物理解题中数学应用技术

1、m长为L的铁钉敲入木板，铁锤每次 .在每次受击进入木板的过程中， k 倍(k> 1).图 24-1归纳出位移和时间变化的通项那么:1次落地速度分别为：，Vn=( ) 09h o =5 m,小球第一次与地相碰L2 ,可以看出括号内的和为无穷等比数列的和.由等比无穷递减数列公式S = a1 得:1- qs =5 +ex7m= 20.3 m小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间:小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间为:= I + 2X 91-9例2: ()如图 于纸面的匀强磁场，一个质量为图 24-2y轴正方向做匀速直线运物理解题中的数学应用编辑 杨国兴数学作为工具学科，其思想、方法

2、和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物 理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法 为物理学的数量分析和计算提供有力工具中学物理教学大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求难点1. (1998年上海)用质量为M的铁锤沿水平方向将质量为以相同的速度Vo击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离 钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的(1) 假设敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力(2) 假设第一次敲击使钉进入木板深度为Li，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？并就你的解答

3、讨论要将钉全部敲入木板，Li必须满足的条件.2. (1999年全国)图24-1中，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外.0是MN上的一点，从0点可以向磁场区域发射电量 为+ q、质量为m速率为v的粒子.粒子射入磁场时的速度可在纸面 内向各个方向.先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到0的距离为L,不计重力及粒子间的相互作用.(1) 求所考查的粒子在磁场中的轨道半径.(2) 求这两个粒子从 0点射入磁场的时间间隔.案例探究例1 ()弹性小球自h o=5 m高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰前的

4、7/9 ,不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间命题意图：考查综合分析、归纳推理能力.B级要求.错解分析：考生不能通过对开始的几个重复的物理过程的分析， 公式致使无法对数列求和得出答案解题方法与技巧：(数列法) 设小球第一次落地时速度为V o ,v0 = 2gh0 =10 m/s那么第二，第三，第 n +7( 7)2V 1 = Vo , V2 =( ) Vo ,99小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为 到第二次与地相碰经过的路程是：(7)22()Li=2X V =2X -9vo2 =iox( 7 ) 22g2g9小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为2L2

5、=2X V2 =iox( ) 42g9由数学归纳法可知，小球第 n次到第n+i次与地相碰经过的路程为Ln:72 nLn=ioX(上)2 n9故整个过程总路程 s为：s = h + ( L i + L2+ Ln)=5+ 10 (- ) 2+( - ) " + +( - ) 2n999t i=2X 1 =2X sg97 n同理可得：tn=2X( ) S9t = t o + t i + t 2+ t n7727= i + 2x ( ) + ( )+() ns9997(i + 7)s = 8s .24-2所示，y轴右方向有方向垂直m电量为q的质子以速度v水平向右通过x轴上P点，最后从y轴上的

6、M点射出磁场.M点到原点O的距离为H,质子射出磁场时速度方向与y轴负方向夹角0 =3。°,求:(1) 磁感应强度大小和方向.(2) 适当时候，在y轴右方再加一个匀强电场就可以使质子最终能沿动.从质子经过P点开始计时，再经多长时间加这个匀强电场？电场强度多大？方向如何？命题意图：依质子在复合场中运动为背景，设置命题，考查综合运用数学知识解决物理问题的 能力.B级要求.错解分析：考生无法运用几何关系来确定带电粒子匀速圆周运动的圆心位置，进而没能据几何关系求出半径，无法画出所求示意图，致使无法对整个物理过程作深刻的分析求解解题方法与技巧：(1)先找圆心.过M点和P点的切线作垂线，其交点即为

7、粒子做匀速圆周运动的圆心 O',那么由几何关系，设粒子运动半径为r，有：2r+r cos 60° =日，得 r = H3亠mv r mv 3mv 亠宀丰士十宀中又由r=, B=，万向垂直于纸面向里 .qB qr 2Hq(2)沿y轴正方向做匀速直线运动，说明vo应沿+ y方向，由左手定那么，F洛水平向左(沿一x方向)那么qE应水平向右(沿+ x方向).这样y方向不受力，粒子做匀速直线运动，满足E = Bv,凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变 化.

