直线和平面垂直

1、直线和平面垂直1、知识要点:1. 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面 互相垂直。其中直线叫做平面的 垂线，平面叫做直线的 垂面。 交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a丄a。画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。说明：“任何表示所有提问：假设直线与平面内的无数条直线垂直，那么直线垂直 与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？ 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点 叫做垂足。 a丄等价于对任意的直线 m二卅，都有a丄m。利用定义，我们得到了判定

2、线面垂直的最根本方法，同时也得到了线面垂直的最根本 的性质。2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。即 假设丨丄m ,丨丄n , m n n = B, m二:；，n二:；，贝U l丄二、讲解范例： 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于例1平面。过一点和平面垂直的直线只有一条。 平面:-和一点P。例2：求证：过点P与垂直的直线只有一条。例3有一根旗杆 AB高8m，它的顶端 A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点和旗杆脚不在同一直线上C,D，如果这两点都和旗杆脚 B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？例4

3、 直线I丄平面a，垂足为 A直线AP丄|。求证：AP在a内。例5：空间四边形 ABCD , AB二AC , DB二DC，求证：BC _ AD三、课堂练习：1 选择题(1) “直线I垂直于平面：内的无数条直线是“ I丄：的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D既不充分也不必要条件(2) 如果一条直线I与平面的一条垂线垂直，那么直线 I与平面的位置关系是()(A)丨二* (B) I 丄(C) I / : (D)丨二:丄或 I / :2 填空题(1 )过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有个；平行线有 条；平行平面有个(2)过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条;平行

4、平面有个3 .能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交 平面？为什么？4 .拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直5.条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什 么？6 .过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？7 .如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定 的平面.&求证：一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等四、小结：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的那么是，如果直线I垂直于平面，那么I就

5、垂直于内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现 立体几何问题解决的一般思路 +直线和平面垂直2一、知识要点1 .直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那麽这两条直线平行2 .点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3 .直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.二、讲解范例：例1.直线丨_平面，垂足为A，直线AP _丨，求证：AP在平面内+例2.一条直线丨和一个平面:-平行，求证直线丨上各点到平面:-的距离相等

6、+例3.：a, b是两条异面直线，al，b I;, :- A -=l , AB是a, b公垂线，交a于 A,交b于B。求证：AB/丨三、课堂练习：1. 选择题1直线丨与平面内的两条直线都垂直，那么直线 丨与平面：的位置关系是A平行B垂直 C在平面：内 D无法确定2对于直线a，如果直线b同时满足以下三个条件：与a是异面直线；与 a所成的角为定值0 ;与a距离为定值d 那么这样的直线b有A 1条B 2条C 3条D无数条2 .求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直3 .地面上有两根相距 c米的直立旗杆，它们的长分别是a米，b米b>a,求它们上端间的距离4 .平行四边形 ABCD所在平面：外有

7、一点P,且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行 四边形对角线交点 0的连线PO垂直于AB、AD.高中数学学案 第九章 直线平面简单几何体(B)编辑：张栋成5 .如图， E, F分别是正方形 ABCD边AD AB的中点，EF交AC于M GC垂直于ABCD所在平面.(1) 求证：EF丄平面GMC(2) 假设AB= 4, GC= 2，求点B到平面EFG的距离.四、小结：我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义.定理的 证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依 据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比拟困难时，我们可以 考虑间

8、接证法，反证法就是一种间接证法直线与平面垂直的性质定理，应用直线与平面 垂直的性质定理解决相关问题 +五、课后作业1.矩形 ABCD的边长AB= 6cm, BC= 4cm,在CD上截取CE= 4cm,以BE为棱将矩 形折起，使 BC' E的高C F丄平面ABED求：(1) 点C到平面 ABED的距离;(2) C'到边AB的距离；(3) C'到AD的距离.2. 如图， ABCD是矩形，SA丄平面 ABCD E是SC上一点.求证：BE不可能垂直于平面 SCDa直线和平面垂直3一、知识要点：1.三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这

9、条斜线垂直.说明：1定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；P0 _ : , 0 三:v II2推理模式：PAD= a = a_ PA .a 二 &a _0A2 .三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 .P0 _ ： ,0推理模式：PADa=Aa丄AO .a u a, a 丄 AP注意：三垂线指 PA P0, AO都垂直a内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂 直的判定和性质定理,要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 .二、讲解范例：例1：点0是. ABC的垂心，P0 _平面ABC，垂足为0 , 求证

