状态波函数和薛定谔方程(20211109133331)

1、第二章状态波函数和薛定谔方程本章引入描述量子体系状态的波函数，给出波函数的几率波解释和态的叠加原理两个量子力学的根本假设，在此根底上建立非相对论量子力学的根本方程一一薛定谔(Schr ?dinger)方程，并通过几个具体实例介绍定态薛定谔方程的解法。§ 2.1波函数的几率波解释1. 波函数由第一章的讨论可知，微观粒子的波粒二象性是对粒子运动的一种统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波(粒子波)用一个物理量来描述，称为波函数。它是位置(x, y,z)和时间t的复值函数，表示为或' (x, y,乙t)。微观体系的状态总可以用一个波 函数* (r,t)来完全描述，即从这个波

2、函数可以得出体系的所有性质，且' ( r ,t)和C (r,t)(C为比例常数)描写同一量子状态。引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学 的根本假设之一。2. 波函数的几率波解释在历史上，人们对波函数的解释曾有过不同的看法。有人认为波是由它所描写的粒子组成的；也有人认为粒子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包。除以上两种观点外， 还有其它一些不同的看法。但是，这些看法都与实验事实相矛盾，而被物理学家们普遍接受的解释是玻恩(Born)提出的统计解释，即几率波解释。为了说明玻恩的解释，我们首先来考察 电子的双缝衍射试验。 在电子的双缝衍射实验中，电子枪发射强电子束时，荧光屏上马上显

3、示出明暗相间的双缝衍射条纹，这是电子的波动性的表现。当电子枪发射弱电子束时，屏上接收的只是一个一个的亮点(电子)，这表达了电子的微粒性。假设对弱电子束的衍射作长时 间的曝光，那么得到的衍射把戏与强电子束的衍射把戏完全相同。实验说明，在出现亮条纹的地方，亮点较密集，电子投射的数目较多，即电子投射几率较大；而在比拟暗的地方，到达 的电子数目较少，即电子投射的几率较小。电子在衍射实验中所揭示的波动性质，可看成是大量电子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个电子在屡次相同实验中显示的统计结果。因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点。据此，德国物理学家玻恩在1924年提出了波函数的

4、统计解释：空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的小体积元d- = dxdydz,即|収r,t )|2 d -表示在t时刻在r点附近d -小体积元内找到粒子的几率。这表示，描写粒子的波是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物理量。波函数的统计解释是波函数的一个重要性质。在经典物理中，一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。在量子力学中，波函数一般必须用复数表示，有物理意义的既不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值的平方|収r, t )|2，它表示粒子在空间 r点附近单位体积内出现的几率称为几率 密度，通常用 w(r,t)表示，

5、而 书叫几率振幅，或几率幅。练习1:设粒子波函数为' x, y,z，求在xx dx范围内发现粒子的几率。解：由波函数的统计解释可知：2p | d .代表在x > x dx, y > y dy,z > z dz范围内发现粒子的几率，那么在x. x dx范围内不管y , z取何值的几率为|2 dydz dx.练习2：设在球坐标中，粒子波函数为r, 求：1在球壳r,r dr 中找到粒子的几率，2在方向的立体角 小中找到粒子的几率。解：在球坐标中，体积元的形式为d 二 r2dr sin 闵诃 ，1在球壳r,r dr中发现粒子的几率为2 二二.r, Msir2dr2在兀方向的立

6、体角中找到粒子的几率为O0.r |2r2drd1 ,0其中 d1=sin d d .3. 波函数的归一化量子力学第一根本假设告诉我们，|2与i2描写同一微观状态，这是因为 c 2和P |2表示的几率分布是一样的。比方粒子出现在空间彳与D两点的相对概率可表示成：|C ntj二 GtJ 。这说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布。这与经|C即并M典波声波、光波等完全不一样，经典波的振幅增加一倍，那么其波动能量增加为原来的四倍，为两种完全不同的态。既然 r ,t |2 d 表示t时刻，r点附近d.体积元发现粒子的几率，而非相对论下，实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现， 那么对一个粒子

7、而言， 它在整个空间出现的几率为1数学上表示为：(1)2.1(r,t)| d =1.0这称为波函数的归一化条件，满足上式的波函数 r ,t称为归一化的波函数。为方便引入符号QO那么归一化条件可简写为：:'21或V 21。由于与描写同一量子状态，所以描写同一量子状态的波函数形式不是唯一的,般情况下，我们都是选取归一化了的波函数来讨论问题，对不是归一化的波函数门-&：，通常需要把波函数归一化，即要求C'满足下面条件:|C'T2 d =1,(3)O0式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分。由3式有|C|2=N I2 小 *0(4)C称为归一化常数，其解具有不确定性