8、该类问题求解的根本思路为：(1) 逐个分析开始的几个物理过程(2) 利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题；无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列，有相应的公式可用4圆的知识应用1所以应从P点经一 T时加这个匀强电场，其场强E周期T = 2 m =qB4H3v经t=1T=二H43vv44兀H3mv2E = Bv=3T2Hq锦囊妙计、高考命题特点与圆有关的几何知识在物理解题中力学局部和电学局部均有应用，尤其带电粒子在匀强磁场中做圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半径确实定上，其方法有以下几种：(1)依切线的性质定理确定：从已

9、给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解 再次复原为物理结论的过程 二、数学知识与方法物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何 (图形辅助)法、图象法、微元法等1. 方程法物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理根本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的列方程组解题的步骤(1) 弄清研究对象

10、，理清物理过程和状态，建立物理模型(2) 按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架(3) 据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体(4) 对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验2. 比例法比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每 个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立同时要注意以下几点：(1) 比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个讨论某两个量比例关系时要注意

11、只有其他量为常量时才能成比例(2) 比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R= U认定为电阻与电压成正比)I(3) 比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量，U 2如果该条件不成立，比例也不能成立(例在串联电路中，不能认为 P = U 中，P与R成反比，因R为R变化的同时，U随之变化而并非常量)3数列法(2)依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径：如图 24-3由 BE = CEXED

12、= CEX(2 R CE )2得r=里+ CE 2CE 2也可用勾股定理得到：O B2=( O C CE) 2+ E B, R=( R- CE) 2+ E B22得, R=里 + CE.2CE 2此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中歼灭难点训练1. ()如图24-4所示，三块完全相同的木块，紧挨着固定在水 平地面上，一颗水平飞来的子弹穿过三块木块后速度恰好恒定，子弹所受阻力恒定假设以t 1、t 2、t 3分别表示穿过第1、2、3块木块所用的时间，那么 t 1 : t 2 : t 3的比值为A 1：2：3B,3 :2 : 1(. 2 1)：1D 3：2：124-5所示，两光

13、滑斜面的总长度相等，高度 也相等，两球由静止从顶端下滑，假设球在图上转折点无能量损失，那么有A. 两球同时落地B. b球先落地C两球落地时速率相等D. a球先落地3. ()(比例法)如图24-6所示，光滑的半球形物体固定在水平地 面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力 T的大小变情况是A.N变大，T变小C. N变小，T先变小后变大图 24-4C2BN变小，T变大D.N不变，T变小v 1= 2aL(上54. ()当交叉路口的绿信号灯开亮时，一

14、辆轿车以2 m/s 2的恒定加速度由静止开行，同一时刻，有一辆货车以 10 m/s2的恒定速度从它旁边开过(不计车身长).求轿车追上货车前何时两车相距最远？4 . v'1ViLi =5 2a物体第二次碰撞前后速度及反弹路程分别为：5. ()如图 24-7所示，小球从长为L的光滑斜面顶 端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回，假设每次与挡板碰 撞后的速度大小为碰撞前的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，物体一共通过的路程图 24-7V2= . 2aL1 =度及反弹路程分别为Ln'= vn'22a4 2aL1vn= 2aLn_1,4vv2= v 25=(-)

15、n i、2aL vn5.L22V22a=(-)4 L.物体第n次碰撞前后的速54Vn56. ()如图 24-8所示，离子枪射出方向为长度d的平行金属板MN和PQ之间的中线，离子枪距金属板水平距离为d，整个装置处在磁感应强度为B的方向向里的匀强磁场之中，初速为零的负离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪 T中水平射入磁场.(不考虑重力作用)求：离子荷质比 m (q、m分别是离子的电量与质量)在什么范围内，离子才能打在金属板上？(-)2nL5物体n+1次碰撞挡板时所经历的总路程：s n+i = L+2 Li + 2 L2 + +2 Ln4 24442n=L+2 () L+( ) L+( ) L5

16、 55442n=L+2 &5-4 21-(-)252n参考答案:难点图 24-8当n趋于无限大时,2 2 2/、M 2v0 (1 + k + k2)1. (1) 0 2(ML 1lg1-jy6.289B2d25S+1 = 4 -L,所以物体最终停在斜面底端时通过的总路程为49/32UW 25B2d2m)Lk2,Li>(1- ) Lk丄 4m一 t=arccos()qB2mvqBLr mv2. (1) R=(2)qB歼灭难点训练1. C2. 此题根据机械能守恒定律，判断选项C是正确的比拟容易，但其他三项用公式计算方法来求解是比拟复杂的.以下用图象法来讨论.如图24' -1所

