27算术平均数与几何平均数

1、算术平均数与几何平均数1教学目的：1. 学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小丁它们的几何平均数这个重要定理.2. 理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.3. 通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件教学过程：一、复习引入：不等式的基本性质.二、讲解新课：1. 重要不等式：如果a,bR,那么a2b22ab（当且仅当ab时取""号）2. 定理：如果a,b是正数，那么-一-*ab（当且仅当ab时取"

2、”号）.2说明：i我们称J为a,b的算术平均数，称辰为a,b的几何平均数,因而，此定理2乂可表达为：两个正数的算术平均数不小丁它们的几何平均数.iia2b22ab和成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后2者要求a,b都是正数.iii“当且仅当”的含义是充要条件.3.均值定理的几何意义是“半径不小丁半弦”.以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b.过点C作垂直丁直径AB的弦DD'，那么CD2CACB，即CD时ab这个圆的半径为a2b,显然，它不小丁CD,即号VOb,其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立.三、讲解范例：例1已知x,y都是

3、正数，求证:1如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2P;2如果和x+y是定值S那么当x=y时，积xy有最大值1S2.4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件:i函数式中各项必须都是正数；ii）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;iii等号成立条件必须存在.ba例2已知：ab>0,求证：b-2.当且当a=b时等号成立.ab反思：由本例可以得出什么结论？例3已知a,b都是正数，求证ab当且当a=b时等号成立.的概介绍n个正数的“调和平均数”、“几何平均数”、“算术平均数”、“平方平均数”念及它们的关系四、课堂练习：1. 已知a、b、c都是正数，求证

4、a+bb+cc+aa8abc2. 已知x、y都是正数，求证：x+yx+yx+yA8xy.3. 求证:五、作业：（1）“a+b>2板布”是“a£R*,b行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件1设b>a>0,且a+b=1,则此四个数，2ab,a+b,b中最大的是（）2A.bB.a2+b2C.2abD.设a,beR,且aub,a+b=2,则必有（）222«2/2A.1<abva一-B.abv1<*C.abv-<12222.2D.y<abv1已知a,ber+且a+b=4,则以下各式包成立的是()A

5、.1B.11>1C/ab>2D.ab2ab假设a>b>0,则下面不等式正确的选项是(A.g2abC.ababB.D.2abab2ab假设a,b£R且a冬b,在以下式子中，包成立的个数为a2+3ab>2b2a5+b5>a3b2+a2b3a2+b2>2ab-1->2baA.4B.3C.2D.1设a,b,c是区间(0,1)内的三个互不相等的实数且p=logc%,q=”儿二logcbr=1logca，贝Up,q,r的大小关系是()22A.p>q>rB.p<q<rC.r<PvqD.p<r<q算术平均数与几

6、何平均数2教学目的：1. 进一步掌握均值不等式定理；2. 会应用此定理求某些函数的最值；3. 能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学过程：一、复习引入：1. 重要不等式：1如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取”号)2如果a,b都是正数，那么当且当a=b时等号成立.2. 上课时中“例1”的条件、结论及注意事项.、讲解新课：定理：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc当且仅当a=b=c时取"=”推论：如果a,b,cR，那么-一一c3abc当且仅当a=b=c时取"=”三、例题例1已知a,b,c,d都是正数，求证：

7、(abcd)(acbd)4abcd例2求以下函数的最小值，并求相应的x值.(1) 1yx二(x0)；x1(X5)(x2)y(x1).x1例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？四、课堂练习：1. 已知z0,当x取什么值时,X2+马的值最小？最小值是多少？X四、作业：，、一2,3(1) 求函数y=2x2+x(2) 求函数y=x2+x>0的最小值.2. 一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大，最大面

8、积是多少？14x>0的最小值.x求函数y=3x22x30vx<-的最大值.2求函数y=x1x20vx<1)的最大值.设a>0,b>0,且a=1,求a%1b2的最大值.2算术平均数与几何平均数3教学目的：1. 进一步掌握均值不等式定理；2. 会应用此定理求某些函数的最值；3. 能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学过程：一、复习引入：1. 重要不等式：1如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取”号)2如果a,b都是正数，那么ab当且当a=b时等号成立.3如果ab>0,那么ba2.当且当a=b时等号成立

9、.ab4如果a,b,cR，那么a3b3c33abc当且仅当a=b=c时取"=”2. 5如果a,b,cR，那么-b一cVabc当且仅当a=b=c时取"=”利用“均值不等式”求最值.二、例题11.例11已知lgx+lgy=2,求一的最小值；xy2已知x>0,y>0,且2x+5y=20,求lgx+lgy的最大值；3已知0<x<2,求x(8-3x)的最大值.例2求以下函数的最大值：15y4x2(x-);4x54x2(1) y(x2).xx11已知a>b>0,求a的最小值.2已知0x3,求x2(1时白勺最大值.例4求函数ysinx9(0x)的最小值

10、.sinx例5从一块半径为R的半圆铁板上剪一块矩形，当矩形的长和宽各取多少时矩形的面积最大，并求这个最大面积.三、作业1.填空1如果b>a>0,则b,2ab,a2+b2的大小顺序是.函数f(x)4x2(二产的最小值是3当x=时，函数f(x)x2(42x2)(0xJ2)取得最大值244假设x>0,f(x)186x-4的最大值是x5假设ab+bc+ca=1,则当时|a+b+c|取得最小值6b2设a0,b0,a2一1,则a1b2的最大值是2一、x257f(x)-Q的最小值是x48假设x2+y2=1,S=(1-xy)(1+xy),则S的取值范围是9假设xy>0,x2y=2,则xy+x2的最小值为2.已知ab0,求a2佑加的最小值.3. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出