8、，可以是正负实数，也可是复数。如考虑一个常数ei;-2二CeL 2, eL'-称为相因子。由此可见，归一化后的波函数可以含有一任意相因子，仍然不是完全确定的， 为了方便，一般规定归一化常数 C取正实数，不讨论相因子6 =0,这样归一化的波函数不会有相因子的不确定性。6为实常数，因为|尹广=1，贝U C例 假设粒子在一维空间中运动，描写它的波函数为- W.'-x,t=Ae22 ,A为任意常数。式中：和为常数, 求：123归一化波函数；粒子坐标的几率密度分布；粒子在何处出现的几率最大。解：1在一维空间中，归一化条件为2.(X,t) dx =1 ,于是有所以严 2 22e"

9、dx = 2 A_oQ2= 2|A|归一化的波函数为屮x,t=12e2粒子坐标的几率密度分布为3根据求最大值的条件，令00 2 2ex dxow(x)斗- (x,t) I2 二-5e*2dw(x)小0 ,dx那么有2 a “2 x2-2 a xe 0 ,可得x = 0 ,即在x =0处粒子出现的几率最大。并不是所有的波函数都可以按1式或3式进行归一化。这种归一化条件要求波函 数绝对值平方在整个空间是可以积分的，如果这个积分是发散的， 那么不能使用上述归一化条件。关于这类波函数如何归一化，以后遇到再介绍。4.自由粒子运动的波函数一一平面波自由粒子不受外场的作用，其能量E和动量P均不随时间变化。由

10、德布罗意关系知道,与自由粒子相联系的德布罗意波，它的频率和波长都不变，数学上称为平面波。角频率为 ，波长为，沿x轴正向传播的平面波可表示为：y 二 Acoskx-珂,52兀式中k。有时为了数学上的方便，也用复数形式表示：y二人严亠,66式中有物理意义的是其实部。在量子力学中波函数一般取复数形式，所以描写一维自 由粒子的平面波波函数取为：Pe将德布罗意关系k = p，二j代入7式，得到具有确定动量 Px的一维平面波波函数:nnPxX上t' pxx,tAe，将8式推广至三维情况，具有确定动量p的自由粒子波函数为i » p.r_Et' p r,t二 Ae ，在某一时刻，如t

11、 =0,具有确定动量 p的平面波函数表示为iprp (r)二 Ae .(9)(10)微观粒子的量子状态用波函数来描述,这与经典力学的描述方法完全不同。在经典力学中，粒子的坐标和动量有完全确定的数值,并且一旦给定某一时刻粒子的坐标和动量,不但§ 2.2态的叠加原理可确定该时刻粒子的状态，而且可以确定以后任何时刻粒子的状态。而在量子力学中，粒子的力学量如坐标、动量等一般可以有许多可能值，这些可能值各自以一定的几率出现。量子力学与经典力学的这种差异来源于微观粒子的波粒二象性，这种性质由波函数的统计解释来表现，还可通过态叠加原理表现出来。1. 态的叠加原理假设体系具有一系列不同的可能状态屮匕

12、，屮2,，屮n，,那么这些不同的可能状态的线性叠加态=7= *叨2 川C0n 川='、CnS G为复常数,也是该体系的一个可能n的状态。态叠加原理是量子力学的一个根本假设，无法从更根本的概念把它推导出来，它的正确性由实验来验证。2. 量子力学对态叠加原理的解释设体系有两个可能的状态和2。当在一：1状态下，无论何时测量体系的某物理量G 如能量时，都有一个确定值g1 ；当在2状态下，无论何时测量某物理量G，都有一个确定值g2。根据态叠加原理，：二昭 V 也是体系可能的状态，那么在屮态下测量力学量G ,能得到什么样的结果呢 ？量子力学告诉我们，在'态下测量力学量 G ,每次测得 的结

13、果是不确定的，即可能是g1,也可能是g2 ,但不会是另外的值，而测得g1及g2的相对概 率是确定的。从数学上讲，态的叠加原理就是几个函数相加等于另一个函数，没有新的物理意义.从经典物理角度来看，量子力学对叠加原理的解释是不可理解的。量子力学认为当粒子处于叠加 态'时,粒子既处在'-1态,又处在2态,只有这样理解，才能够解释为什么在叠加态下测量力学量G有时测到g ,而有时测到g2这种事实。叠加原理的正确性是通过实验事实验证 了的。3. 任意波函数的平面波展开在经典力学中，任何复杂波都可以看成是许多频率不同的简谐波叠加而成在量子力学中,波函数也有类似的特点，根据叠加原理，任意一个波