10、：PA_BC .例2如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。变式：.BAC在平面：内，点P ，PE _ AB, PF _ AC, P0 _,垂足分别为 E,F,0,PE二PF，求证：BA0 CA0 .推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线。例3.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱 PA PB, PC两两垂直，H是厶ABC的垂心 求证：P汕底面ABC © ABC是锐角三角形.(A)没有(C)有无数条(B)有一条(D) :内所有直线p高中数学学案 第九章 直线平

11、面简单几何体(B)三、课堂练习：1 选择题(1) 如图BC是Rt" ABC的斜边，过 A作"ABC所在平面垂线AP，连PB、PC,过A作AD丄BC于D，连PD，那么图中直角 三角形的个数是()(A) 4 个(B) 6 个(C) 7 个(D) 8 个(2) 直线a与平面：斜交，那么在平面：内与直线a垂直的直线(2 填空题(1) 边长为a的正六边形ABCDEF在平面内，PA± : , PA=a，那么P到CD的距离为,P到BC的距离为.(2) AC是平面ot的斜线，且 AO=a, AO与口成60o角，0C5 , AA /丄a于Az, / AzOC=45o，那么A到直线0

12、C的距离是 ，/ AOC的余弦值是 .3. 在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，求证：A£丄平面BCiD.四、 小结：三垂线定理及其逆定理的证明 用三垂线定理及其逆定理的应用五、课后作业：1. (i)以下命题中正确的选项是 ()两条异面直线在同一平面内的射影必相交.与一条直线成等角的两条直线必平行.与一条直线都垂直的两直线必平行同时平行于一个平面的两直线必平行.(A)、；(B)、；(C)、；(D)以上都不对.(2) 平面过 ABC的重心，B C在的同侧，A在：的另一侧，假设 A B、C到平面的 距离分别为 a b、c,贝U a、b、c间的关系为()(A) 2a=b+c ； (B)

13、 a=b+c； (C) 2a=3(b+c) ； (D) 3a=2(b+c).(3) 假设斜线和平面所成的角为 ：，此斜线与此平面内任一直线所成的角为，那么(A) K -； ( B) : = - ； ( C):上打(D):与的大小关系不确定.4(4) 正 ABC勺边长为，那么到三个顶点的距离都为 1的平面有()3(A) 1 个；(B) 3 个；(C) 5 个；(D) 7 个.(5) 假设空间.的两边分别与.一:的两边互相垂直，U与.的关系为()(A)相等；(B)互补；(C)相等或互补；(D)不确定.2. (1) P是厶ABC所在平面外一点，O是P点在平面：上的射影.假设 P到厶ABC三边的 距离

14、相等，那么 。是厶ABC的 心；假设P到厶ABC三个顶点的距离相等，贝U 。是厶ABC勺 心；假设PA PB PC两两互相垂直，那么 0是厶ABC的 _心.(2)PA PB PC是从点P发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60，那么直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 .(3) 直线a/ b, a 二 平面：，那么直线b与平面的位置关系是4) AB/ CD它们都在平面:内,且相距28. EF/ :,且相距15. EF/ AB且相距17.那么 EF和CD间的距离为 .(5) ABC中, 曲,BC/o(, BO6, /BAC90 s, AB AC与平面鼻分别成 30®、45。 的角.贝

15、U BC到平面：的距离为3 .如图，证：CD/ EF.CD是异面直线 CA DB的公垂线，CA：于A，4 .如图，CN DM两两垂直.DAO是四面体 ABC啲高，M是AO的中点，连结 BM CM DM求证：BM5 .如图，PA1且BEBC F是PB上的一点，且3GE是异面直线PG与BC的公垂线.F旦BC ( 3)CPB PC两两垂直，PA=PB=PC G是APAB的重心，E是BC上的一点, 1PF= PB 求证：(1) G巳平面 PBC (2)36 .如图，ABCD1矩形,AB=a, AD= b, PAL平面 ABCD PA=2c, Q是 PA的中点. 求(1) Q到BD的距离；(2) P到平面BQD的距离.PD直线和平面垂直4一、讲解范例：例i如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔 测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？AB，高15m，只有量角器和皮尺作例2 点A为 BCD所在平面外的一点，点 AC _ BD, AD _ BC,求证：AB _ CD .O为点例3：四面体S-ABC中，SA_平面ABCJABC是锐角三角形，H是点A 在面SBC上的射影，求证： H不可能是 SBC的垂心.例4：如图，在正方体 ABCDABGU中,F是AC, BD的交点，求证：AF _平面BED .E是CCi的中点,二、课堂练习：1.如图，PAL ABC所在平面，AB= AC= 13, B