小学奥数--排列组合教案设计

1、实用标准文档小学奥数-排列组合教案加法原理和乘法原理排列与组合： 熟悉排列与组合问题。 运用加法原理和乘法原理解决问题。在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题 ：问题一：从A地到B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有4班，汽车 有3班, 轮船有2班。那么从A地到B地共有多少种不同的走法？ 问题二：从甲村 到乙村有两条道路，从乙村去丙村有 3条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙 村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有 m种不同的方法， 在第二类方法中有m2种不同的方法，在第N类方法中有mn

2、种不同的方法， 那么完成这件工作共有 N= m+m2+ R3+-+ mn种不同方法。运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法 都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）； 完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。合理分类也是运用加 法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解 题经验。乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有 m种方法，完成第 二个步骤有m2种方法，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作 共有mx mxx mn种方法。运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这

3、件工作的N个步骤，各个步骤之 间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同， 则对 应的完成此工作的方法也不同。这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下搭配的规律）， 教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助 孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理， 可以巧妙解决很多复杂的计

4、数问 题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。【例题一】每天从武汉到北京去，有 4班火车，2班飞机，1班汽车。请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法？【解析】运用加法原理，把组成方法分成三类：一类乘坐火车 ，二类乘坐飞机，三类乘坐洗车.解：4+2+1=7（种）【例题二】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成 1元 钱，有多少种方法？【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。取两种人民币组成1兀，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张 1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角

5、；4张2角和2张1角。取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1 张5角、2张2角和1张1角的。解:所以共有组成方法：3+5+2=10 （种）o【例题三】在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？【解析】运用加法原理，把组成的三位数分为九类：十位是 9的有9个，十位是 8的有8个，十位是1的有1个.解：共有：1+2+3+9=45（个）【例题四】各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？【解析】一个数各个数位上的数字，最大只能是 9, 24可分拆为：24=9+9+6;24=9+8+7; 24=8+8+&运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：由9

6、、9、8三个数字可组成 3个三位数：998、989、899;由9、8、7三个数字可组成 6个三位数：987、978、897、879、798、789;由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。解:所以组成三位数共有：3+6+1=10 （个）。【例题五】有一批长度分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7和8厘米的细木条若干，从 中选取适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？【解析】围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于 第三边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。根据三角形三边长度

7、情况，我们先把围成的三角形分为两大类：第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长的）。由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根据三角形腰长，第一大类又可以分为 8小类，三边长依次是：腰长为1的三角形1个：1、1、1。腰长为2的三角形3个：2、2、1; 2、2、2; 2、2、3。腰长为 3 的三角形 5 个：3、3、1; 3、3、2; 3、3、3; 3、3、4; 3、3、5。腰长为4的三角形7个：4、4、1; 4、4、2;4、4、7。腰长为5的三角形8个：5、5、1; 5、5、2;5、5、8。同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。第

8、一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+8X 4=48 （个）。第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边不可能 为是3厘米、2厘米、1厘米）：最长边为8厘米的三角形有9个，三边长分别为：8、7、6; 8、7、5; 8、7、 4; 8、7、3; 8、7、2; 8、6、5; 8、6、4; 8、6、3; 8、5、4。最长边为7厘米的三角形有6个，三边长分别为：7、6、5; 7、6、4; 7、6、 3; 7、6、2; 7、5、4; 7、5、3。最长边为6厘米的三角形有4个，三边长分别为：6、5、4; 6、5、3; 6

9、、5、 2; 6、 4、 3。最长边为5厘米的三角形有2个，三边长分别为：5、4、3; 5、4、2。最长边为4厘米的三角形有1个，三边长为：4、3、2。第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22 （个）。所以，这一题共可以围成不同的三角形： 48+22=70 （个）。【例题六】一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了， 最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？【解析】要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第 1把钥匙要配到锁，最多要试 9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这 把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试8次；第9把