14、函数' (r,t)都可以看成是各种不同动量的单色平面波的叠加.以一个确定的动量 p运动的粒子的波函数为一个平面波，其波函数为'(p.r_Et)' p (r ,t)=Ae .( 1)任意波函数(r,t)可按上述平面波展开：' (r,t)八 c( p) p(r,t)p考虑到动量p可以连续变化，求和应改为积分：' (r,t)二c(p)'- p(r,t)dp1 p r . Et 二 A ；c(p)e e " dp(3)be7 P.r二 A_c(p,t)edp ，oO上式中采用了记号c( p,t) =c( p)e * .取归一化常数A =(2 十

15、)21乂. p.r' (r,t)二3 . ：_c(p,t)e dp. (2 二护(4)(4)式表示任意波函数(r,t)可以看成是将具有任意动量值p的平面波叠加在一起，在数学上就是匸(r,t)的傅立叶展开。4.动量表象中的波函数(4)式的逆变换为1： ：- p.rc( P,t)二3(r,t)e dr，(2对尸(5)(4 )、( 5 )两式互为傅氏变换，由此可见， (r ,t)和c( p,t)是对应的：-(r ,t), c( p,t)就完全确定了反之亦然。既然 (r,t)是完全描述粒子状态的波函数，因此c( p,t)也可以用来完全地描述粒子的状态。它们是同一个状态的两种不同的描述方式。两者

16、的区别在于：(r,t)是以坐标为自变量，称为坐标表象的波函数；c( p,t)是以动量为自变量，称为动量表象的波函数。由波函数的统计解释：(r,t) I2 dxdydz表示t时刻，r点附近d .体积范围内找到粒2子的几率，那么c( p,t)dpxdpydpz表示t时刻,粒子动量取值在Px L Px dx,PyLPy，dy,彼LPzdz范围的几率。相应的，(r,t)|2表示t时刻，r2点附近单位体积内找到粒子的几率，而c( p,t)表示t时刻，动量为p的粒子概率。|屮(r ,t)2和c( p,t/分别称为坐标几率密度和动量几率密度。一般在量子力学中讨论坐标几率密度分布与动量几率密度分布，我们只讨论

17、一维情况，即1；px' (x,t)1 c(p,t)e dp,(6)(2 吋/ "1说-J-pxc(p,t)二 j(x,t)e" dx.(7)假设仅考虑在某一时刻粒子的两表象波函数的关系，在(6)、( 7)式中取t = 0，那么有1七C px' (x)；c(p)e dp，(8)(2二胪1 pxc( p)一一-(x)e dx.( 9)(2兀方)2例一维运动的粒子处在3，-(x)二 2'2xe'x,x-0 ;(0,x v 0的状态，其中0。求：(1 )粒子在动量表象中的波函数，(2 )粒子坐标几率密度分布，(3)粒子动量几率密度分布。解：(1)将(

18、x)带入(9)式后做分部积分，便有1c( P，t)1(2二拧0：xe 严dx(2)粒子坐标几率密度分布为ri 2P2(Tp(护(x) |2h*(x)'-(X)十(x)2二 4 3x2e，x(3)粒子动量几率密度分布为*I c( p) | -c (p)c(p)=(1P、2P、22灯3二(节 P2)2.§ 2.3薛定谔方程在经典力学中，体系运动状态用坐标和动量描述，它们满足牛顿方程， 如果知道初始条件，由牛顿方程可求出体系在其后任何时刻的运动状态。在量子力学中，由量子力学第一基本假设(波函数假设)可知，体系的运动状态由波函数*(r,t)来完全描述，(r ,t)如何随时间演化？它满

19、足什么样的运动方程呢？为答复这一问题，我们给出量子力学第二根本假 设，即薛定谔方程假设：体系的状态波函数<(r ,t)满足薛定谔方程W r ,t),(1)其中R为体系的哈密顿(Hamilton )算符。对于薛定谔方程应注意如下几点： 薛定谔方程是1926年由薛定谔提出来的，它是量子力学的一个根本假设，不能从理论上推导出来，它的合理性已由实验所验证。薛定谔方程既然描述波函数' (r, t)随时间t的演化规律，就必然含项，但不含亠三:t: t21.项,否那么要用两个初始条件(r,0)及：八(rhr才能确定(r,t),这就意味着体系的 ct-初始状态不能由波函数(r ,0)完全描述,违

20、反了波函数完全描述量子状态的根本假设。薛定谔方程是虚数域上的方程，所以* (r,t)一般表述为虚数。薛定谔方程适用于非相对论粒子。当力 0时，它能过渡到经典牛顿方程。下面我们来讨论几种情况下的薛定谔方程。自由粒子的薛定谔方程一个自由粒子不受势场作用，其波函数为平面波：；(P r_Et)- (r ,t) = Ae"(2 )式是自由粒子薛定谔方程的解，两端对时间求一阶偏导数，可得d ；:,-'(r,t),.iE (r,t)，由(3)式可以看出，粒子能量E与下面作用在波函数上的算符相当:ct(3)(4)称为能量算符。再求(2)式两端分别对坐标 x,y,z的二阶偏导数：(-曲Jex(