17、示，因为a、b两球运动的路程相同，所以，两条运动折 线与横坐标所围的面积相等.末速度的大小相同，为.2gh ,两条折线的顶点 一样高.加速度开始b比a大，在转折点时b比a大，最后两个小球的速度大 小要相等，所以，b球的折线始终在a球折线的上面，要使两个折线所围的面积相 等，必须t b V t a ,得答案B.3. D 4.5 s5. 物体在斜面上下滑和反弹而回的加速度相等，设为a.物体第一次碰撞前后速度及反弹路程分别为：力、电综合问题思路分析编辑 杨国兴综合能力测试就其试题结构而言，首先是学科内的综合考查其次是学科间的综合以力、电知识为载体的综合命题是科内综合的主要形式之一考生在力、电综合题的

18、解答过程中，出现的失误突出表现为：(1)不能对带电体进行全面的受力情况分析，常出现漏力的情况，导致错误(2)面对带电粒子在复合场中的运动，不能具体问题具体分析，受思维定势的影响，生搬硬套重力场中物体运动的规律导致错误( 3)对力学中规律(牛顿第二定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律等)在场中的适用性感到困惑，不能据带电粒子 的受力及运动情况灵活选择力学规律求解难点错解分析：考生缺乏对整个物理过程的深入剖析，难以挖掘"带电铅丸与左板距离最小时速度相等"这一隐含条件，从而无法据动量守恒定律及动能定理切入求解解题方法与技巧： 设铅丸带电量为q，初速度为vo,电容器中场强为 E.

19、当铅丸进入电容器时， 电容器中的电场对铅丸的电场力做功，使铅丸做匀减速运动，速度减小，而铅丸对电容器的作用力 对电容器做功，电容器向左加速运动，速度增大，当铅丸离左极板距离为d/2时，铅丸和极板共速，其速度为 v,电容器移动距离为s,铅丸和电容器相互作用的过程中， 系统水平方向动量守恒，即：mvo =( m+ M ) v由动能定理得电场力对 m做的功为 Eq/ d、1212(s+ )= mv mV。2 2 21. ()(2001年全国)如图21-1所示，虚线框 abed内为一矩形匀强磁场区域，ab=2be,磁场方向垂直于纸面；实线框 a' b' c' d' 是一

20、正方形导线框，a' b'边与ab边平行假设将导线框匀速地拉离磁场 区域，以Wi表示沿平行于 ab的方向拉出过程中外力所做的功，W2表示以同样速率沿平行于 be的方向拉出过程中外力所做的功，贝UA.Wi = W2C.Wi =2 W2BW=2 WiDW=4 Wi1 2电场力对M做的功为Eqs= Mv2所以有所以s =一 Eq3 = ( m+ M) v 一 mvo?2 2 2例2 ()如图21-4所示，在竖直放置的两条平行光滑长导轨 的上端，接有一个电容为 C、击穿电压为UB的电容器，有一匀强磁场与导轨平 面垂直，磁感应强度为 B.现在有一根质量为 m、长为L的金属杆e f,在t =

21、0 时以初速度vo沿导轨下滑.问：金属杆e f下滑多长时间电容器就被击穿 ？假设图 中任何局部的电阻均可忽略不计.命题意图：考查考生综合分析能力及实际应用能力.B级要求.错解分析：对题目中呈现的物理过程缺乏细致的综合分析，弄不清过程中充电电图21-4流、导体棒下滑加速度及充电电压三者间的逻辑制约关系，尤其找不到l=CBLa这一乙图 21-22. ()如图21-2甲所示一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距1=0.20 m，电阻R=1.0 Q ;有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略 不计，整个装置处于磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下.现

22、在一外力 F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图21-2乙所示.求杆的质量m和加速度a.案例探究例1: ()如图21-3所示，已经充电的平行板电容器的 极板相距为d，在板上有个小孔，电容器固定在一绝缘底座上静置在 光滑水平面上，总质量为M.有一质量为 m的带正电的铅丸对准小孔水平向左运动(重力不计)，铅丸进入电容器后，距左板最小距离为 d/2，此时电容器移动的距离 .命题意图：考查考生综合分析能力.B级要求.问题切入点，使思路陷入绝境 .解题方法与技巧：先分析金属杆的运动情况.由于电路中电阻忽略不计，所以电容器两端电压Uc等于金属杆两端的感应电动势，即U c= BLv在