10、锁最多试1 次，最好一把锁不用试。解：最多试验次数为：9+8+7+2+1=45 （次）。【例题七】如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到内地有三条路，从内地到丁地 有四条路，从甲地到内地有二条路。问：甲地到丁地共有多少种走法？【解析】从甲地到乙地的走法分两大类： 一大类从甲地直接到达乙地，二大类是 经过乙地和内地到达丁地，用加法原理。第二大类中，从甲地到丁地走法分三步， 第一步，从甲地到乙地，第二步，从乙地到内地，第三步，从内地到丁地，用乘 法原理。、第一大类从甲地到丁地有2条路，用加法原理有2种走法。、第二大类从甲地到丁地分三步完成，用乘法原理。第一步，从甲地到乙地，有3条路，用加法原理有3种

11、走法。第二步，从乙地到内地，有 3条路，用 加法原理有3种走法。第三步，从内地到丁地，有4条路，用加法原理有4种走 法。根据乘法原理，第二大类共有 3X3X4=36种走法。、用加法原理，从甲地到乙地共有 2+36= 38种走法。解：2+3X 3X4 = 38 （种）【例题七】某人到食堂去买饭菜，食堂里有 4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要 各买一样，共有多少种不同的买法？【解析】运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：第一步：选汤有2种方法。第二步：选荤菜有4种方法。每种选汤方法对应的都有4种选荤菜的方法，汤和荤菜共有2个4种，即8种不 同的搭配方法。第三步：选蔬菜有3种方法。荤菜和汤有8种不同的搭配

12、方法，每种搭配方法，对应的都有3种选蔬菜的方法 与其二次搭配，共有8个3种，即24种不同搭配方法。如下图所示举菜U节菜A譬浆B-*碇荣A 蔡篥白 薛荣C 跋辇A 够菜日 限黑U 苹菜A*趟黑日 嫉菜心 *娠栗A辇菜口ABCABC ABC 菜菜梨菜荣茉荣系第 越松版蕉蔬添越辇a f提装o解：共有不同的买法：2X4X3=24 （种）。【例题八】数学活动课上，张老师要求同学们用0、1、2、3这四个数字组成三位数，请问：（1）可以组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个不相等的三位数？【解析】组成没有重复数字的三位数要求千位、十位、个位上的数字不同，数位 之间是互相联系的，用乘法原理。完成

13、没有重复数字的三位数的组成，分三步。第一步，看千位有多少种放法，0不能放首位，1、2、3任一个都可以放，有3种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字千位放了一个，还剩三个，有3种放法。第三步，看个位有多少种放法，四个数字千位、十位各放了一个，还剩二个，有2种放法。解： （1 ） 3X 3X2=18 （个）不相等的三位数，可以看出各数位上的数字是能重复的。 要完成数的组合应该分三步：第一步，看千位有多少种放法，0不能放首位，1、2、3任一个都可以放，有3种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字都可以放，有 4种放法。第三步，看个位有多少种放法，四个数字都可以放，有 4种放法，有4种放法。

14、解：（2） 3X 4X4=48 （个）【例题九】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？(1)七个人排成一排；(2)七个人排成一排，小新必须站在中间.(3)七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间 .(4)七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边 .(5)七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人站成两排，前排三人，后排四人.(7)七个人站成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。【解析】(1)七个人排成一排要有序的分步进行，第一步，七个人每人都可以站 第一位，7选7叫全选，有7种选法，也就是完成七个人排成一排的第一步。第 二步，七人已选出一人站到第

15、一位，还剩六人，有 6种选法。同理，第三步有5 种选法。第四步有4种选法。第五步有3种选法。第六步有2种选法。第七步有 1种选法。解：根据乘法原理得：7X6X5X4X3X2X1=5040 (种)注：用排列公式写作：P77 =5040 (种)。(2)确定小新站中间，只要考虑六人站一排的排列问题。只需排其余 6个人站 剩下的6个位置。分六步，第一步6种选法、第二步5种选法、第三步4种选法、 第四步3种选法、第五步2种选法、第六步1种选法。解：根据乘法原理得：6X5X4X3X2X1 = 720 (种)注：用排列公式写作：律=720 (种).(3)先确定中间的位置站谁，有 2种选法。再排剩下的6个位置