21、训2 ；：2 -'(-请)2将、(6)、(7)式相加，得-2-2(-i 方)2(+= +excycz-2(8)算符=ex-2 - 2 - 22222，且 P = P Px :y'zP22Pz ，-2)'(r,t) =(Px2Py2Pz2)- (r,t)所以(8)式可写为(9)(_清)2 2'- (r,t)工 p2- (r,t).由(9)式可以看出，粒子的动量 p与下面作用在波函数上的算符相对应:称为动量算符，其三个分量式为？x = 厶,?y = -i对于自由粒子，能量与动量的关系满足(11)为粒子的质量。(11)式两边同乘-(r, t)，得2(12)E屮(r ,

22、t)=屮(r,t).将(4)、( 10)两式代入(12)式可得请葺卫_£宀(r,t)，(13)这便是自由粒子的薛定谔方程。2匸，自由粒子势能为零,2考虑到自由粒子的动能 T二 ，可引入动能算符2卩其总能量就是它的动能，即 H =T ，H为经典力学中的哈密顿量。由此引入哈密顿算符:4仁_尹厂，那么(13)式可表示为:(14)2.势场中粒子的薛定谔方程势场中运动的粒子，其总能量为动能与势能之和.设粒子在势场中的势能为u(r)， 那么粒子的能量和动量关系式为2E 访 U(r)( 15)上式两边同乘屮(r,t)，并以(4)、( 10)两式代入，可得2i(r,t)=2 U(r)'- (

23、r,t)，(-t2该式即为势场中运动粒子的薛定谔方程。2此种情况下，H =比 U(r)，相应的哈密顿算符为2卩H?2 Ur， 172A代入16式得ir,t = H? r,t . 18t对于不同的运动粒子，方程中的H?具有不同的形式。方程18称为含时薛定谔方程。3.多粒子体系的薛定谔方程N个粒子的体系，其坐标分别为 匚2川5，体系总波函数为匚，2,川5的函数,即*二ri,r2 JIIrN ,t，体系总能量为E =T U，即2PiUr,r2川口.19N体系势能U包括N个粒子在外场中的势能V U ri与粒子间的相互作用能i TVri ,2川1山。上式两边同乘波函数r1 ,r2rN ,t，并作代换l?

24、=i ，Pi = -旅，.t那么得QN峦2irj，Tn ,t=i2 Uri,r2，m - n ,e，g ,t. 20-ti 二 2 i这便是多粒子体系的薛定谔方程，按照前述规那么，体系的哈密顿算符为N护H?i2 U斤,艰川,m.21i* 2J练习：写出氦原子核带有 +2e电荷中的两电子体系的哈密顿算符及相应的薛定谔方程。 解：由21式，该体系的哈密顿算符为H?：.J_务 e -i 壬 2叫 4二；° y 斤 4二；o | - a |相应的薛定谔方程为i环Tt二 H?'-百，r2,t.-t4. 算符小结这里我们对前面给出的算符形式作个小结。能量算符：律.动量算符：? = -i方

25、y ,其分量px =， 0=一请£，直=一请£.excycz动能算符：T?A2卩势能算符：U?(r) =U( r).哈密顿算符:H? =T? U(r)2 U(r).2P能量算符与哈密顿算符是有区别的，当u不含时时，H?与E?一致，也可以叫能量算符。2 2对于自由粒子U r=0，所以有H?。2卩§ 2.4定态与定态薛定谔方程含时薛定谔方程反映了波函数如何随时间演化问题。此波函数是普遍的，可以描写任意量子态。这些量子态中包括能量本征态能量具有确定值状态，动量本征态动量具有确定值状态，能量叠加态能量无确定值状态等。本节我们讨论一种特殊而常见的状态， 即定态；给出定态波函

26、数的形式及其所满足的运动方程一一定态薛定谔方程。1.定态假设势场U r不显含时间t,那么每次测量体系的能量时均有确定值，体系所处的这种状态称为定态。定态时，体系的波函数及薛定谔方程有什么样的数学形式呢?2.定态薛定谔方程U r不含时时，含时薛定谔方程为2ir ,t=2 U r r ,t. 1-t2 -设方程的特解为' r,trft，2代入1式，经别离变量可得如下两个方程-：t(3)方程(3)的解是(5)J Etf (t) =Ce ,将(5)式代入(2 )式，并将常数C归入r)内，那么有二 Et' (r,t)= - (r)e ,(6)式中，E是体系处于这个波函数所描写的状态时的能

