim型x4x2-5x4x4(x-4)(x-1)x售x-1综合练习题2(导数与微分部分)1.填空题(1)曲线f(x)=JX+1在(1,2)点的切斜率是1答案：12(2)曲线f(x)=ex在(0,1)点的切线方程是.答案：y=x1(3)已知f(x)=x3-3x,贝Uf(3)=答案：f(x)=3x23xln3f'(3)=27(1+ln3)(4)已知f(x)=lnx,贝Uf"(x)=.一11答案：f(x)=.,f*(x)=2xx(5)若f(x)=xe",则f(0)=答案：f(x)=2e'xe"f(0)=-22 .单项选择题(1)若f(x)=e*co

5、sx，则f，(0)=().A.2B.1C.-1D.-2因f(x)=(e*cosx)=(e")cosxe"(cosx)-x.x-x、-ecosx-esinx-e(cosxsinx)所以f(0)=e"cos0sin0)=1答案：c1dxx(2)设y=lg2x,则dy=().A.-dxB2x答案：B1ln10dxC.dxDxln10x(3)设y=f(x)是可微函数，则df(cos2x)=(A.2f(cos2x)dxf(cos2x)sin2xd2xC.2f(cos2x)sin2xdxD._f'(cos2x)sin2xd2x答案：D(4)若f(x)=sinx+a3,

6、其中a是常数，则f"(x)=().cosx2A.cosx+3aB.sinx+6aC.-sinxD答案：C3 .计算题1(1)设y=x2ex,求y'.111,一一1-1、一解：y=2xexx2ex(-)=ex(2x1)x(2)设y=sin4x+cos3x,求y12解：y=4cos4x3cosx(-sinx)2=4co4x-3sinxcosx(3)设y=e、：m+2,求y'.x解：y=e-1142Y(x1x(4)设y=x7x+Incosx，求y'.31131解：y=x2(-sinx)=x2-tanx2cosx2综合练习题3(导数应用部分)1 .填空题(1)函数y=

7、3(x1)2的单调增加区间是.答案:(1,二)(2)函数f(x)=ax2+1在区间(0,+与内单调增加，则a应满足答案：a02 .单项选择题(1)函数y=(x+1)2在区间(2,2)是(A.单调增加C.先增后减D.先减后增答案：D(2)满足方程f(x)=0的点一定是函数y=f(x)的()A极值点B,最值点C.驻点D.间断点答案：C(3)下列结论中()不正确.A.f(x)在X=X0处连续，则一定在X0处可微.B-f(x)在X=X0处不连续，则一定在X0处不可导.C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.答案：B(4)下列函数在指定区间(-以,一)上单调增加的是

8、().x2A.sinxB.eC.xD,3-x答案：B3 .应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108m3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为hm,容器的表面积为ym2。怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知2108xh=108,h=-x所以2/卜2/1082432y=x4xh=x4x二xxx令y'=2x432=0,解得唯一驻点x=6。因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=6是函数的极小值点也是最小值点。故当x=6m,hnnBm时用料最省.62(2)用钢板焊接一个容积为4m3底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为

9、10元/R2,焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用是多少？2一，4解：设水相的底边长为xm,图为hm,表面积为Sm,且有h=x所以S(x)=x答案：ec4xh=x2J6,x16S(x)=2x2x令Sx)=0,得x=2.因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当x=2m,h=1m时水箱的表面积最小.此时的费用为S(2)x10+40=160(元)(3)欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为hm,所用材料(容器的表面积)为ym2由已知x2h=32,h=jx22322128所以y=x4xh=x4x=xxxx=4

10、是函数的极小值点也令y'=2x-128=0,解得唯一驻点x=4。x因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以是最小值点。故当x=4m,h=3j=2m时用料最省4请结合作业和复习指导中的题目进行复习。综合练习题4(一元函数积分部分)1 .填空题(1)若f(x)的一个原函数为lnx2,则f(x)=.2答案：2x(2)若ff(x)dx=sin2x+c,则f(x).答案：2cos2x(3)若fcosxdx=答案：sinxc2(4) Jde一=.(5) j(sinx)dx=.答案：sinxc(6)若jf(x)dx=F(x)+c,贝Ujf(2x-3)dx=.1答案：F(2x-3)c2(7)若ff

11、(x)dx=F(x)+c,则fxf(1-x2)dx=答案：一1F(1-x2)c21 2(8) L(sinxcos2x-x+x)dx=-2答案：-23一、de2(9ln(x1)dx=dx1答案：0,、02x.(10)edx=答案：22.单项选择题(1)下列等式成立的是(A.df(x)dx=f(x)C.f(x)dx=f(x)dx答案：C(2)以下等式成立的是(1、A.lnxdx=d()BxC.-dx=d'xdx答案：D(3) Jxf"(x)dx=()A.xf(x)-f(x)cB.C.1x2f(x)cD.2答案：AB.f(x)dx=f(x)D.df(x)=f(x)sinxdx=d(

12、cosx)3xdxd3xln3xf(x)c(x1)f(x)cC.(4)下列定积分中积分值为0的是().x_x1e-e,dxx?1ee,dx答案:二,3(xcosx)dx一冗A(x2sinx)dx-JI(5)设f(x)是连续的奇函数，则定积分-af(x)dx=()0Bfaf(x)dxf(x)dxD.02af(x)dx答案:(6)下列无穷积分收敛的是(A¥.,A.sinxdx0B.1dx1xD.dxX(2x-1)10dx解:(2x-1)10dx=；(2x1)10111d(2x-1)=(2x-1)c(2)解:.1sin-x2x.1sin-x2xdx-sin-d-=cos-cxxx解:dx(

13、3)=2exd一x=2excln2xx2e(4e)dxln2oex(4ex)dx0In2=0(4ex)2d(4ex)1X3=(4e)3ln20二-(216-125)=30-33e15lnx,dx1x即ei+5inx,1e-、1一、21-7斛：fdx=(1+5lnx)d(1+5lnx)=一(1+5lnx)=一(361)='1x5*1011021(6) xexdx-01111解：xexdx=xex一exdx=e-ex=1J。0%02xsinxdxnnnn解：f2xsinxdx=_xcosxX+2cosxdx=sinx2=1%0J00综合练习题5(积分应用部分)1.填空题已知曲线y=f(x)在任意点x处切线的斜率为,且曲线过(4,5),则该曲线的方程是.答案：y=2&+12(2)由定积分的几何意义知，"a2-x2dx=.答案：04(3)微分方程y'=y,y(0)=1的特解为.答案：y=e'(4)微分方程丫+3丫=0的通解为.答案：y=cex(5)微分方程(y)3+4xy(4)=y7sinx的阶数为.答案：42.单项选择题(1)在切线余率为2x的积分曲线族中，通过点(A.y=