16、。解：根据乘法原理得：(6X5X4X3X2X1) X2=1440 (种)注：用排列公式写作：2X P6 =1440(种).(4)先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.如图可知，小新和阿呆站两边位置是 2选2,有2X1 = 2种选法。其余五个位置 站法：第一位5种选法、第二位4种选法、第三位3种选法、第四位2种选法、 第五位1种选法。其余5人所站位置2543211 j I I I小新和阿呆所站位置解：根据乘法原理得：(5X4X3X2X1) X (2X 1) =240 (种)注：用排列公式写作：2Mp55 =240 (种).(5)先排两边，从除小新、阿呆之外的 5个人中

17、选2人，也就是边上的两个位 置5人去站，第一个位置有5种选法，第二个位置有4种选法，根据乘法原理得： 5X4=20 （种）。再排剩下的5个人，有5X4X3X2X1 = 120 （种）。解：根据乘法原理得：20X 120=2400 （种）注：用排列公式写作：P2XP5 =2400 （种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的.现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列.解：根据乘法原理得：7X6X5X4X3X2X1=5040 （种）注：用排列公式写作：P7 =5040 （种）.（7）可以分为两类情况：”小新在前，阿呆在后”和“小新在后，

18、阿呆在前”， 两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可.排队问题， 一般先考虑特殊情况再去全排列。解：根据乘法原理得：4X3X （5X4X 3X 2X 1） X 2= 2880（种）注：用排列公式写作：4X3X P5 X2=2880（种）.【例题十】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是 5的三 位数？【解析】个位数字已知，问题变成从5个元素中取2个元素的排列问题，三位数 的个位已确定为5,那么，1、2、3、4、6可以任意选择十位或百位，百位有 5 种选法，十位有4种选法。如图：5种选法 4 种选法 1 种选法5千位百位个位解：根据乘法原理得：5X4 =

19、 20 （种）注：用排列公式解题：已知 n=5, m = 2,根据排列数公式，一共可以组成P2 =5父4 =20（个）符合题意的三位数。【例题十一】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【解析】按位数来分类考虑：首先要知道 3的倍数的数的各位数值之和的规律：各位数值之和为3的倍数,则这个数是3的倍数.一位数只有1个3; 两位数：由1与2, 1与5, 2与4, 4与5四组数字组成，每一组可以组成P2 =2父1 =2（个）不同的两位数，共可组成2M4=8（个）不同的两位数；三位数：由1, 2与3; 1, 3与5; 2, 3与4; 3, 4与5四组数字组成，每一组

20、可以组成P33 =3父2 M1 =6（个）不同的三位数，共可组成6父4=24（个）不同的三位 四位数：可由1, 2, 4, 5这四个数字组成，有P44 =4父3M2父1 =24（个）不同的 四位数；五位数：可由1, 2, 3, 4, 5组成，共有P55 =5x4x3x2x1=120（个）不同的五 位数.解：根据加法原理得：一共有1 +8+24+24+120=177 （个）能被3整除的数，即3的 倍数.【例题十二】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非 0数 码组成，且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜最多要试几次？【解析】用排除法分析：四个非0数码之和等于9的组合数位上不能有

21、9、8、7 数字，否则，其和大于9。首先，从合题意的大数 6寻找有1, 1, 1, 6一种组 合；从5寻找有1,1,2, 5各组合；从4寻找有1, 1, 3, 4; 1, 2, 2, 4; 二种组合；从3寻找有1, 2, 3, 3; 2, 2, 2, 3二种组合；从1、2分析其和小 于9;因此分析得共有六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1,共有4种选择； 第二种中，先考虑放2,有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的 位置放1,共有4M3=12（种），选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有 12种选择.最后

22、一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2, 共有4种选择.解：根据加法原理得：一共可以组成 4+12+12 + 12+12 + 4 = 56（个）不同的四位数， 即确保能打开保险柜最多要试56次.【例题十三】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的 同胞兄妹相邻，（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少种不同的 坐法？【解析】第一个位置在6个人中任选一个，有06=6（种）选法，第二个位置在另 一胞胎的3人中任选一个，有03=3（#）选法.同理，第3, 4, 5, 6个位置依次 有2, 2, 1, 1种选法.如图：6选13 选32 选22 选21 选