27、量。由此可见，体系处于定态时，能 量具有确定值。描写该状态的波函数(6)式称为定态波函数。引入哈密顿算符2 2R2 U(r),2卩(4 )式可写为r? (r )= E (r).( 7)该方程不含时间t，称为定态薛定谔方程。 这种类型的方程称为本征值方程，E称为算符H?的本征值(即能量本征值)称为算符H?的本征函数，它所描述的状态称为本征态。练习i自由粒子的单色平面波是否处于定态？答：自由粒子无外场作用处于定态，其波函数形式为ii(p r -Et)Et(r ,t)二 Ae(r)e .练习2几个不同单色平面波的叠加态是否为定态？答：不是，因为能量不确定。叠加态的波函数为' (r，t)二 C

28、j pi(r,t) Cp2'- p2(r,t) III4 Ep t4 Ep tPi()訂 p 1 - p2(r)p2 Jl| .练习3两个沿相反方向传播的具有相同能量(同色)的平面波叠加态是否为定态？答：以上平面波叠加以后形成驻波，处于定态。假设所讨论体系所处外场 U(r)不显含时间，即为定态问题。这时求体系的波函数' (r,t)及与此定态相对应的能量 E，就归结为解定态薛定谔方程(7)，求出'(r)和E。函数* (r)求出后乘上时间因子 e=戶，即为定态波函数。有时为了方便，也称(r)为波函数。En表示体系般来说，方程(7)的解不唯一，即可能的态和可能的能量不只一个，

29、以能量算符的第n个本征值，' n(r)是与En相应的波函数，那么相应能量本征值方程为(8)体系第n个定态波函数是' n(r,t) = n(r)e下和.含时薛定谔方程的通解，可写为这些定态波函数的线性叠加(9)' (r,t)二為 q? n(r,t)二為 q? n(r)e? nnn(10)t时的波函数。设定态波函数在定态问题中，假设波函数初始值，那么可确定任意时刻Et为 (r,t) "r)eh ，'-: (r)为任意时刻波函数的坐标局部。当t = 0时，-：(r,0)(r)。在定态下，坐标几率密度分布不随时间变化，即(r,0) I2(r,t)|2=： (r

30、) |2，那么i Et' (r ,t)( r ,0)i ，(11)可见U (r)不含时时，知道初始时刻的波函数,乘上时间因子后就是t时刻的波函数。练习1一维自由粒子在初始时刻的波函数为' (x,0)",求其在任意时刻的波函数' (x,t)。解：自由粒子U(r)=0, U不显含时间t，属定态问题。由(11)式:-J-Et' (r ,t) - (r,0)e，2E亠2m2_ P02m，. 2i P0 t 入2m式中Po为初始时刻动量，所以ipx(r,t)re e(2兀血2练习2设一非定态波函数在t = 0时为' (r,0) y Ei(r) C2- E

31、2(r),求任意时刻该波函数的形式(r ,t)。解：任意时刻该波函数的形式为' (r,t) J e,r,t)'飞(r,t).Eit.E?t= '-e1( r ,0)e：'-2 (r ,0)e：E1tE2te,r)e "c e2(r)e '.练习3当体系势能改变一常数，粒子的能量本征函数是否改变？能量本征值是否改变？解：设哈密顿算符H?0的本征方程为H>n(r) = En(r)，当体系势能平移 一u0时，即H? = R0 _u0,那么H?满足的本征值方程为H?- n(r)皿0 U。)- n(r) =(E： U。)- n(r)，所以H?与H?

32、0的本征波函数是一样的，而H?的本征值变为e0 _u0。§ 2.5几率流密度与几率守恒定律体系波函数随时间的变化规律满足薛定谔方程，而本身无经典物理意义，有物理意义的是|2=w( r,t)，称之为几率密度。那么一个在势场 U (r)中运动的粒子，它的几率密 度随时间的变化满足什么样的方程呢？下面就这一问题进行讨论。1.几率守恒定律设描写体系状态的波函数为(r,t)，那么在时刻t在r点附近单位体积内粒子出现的几率(即坐标几率)是(1)w(r,t)(r,t)广=*(r,t)' (r,t)，w随时间的变化率是iw _ 叮-，:*二；:t；:t；:t由薛定谔方程(§2.5节

33、(16)式)可得-：t(3)3式中，我们假定 U r不含时，并且为实数，即 U =：U 在量子力学中，如不做特别声明，都假定U取实数，那么上式的复共轭方程为丄i2*1*U r- . 4过2询将3、 4式代入2式中，得史=也：、22 *厲2也屮*0屮屮N屮* 52 Ji2(6)那么5式可写成co.:t_J = 0.此方程是经典物理中的连续性方程，量子力学称之为几率守恒定律微分式7，也叫粒子数守恒定律。在方程7中，W代表几率密度，而按照连续性方程， 叫做几率流密度。为了进一步说明 7式的意义，我们将 得J应具有流密度的含义，所以7式对空间任意体积V求积分©wd 二- '、LJ d

