空间向量的数量积

1、空间向量的数量积学科：高中数学 年级：高 学校：行知中学执教者：李晓郁教学目标1知识与技能：在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、向量的加、减以 及数乘向量等运算基础上，进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定 义、性质并掌握空间向量数量积的应用2、过程与方法体会数学拓宽、发展的一种方法，亲身体验数学发现和创造的历程3、情感态度价值观领略数学严谨、系统、基础、实用的魅力.教学重点、难点1、重点：应用空间向量的数量积解决立体几何问题2、难点:应用空间向量的数量积解决异面直线所成角的问题教学方法在“四动策略”的前提下，以“问题驱动”为切入点，创设一种多元互动的 学习氛围.教学过程一、回顾

2、旧知、弓I入新课（回顾平面向量的数量积的相关知识:）1. 平面向量的数量积定义：向量形式a b 日 a | b | cos v （ 0 二:v：二* F坐标形式若 a 二xyj, b = X2, y?,则 a b = XiX?，y22. 平面向量的夹角公式：若a与b是平面两非零向量，它们的夹角为、则 f a bX1X2 +y2cos :I 2222I a |-| b |Xi ' yi X2 ' y23. 平面向量的性质:两非零向量a与b垂直的充要条件是：a _ b ：= a 4 = 0= x1x2 y1y = 0 两非零向量a与b平行的充要条件是：a/b：= a b = |a|

3、b|= b = ka二、类比探究、获取新知1. 空间向量的数量积定义：向量形式 a b a | b | cos 二（0 空：二 b+fe-坐标形式 若a =x1 ,% , Zi, b = X2, y2, Z2,贝Ua，b = xx? + y？ +2. 空间向量的夹角公式：若a与b是空间两非零向量，它们的夹角为r则F ba，bXi X2 + yi y?十乙声？cos :I a | | b |Jx： + y； + z； Jx： + y；十 z：3. 空间向量的性质：两非零向量a与b垂直的充要条件是：a _ b ：= a b = 0 ：= x；x2y； y2z； z2 = 0两非零向量a与b平行的充

4、要条件是：a/b= a b ： 士|a | b |二b = ka三、回味建构、应用拓展（课堂讨论,共同探究）问题驱动：向量融数形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，那么它除了在平面几何中的应用外，还可以帮助我们解决哪些立体几何的问题 呢？应用之一：处理角的问题（重点） 问题：在边长为2的正方体中,AC交B0于E,G为CG的中点，求:1.异面直线AE与BC所成角；A12.异面直线AE与BG所成角.（由学生完成） 解1:如图,建立适当的空间直角坐标系，得相关点的 坐标：A（2,0,2）,E（1,1,0）,B（2,2,0）,C1（0,2,2）A6J - arccos则 A1E =-1,1,-2

5、, BC 1 =-2,0,2.| A1 E 匸6 , IBC1 1=2、. 2 ._A1 E BC 1设AE与BC所成角为e,则cos0=:-| A1E | | BC 1 |即AE与BC所成角为arccos应用之二：处理垂直问题问题：已知条件不变，求证:A1E丄平面OGB.（此题结论可在题1的基础上得到.）应用之三：处理平行问题问题：在正方体中 ABCD-AiCiD中,Q是AB的中点,P是EA QB的中点求证：PQ/平面ABC、（通过证明pQ与平行，从而证明线面平行）O练习（由学生举例） 四、小结内容、练习实践1. 从平面向量数量积的定义、性质推广得到有关空间向量数量积的定义、 性质（类 比思想）；2. 向量数量积解决几何问题有两种方式；3. 向量数量积为解决立体几何中平行、垂直及有关角度等问题提供了一种新的方 法;4. 体现了几何问题代数化，即代数方法解决几何问题（数形结合思想）.课外练习：1. 若 A（m+, n-1, 3）,B（2 m, n, m-2n）, C