23、11 选1632211甲乙胞 乙胞甲胞 乙胞甲胞 乙胞解：根据乘法原理得：6X3X2X2X1X1 = 72 （种）注：用排列公式写作： 目MF31Mpi xp1 MP11Mpl1 =6父3M2M2父1父1 = 72（种）。【例题十四】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24 : 30,那么从8时 到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个 ？【解析】设A B0DE是满足题意的时刻，有 A为8, B、D应从0, 1 , 2, 3, 4, 5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有 6X5=30种选法，而C E应从剩 下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有 7X6=42种选法

24、.如图：7选2AB0DE16756确定为86选2解：根据乘法原理得：所以共有F62 X P72=1260种选法。从8时到9时这段时间 里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。【例题十五】一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的.将这 个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被 11整除的六位数？【解析】设这个六位数为abcdef ,则有（a+c + e）、（b+d + f）的差为0或11的 倍数.且a、b、c、d、e、f均不为0,任何一个数作为首位都是一个六位数。 先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有P33 x p33=36种顺序； 再考虑形

25、如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换,也有 P； x P； =36种顺序。 所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的 数（包含原来的abcdef） 0所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数。【例题十六】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共 5名同学进行的手工制作比赛中， 决出了第一至第五名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很 遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的. ”从这个回答分 析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？【解析】这道题乍一看不太像是排列问题， 这就需要灵活地对问题进行转化.仔 细审题，已

26、知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人 排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多， 所以先排乙，有 3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有P3 =3X2X1 =6（种）排法.解：根据乘法原理得：一共有3M3父6=54（种）不同的排法。【例题十七】4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同 的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端；男、女生分别排在一起；男女相问.【解析】 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选 择，剩下的8个人随意排，也就是8个元素全排列的问题， 有 P8=8M

27、7M6M5M4M3M2M1=4032q种）选择.解：根据乘法原理得：共有6X40320=241920（种）排法.甲、乙先排，有22=2父1=2（种）排法；剩下的7个人随意排，有P7 =7 父6 M 5 M4 M3 M2 父1 =5040 （种）排法.解：根据乘法原理得：共有25040=10080（种）排法. 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P22 =2父1=2（种）不同排列方法, 再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分另有P44 =4父3M2父1 =24（种）和P55 =5父4父3父2M1=120（种）排法.解：根据乘法原理得：共有2 m 24120

28、= 5760（种）排法. 先排4名男生，有P： =4父3父2父1 =24（种）排法，再把5名女生排到5个空档中, 有P5 =5父4M3M2父1 =120（种）排法.解：根据乘法原理得：一共有24 M120 =2880（种）排法。【例题十八】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求：当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排 节目的顺序？【解析】 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个 元素全排列的问题，有P77 =7!=7M6m5m4m3m2m1=5040（种）方法.第二步再排4个 舞蹈节

29、目，也就是4个舞蹈节目全排列的问题，有"=4!=4父3父2父1 = 24（种）方法. 解：根据乘法原理得：一共有5040M 24 = 120960（种）方法. 首先将6个演唱节目排成一列（如下图中的“口”），是6个元素全排列的问题， 一共有 P66 =6! =6父5父4父3父2父1 =720 （种）方法.X 口 X 口 X 口 X 口 X 口 X 口 X 第二 步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间（即上图中“X”的位置）， 这相当于从7个“X”中选4个来排，一共有P74 =7X6X5X4=840（种）方法.解：根据乘法原理得：一共有720 M 840 = 604800（

30、种）方法。【例题十九】从1, 2,，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多 少个？（只要求列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书， 组织委员，宣传委员，共有多少种不 同的选法？3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？ 【解析】按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有P；种.3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有P83种.3位同学看成是三个位置，任

31、取 8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座 号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有 P83种.3个坐位排号1, 2, 3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有P83 种.3列火车编为1, 2, 3号，从8股车道中任取3股往上排，共有P；种.土地编1, 2, 3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有P83种。【例题二十】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成 3个阶段进行，第一阶段：将 参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段: 将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人,分别进行单循环赛； 第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场