23、金属杆的运动方向上有mg BL 1 = ma 式中的I为电容器的充电电流，因此【= Q/A t= C A U c/A t=CBL A v/ A t = CBL a 式代入式a= mg/( m + CB L ) 式说明金属杆做匀加速运动，因此t时刻的速度vt= vo + a t = Vo+ mgt/( m+ CBL)当电容器两端电压 Uc = U B时，电容器被击穿，由式可知此时速度v= U B/ BL代入可知当t =( UB/BL vo) (m + CB2 L2) mg时，电容器将被击穿.锦囊妙计、咼考走势从历年高考试题可以观察到:1.力、电综合命题多以带电粒子在复合场中的运动、电磁感应中导体

24、棒动态分析，电磁感应中能量转化等为载体考查学生理解能力、推理能力、综合分析能力及运用数学知识解决物理问题的能力2命题在能力立意下，惯于物理情景的重组翻新，设问的巧妙变幻，即所谓旧题翻新，具有不回避重复的考查特点3综合能力考试更多地考虑学科内的综合，即考查学生对学科内不同局部、环节、要素之间内在联系的掌握程度，以及运用学科知识和方法，分析、解决实际问题的能力学科内综合仍将成为近年综合测试的主题 因此，力、电综合问题，仍将是近年综合测试不可回避的命题热 点，应引起足够的关注二、力电综合类命题审题思路力电综合类题目以力和能量为主线，通过力学知识和电学知识的串接渗透作为背景，进行综合命题，其解题思路和

25、解题步骤可以以“口诀的形式加以理解记忆：画草图，想情景，选对象，建模型， 分析状态和过程； 找规律、列方程； 检验结果行不行.1.画草图，想情景： 审题是解题的首要环节，在全面审视题目的条件，解答要求的根底上，对 题目的信息进行加工处理，画出示意图包括受力分析图，运动情景图和轨迹图，借助图示建立起清晰的物理情景3. 有一种质谱仪的结构如下图.带电粒子经过S1和S2之间的电场加速后，进入 P1、P2之间的狭缝.P1、P2之间存在着互相正交的磁场 B 1和电场E,只有在这一区域内不改变运动方向的粒子才能顺利通过So上的狭缝，进入磁感应强度为 B2的匀强磁场区域后做匀速圆周运动，打在屏A'A

26、h并发出亮光，记录下亮光所在的位置，量取狭缝到亮光的距离d，即可测出带电粒子的荷质比为多少？4. 有一个内阻及损耗均不计的直流发电机， 其定子的磁场恒定，先把它的电枢线圈与一个电阻R连接，再在电枢的转轴上缠绕足够长的轻绳，绳下端悬挂一个质量 为m的重物，如图a 所示，重物最后以 v 1速度匀速下降 现将一不计内阻、电动势为E的电源接入电路，如图b 所示, 悬挂重物不变，最后重物以 V2的速度匀速上升，求 V2等于多 少？2.选对象，建模型： 通过对整个题目的情景把握，选取研究对象，通过抽象、概括或类比等效的方法建立相应的物理模型，并对其进行全面的受力分析 如案例1,通过类比将铅丸与木板的作用转

27、化为已有的子弹击木块模型，案例2将金属杆等效为电源模型，其电路等效为一个含电容器的 电流回路模型，从而使解题思路显性化3. 分析状态和过程：对物体参与的全过程层层分析，对每一个中间过程的特点规律加以研究 分析挖掘相邻过程中的临界状态和临界条件，寻找各阶段物理量的变化与联系4. 找规律、列方程： 在对物理状态和物理过程深刻把握的根底上，寻找题设条件与所求未知物理量的联系，从力的观点或能量的观点，依物理规律牛顿第二定律，能的转化与守恒，动量守恒定律等列出方程求解5. 检验结果行不行： 对题目的所求结果进行检验，并对其结果进行物理意义上的表述和讨论 此外，在解题过程中，要特别注意以下两点，第一：对物体受力分析要全面，切忌漏力，要时刻关注电场力F