34、 -,( 8)VV8 式可进一步写为wd：tv=-Q4Jds .s(9)V中增加的几率，等于从体9式也称为几率守恒定律的积分式，它表示单位时间内体积 积V外部穿过V的边界面s而流进V内的几率。而矢量 J的大小表示单位时间内流过垂直 于流动方向单位面积的几率， 其方向为该点几率流动的方向。 几率为什么会流动呢？在外场U r的作用下，粒子在 r处出现的几率密度 W可能会随时间变化，有的地方密度增加了， 有的地方密度减少了非相对论粒子既不产生，也不湮灭，总数目不变，这说明几率在流动。练习：假设波函数r,t与坐标有关的局部是实数，证明几率流密度等于零。证明：*为实数波函数，即 ；：丁 ,由6式可得J

35、= 0，即实数波函数的几率流密度为零。将(9)式的积分区域 V扩展到整个空间，这时 S界面之外的几率为零，那么有d 2T d . =0 ,( 10)dt:;这说明2-j 庆二常数。(11)oO即对一个粒子来说，在全空间发现该粒子的几率与时间无关，为常数；但是在有效体积 V内找到粒子的几率与时间有关。初始时刻，如果'为归一化的，那么在以后任意时刻t, t总是归一化的，在全空间内找到粒子的总概率是1。对非相对论实物粒子，无产生、湮灭现象，几率守恒即相当于粒子总数守恒。2 波函数的标准条件粒子的状态可以用波函数完全描述。那么怎样的函数才能作为波函数，或者说数学上要求波函数满足哪些条件呢？(1

36、) 单值性2' (r ,t)代表粒子的几率密度，物理上要求它是单值的。 这样r ,t)不一定是单值的，但只要(r,t)是r , t的单值函数，j连续性由于 w及J应当连续，且定态薛定谔方程包含' (r,t)对坐标的二阶导数，因此要求' (r ,t)及其对坐标的一阶导数连续。当势能跃变为有限值时，上述性质依然成立；当势能跃变为无限值时，''不连续，波函数的连续性意味着0，所以一个粒子不可能进入U -：:的空间。 有限性(平方可积性)这是说粒子在有限的空间范围内出现的几率有限，即2卜|二有限值.V以上三个条件称为波函数的标准条件。这些条件在求解量子力学问题中

37、具有重要的作 用。实际上在势能间断点处边界条件的实质是，要求几率密度连续和几率流密度连续。在多数情况下，这种要求可以简化为波函数连续和其一阶导数连续。在特殊情况下(如U =二),其波函数一阶导数不连续，但其几率流密度却是连续的。定态波函数的一阶导数在势能存在 无穷大时是不连续的，这可以分为三种情况： .U连续或不连续，波函数及其一阶导数连续；就是单值的，这就是波函数单值性的含义。 .U趋向无穷大一阶，波函数连续，其一阶导数不连续； .U趋向无穷大二阶以上，波函数不连续，其一阶导数不连续。§ 2.6定态问题之一维无限深势阱求解薛定谔方程是量子力学的核心任务。从本节起，我们将讨论在几种不

38、同势场下定 态薛定谔方程的求解问题。我们只研究较为简单的一维情况，首先讨论一维无限深势阱问 题。如图2-1所示，对称势场(1)a|x|_a0图2-1一维无限深势阱称为一维无限深势阱。它是一种最简单的势形式，金属中自由电子的运动就可以简化为在该 势场中的运动。在势阱内，体系满足的定态薛定谔方程为扩 d2- X 厂dx2=E (x)| x p： a .在阱外，定态薛定谔方程形式为方2 d2- (x)F dx2U? (x)(x)|x|_a，(3)式中U°r。由波函数的连续性和有限性条件，粒子进不到势场为8的区域，即将2式变形，得'-(x)=0,|x|_a.d22lE.2'

39、(x) 厂-(x)=0.dx(4)(5)由能量动量关系式2E二p2及德布罗意关系式 p2二方2k2，得k2代入5式，方程变为d 勺 x+k划x=0, |x|ca.7dx其解为'- x=C|Sinkx c2,|x|：a.8在边界处由4式得G sin-ka g =0,Gsinka =0.即-ka C2 =i二，i =0,_1,_2川；9ka C2 = j二，j =0, _1, _2|l .10将上面两式相减，得2ka = j -i 二-n二.11式中，取n =1,2,3 "I。当n=0时，k=0，E=0，粒子能量恒为零，没有物理意义。当n为负数时，不给出新的解。将11式两边平方后