32、决赛，确定1至4名 的名次.问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛C2 =8 = 15 2 1场，共8个小组，有15M8 =120场；第二阶段中，每个小组内部 4人中每2人赛一 场，组内赛C：=43=6场，共4个小组，有6M4 =24场；第三阶段赛2+2=4场.2 1解：根据乘法原理得：整个赛程一共有 120+24+4=148场比赛。【例题二H一1由数字1, 2, 3组成五位数，要求这五位数中1, 2, 3至少各出 现一次，那么这样的五位数共有 个。（2007年“迎春杯”高年级组决赛）【解析】这是一道组合计数问题.由于题目中仅要求 1

33、, 2, 3至少各出现一次， 没有确定1, 2, 3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也 可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位 数即可.（法1）分两类：1 , 2 , 3中恰有一个数字出现3次，这样的数有C；M5M4=60（个）； 1, 2, 3中有两个数字各出现2次，这样的数有C；M5MC：=90（个）.符合题意 的五位数共有60 +90=150（个）.（法2）从反面想，由1, 2, 3组成的五位数共有35个，由1, 2, 3中的某2个数 字组成的五位数共有3M（252）个，由1, 2, 3中的某1个数字组成的五位数共有 3个，所以符

34、合题意的五位数共有353父（25 2）3=150（个）。【例题二十二】10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同 选法？【解析】（法1）乘法原理.按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中 后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有7M10 =70种选择，但是需要注意的是，选择的过程中， 会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了 两种，所以最后的结果应该是（10一11一1）父10-2=35（种）.（法2）排除法.可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为CM,而被选的两个人相邻的情况有10

35、种，所以共有C0 -10=45 -10=35（种）。【例题二十三】8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻）， 小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【解析】冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位 置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇. 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：C73MP2MC； MP；MP；=3360 （种）同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为： C63 Mp2 MPP0M

36、P：2 =960 （种）因此同时满足三个条件的站法总数为：3360-960 = 2400 （种）。【例题二十四】小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃一块.那么他一共 有多少种不同的吃法？【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列，如果在其中9个间隙中的某 个位置插入“木棍”，则将10块糖分成了两部分。我们记从左至右，第1部分是 第1天吃的，第2部分是第2天吃的，如：。|。表示第一天 吃了 3粒，第二天吃了剩下的7粒：。| 。|。表示第一天吃 了 4粒，第二天吃了 3粒，第三天吃了剩下的3粒.不难知晓，每一种插入方法对 应一种吃法，而9个间隙，每个间隙可以插人也可以不插入，且相互独立

37、，故共有 29=512种不同的插入方法，即512种不同的吃法。【例题二十五】某池塘中有A、R C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人, C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童 乘坐的游船上必须至少有个成人陪同， 那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全 乘船方法共有多少种？【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A、B两船，若两个儿童在同一条船上， 只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有C3 =3种方法；若两个儿童不 在同一条船上，即分别在 A B两船上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿

38、童 有C；=2种选择，1个成人有C3 =3种选择，所以有2x3=6种方法.故5人都不乘 坐C船有3+6 =9种安全方法；若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有C3 =3种选择.其余的2个 成人与2个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在 A船上，此时A船上还必 须有1个成人，有C2=2种方法，所以此时有3M2=6种方法；若两个儿童不在 同一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有 C2=2种选择，所以此种情况下有3M2M2=12种方法；故5人中有1人乘坐C船有 6+12 =18种安全方法.所以，共有9+18 =27种安全乘法.【例题二十六】从10名男生，8名女

39、生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下， 分别有多少种选法？恰有3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须 入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选 两人。【解析】恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为C3MC；0=14112种； 要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不 符合要求.运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况:c8 =43758 ;4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有C4=1001种;从所有的选法C88种中减去这4个人同时入选的Ct种：_ 8_ 4 .一.C18 C14 =43758 1001 =42757 .分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共: C184 +C； MCZ +C2 MCI =34749。【例题二十七】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，具 余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由 6人组成的安装小组，组内 安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？【解析】按具有双项技术的学生分类： 两人都不选派，有C3="5=10（种）选派方法；3 2 1 两人中选派1人，有2种选法.而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有C2=5%=1