40、代入6式，得到体系的能量为n2算2方2En盯，n =1,2,311. 128 "aEn代表体系的能量本征值，n为量子数。对于量子数 n的全部可能值，有无限多个能量值，因而能量是分立的，它们构成体系的分立能级，又称为能量量子化。将9、 10式联立，确定出 c2，并与En 一同代入到8式，根据波函数的归一 化条件，并考虑到4式，可得体系的波函数为1n 二' nx sin x a,|x|：a ;Ta2a 13yx=0,|x庄 a .n x称为体系的能量本征函数。下面对解的物理意义作几点讨论： 束缚态与分立能级。由13式可见，粒子被束缚在-a ： x ： a的区域内，不可能进入无穷远

41、处。这种粒子的运动被限制在一定空间范围内的状态称为束缚态。一般的，束缚态的能量只能取分立值,称为分立能级见12式。 基态。体系能量最低的状态称为基态。一维无限深势阱中粒子的基态是n =1的本征兀2舟2态，其本征能量为 巳，这是与经典粒子的一个本质区别，是微观粒子波动性的8也2表现。在经典物理中，粒子的能量可以为零，即有静止的粒子；而在量子力学中，没有能量 为零的波，也即没有静止的粒子。 激发态。n 1的状态称为激发态。激发态的能级与量子数的平方成正比，能级分布 不均匀；当量子数很大时，能级可以看作是连续的，量子效应消失而过渡到经典情况。4图2-2给出一维无限深势阱中粒子的前四个能量本征函数，由

42、图可看出，*n有n-1个节点。J/>oa "a w-aa a aa图2-2.一维无限深势阱的能量本征函数 阱内驻波。假设阱内为驻波那么此波在-a与a处为节点处，即尹2a,心23山.将实物粒子波二一 -r代入上式，并平方得pJE体系可能的能量为 E - En -2 2n -8耳2 ，n =1,231丨，这与12式完全相同，说明粒子完全n2 h2束缚在阱内，形成驻波。 对称势阱中波函数的宇称。波函数在空间反演(r?-r)下的奇偶性称为宇称。假设' ( -r) =-: (r)，称为偶宇称态；假设- (-r) = - (r)，称为奇宇称态。对于能量本征函数m1n兀mn兀 n (

43、x) sin (x a)，当n为奇数时，可化为 n(x)二Acos( x)，那么有Ja2a2atn(-X)J：n(X)，是偶宇称态；当 n 为偶数时，t n(X)二 Bsin( X)，即t n(-x =(n)X，2a是奇宇称态。练习1在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U (_x)二U (x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。练习2：一粒子在一维势阱L , a° , |XK-，U(x)才2旳，|xj ,中运动，求其能量本征值 En及能量本征函数n . 阱内粒子的第n个定态波函数为- n(x,t)二 n(x)e ： “ 二 丄 sin J (x a)e I( 14)、a 2a&

44、#167; 2.7定态问题之一维线性谐振子在经典力学中，质量为的粒子受到弹力F二- kx作用时，其势能为11U kxX，粒子将作简谐振动，其振动方程为x = As in (；rt：；)，其中A为振22幅， 为振动角频率，为初相。在量子力学中，也把在势场U =丄kx?X中运动2 2的微观粒子称为一维线性谐振子，其势能曲线为一抛物线，如图2-3所示。讨论线性谐振子问题具有非常重要的意义。许多微观体系的运动可以近似地看成是平衡位置的线性谐振子运动，如原子核内核子的简谐振动，原子和分子的简谐振动等等。而许多复杂的微观运动也可以看成许多线性谐振子简谐振动的叠加。下面我们就来解量子力学中的线性谐振子问题，

45、即求体系的能级和波函数。图2-3线性谐振子的势能曲线体系的定态薛定谔方程为H?(1)线性谐振子的哈密顿算符为H? =T? LP 二2上式中，仁一门2为动能算符，皿亠为势能算符为坐标位置算符。于是,方程1可写成(x)(-丄.22X2 _ E)(x) = 0(3)为了方便引入变量利用dx ddxd'-及三X,ot =2笃，并引入参数d(4)(5)方程3可化为亡® ( - 2)'( )=0.(6)2E屉，方程在区间的解。当 二:：时，方程6 可写为6是变系数二阶常微分方程。可先求出方程在一=：时的渐进解，然后再求方程它的解是-=e2，根据波函数的标准条件，当 j 心时匸为有

46、限，所以取2 -=e2。于是可写成如下形式2:o=e2H， 8式中，待求函数 HJ在为有限时应是有限的，而当一；，：时，H的行为也必须保证为有限。将8式代入方程6 中，得到H满足的方程d2H()( -1)H( ) =0.(9)可以证明，只有当=2n 1,n = 0,1,2 |(10)时，方程9才有一个多项式解，保证满足波函数的标准条件。将10式代入5式得1En =n h ,n 二 0,1,2.112这是一维线性谐振子的能量本征值。对于不同的En，方程9有不同的解H，它可用以下微分式表示:Hn 施HnC) = (-1)n edne，(12)称为厄密Hermitian 多项式。它满足如下递推关系d

47、Hn()d= 2nHn-1()，(13)Hn1 -2 Hn 2n Hn=0. 14F面列出前面几个厄密多项式泊0(1，1(令=2H2(J=4t2-2,JH3(E) =8少-12匚(佝由8式，对应于能量 En的波函数是- n( )=2出(対 ，- n(X)=恥叫(：畑/"其中，Nn是归一化常数，由波函数的归一化条件可定出Nnot2nn!.二(17)线性谐振子前面几个波函数为屮 0(X)=12 2pax屮1(x)=2a廿xe屮2(x)=J茁(2a x -1)e 2- 3(x)二a3.2(18)第n个定态波函数形式为丿授x2- n(x,t)二 NnHn(2x)e2- e下面对解的情况作几点

48、讨论：由于线性谐振子的势能在 X;：时,n =0,1,21山(19)趋于无穷大，那么粒子不能运动到无限远处， 处于束缚态，这与一维无限深势阱中的粒子情况相同。所以其能量也取分立值：1En =(n)方，能量是量子化的(图 2-4 )。21 谐振子的基态能量 Eo，称为零点能，与经典力学不同，量子力学中没有能2量为零、静止的波。图2-4线性谐振子的能级 谐振子相邻能级差为 AE二En勺- En二力.，是均匀分布的。线性谐振子的波函数满足关系式-：n(_X)=(-1)B n(x)，'匚n(x)的奇偶性由n决定。当n为奇数时，-：n(x)为奇宇称态，当n为偶数时，匸n(x)为偶宇称态。通常称谐

49、振子波函数' n(x)的宇称为(-1)n。谐振子的基态波函数为10(x)=相应几率密度为wo(x) W°(x)f二，这是一种正态分布，也称作高斯分布。如图2-5所示，在'-o(x)图2-5基态波函数X = 0处，几率密度最大，即找到谐振子的概率最大。但按照经典力学，谐振子在X = 0处(图中虚线局部)，势能最小，动能最大，即速度最大，所以在X = 0附近逗留时间最短，即在x = 0附近找到粒子的几率最小。这与量子力学结论相反。图2-6给出线性谐振子几率密度分布。可以看出粒子在原点出现的几率要么最大(n为偶数)，要么为0 ( n为奇数)且粒子有一定的几率出现在经典禁区内

50、(即粒子的总n增大时，几率密度分布与经能量小于势能U (x)的区域)，这是一种量子效应。当量子数典情况的相似性在增加，两种情况在平均上已相当符合，差异只在(见图 2-6(b)。(b)图2-6线性谐振子的几率密度分布以上是对一维线性谐振子的讨论，如果是二维各向同性谐振子，那么其哈密顿算符为-2 -2定态薛定谔方程为利用别离变量法，设1 2 2 2I I 222初(r+=)二皿(x +y ) 2 x ：y 2Hh(x, y) = E?(x, y),E 二 Ex Ey审(X, y)='- (x) (y)(20)(21)(22)代入21式，得到两个方程:-哄亍2皿2dx 吐 l'2y2

51、，y2dy22 y y两方程与一维线性谐振子方程形式一致，所以其解的形式也与一维形式一样，即AAEn =nx -丄方 ny 1 1 = n ， 22-ofx2 丄nnx, y = N N H ®xH ye 2 e 2，x ynx ny nxny二 Ey.(23)(24)其中几川y =0,1,2 II),n=0,1,2|).当n =0时，敗二ny=0,与能级E。对应的态匸只有一个，我们把这种情况叫做能级 无简并；当n_1时，与能级En对应的态有多个(这些态之间是线性无关的)，这种情况叫做能级简并。例如当n =1时，可以有nx =0,ny =械nx =1,ny = 0,与能级E1对应的态

52、有两个，我们称为基态能级的简并度为2,以此类推，能级 En的简并度为fn = n1。同理，三维各向同性线性谐振子其能量本征值及本征函为1113En =血卄血 -)k (n -)k = (n )/，(26)2 2 2 2、(x2 # 卡2)，-nxnynz(X, y,Z)=比乂NH .乂( ： x)Hy)HnzG z)e (27)1可以证明，第n个能级的简并度为：fn(n 1)( n 2)。2练习1：利用厄密多项式的求导关系，证明练习2：利用厄密多项式的递推关系，证明§ 2.8定态问题之一维势垒隧穿在§ 2.6，§ 2.7两节中我们分别讨论了一维无限势阱及一维线性谐振子问题，这两个 问题均属于定态问题中的束缚态问题，其条