2019年数二真题及解析

1、2004年数学(二)真题评注填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设f(x)lim(n21)x,则f(x)的间断点为x0.nnx1【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出f(x)的表达式再讨论f(x)的间断点.【详解】显然当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)IimlimLY1,nnx1n21xxxn所以f(x)0，x0,-,x0x1因为limf(x)limf(0)x0x0x故x0为f(x)的间断点.(2)设函数y(x)由参数方程t3t33t3t确定，则曲线yy(x)向上凸的x取值范围为(，少(或(-，1)【

2、分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由xx(t)yy(t)定义的圭y(t)x(t)x(t)y(t)(x(t)3求出二阶导数，再由d2ydx20确定x的取值范围.dy【详解】dyq31关匕J1上dxdx3t23t21t21dtd2yddydt1214tdx2dtdxdxt213(t21)3(t21)3，令哄0t0.dx2又xt33t1单调增，在t0时，x(,1).(Qt0时，x1x(,1时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数，如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.(3)dx=-.1x,x21工【分析】利用变量代换

3、法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】dx-secttantx：x2=1'-部0secttantdt0t2【详解2】_dx1x：x2=1：arcsint0tz111,-(_y)dt-dt11?0.1t2【评注】本题为混合广义积分的基本计算题，主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.(4)设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定，则3-Z兰2.xy【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在ze2x3z2y的两边分别对x,y求偏导，z为x,y的第-2-页2xe从而所以2xe3z(23-),x3zz(3)2,y2e2x3z13e2x

4、3z，z2AC2x3zy13e3e2x【详解2】令F(x,y,z)e2x3z2yz0则土e2x3z2,专2,壬e2x3z(3)12e2x3z22e2x3z(13e2x3z)13e2x3z(13e2x3z)13e2x3z从而113e2x3z【详解3】利用全微分公式，得dze2x3z(2dx3dz)2dy2x3z2x3z.2edx2dy3edz2x3z2x3z.(13e)dz2edx2dydz-2x3z2e2x3zdx13ec2x3z3edy2x3z2x3z,即三.3_£2x13e2x3z'y13e2x3z【评注】此题属于典型的隐函数求偏导(5)微分方程(yx3)dx2xdy0满

5、足yy5x3项.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解，再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特【详解1】原方程变形为dy112y-x,dx2x2先求齐次方程亲的通解:积分得dylny1lnxInc2设yc(xh/x为非齐次方程的通解，代入方程得c(x)J7c(x)=2,x-1c(xhx】x22x213从而c(x)x2,2积分得,、1Lc(x)x2dx2于是非齐次方程的通解为y.x(1x25C)C、x6yx15故所求通解为yx1x3.5【详解2】原方程变形为C1,dy112yx,dx2x2由一阶线性方程通解公式得-Idxye2x?dxx2e2xdxC22

6、lne2,1,lnx-x2e2dx212x2dx2151x2C56y(1)-5从而所求的解为yX1,【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题2(6)设矩阵A120,矩阵B满足ABA02BAE,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则|B【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】ABA2BAEABA2BAE,(A2E)BAA2E|BA1,A2EA11Z2(1)(1)39【详解2】由AAA1,得ABA2BAEABAA12BAA1AAAAB2ABAA(A2E)BAA3A2E|BAA2A2E【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型，考点是伴随矩阵的性质和矩

7、阵乘积的行列式选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(7)把x0时的无穷小量cost2dt,tanTidt,00o、Xsint3dt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，贝序确的排列次序是(A,.(B),.(C),.(D)【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解【详解】又3sintdt0Qlimlimxx0x0xx2.xcostdt0.；1sinx2-x0cosx2xlim0,x023x2lim=x02、x0().limx0limx0tanJt

8、dt0：.,，x3sintdt0tanx2xlim3x0_1sinx22,x.2x2lim0,01x20().从而按要求排列的顺序为故选(B)【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题(8) 设f(x)|x(1x),贝(A) x0是f(x)的极值点，(B) x。不是f(x)的极值点(C) x0是f(x)的极值点，(D) x0不是f(x)的极值点但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点.,但(0,0)是曲线yf(x)的拐点.且(0,0)是曲线yf(x)的拐点.,(0,0)也不是曲线yf(x)的拐点.C【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论x0两方f(x),f(x)的符号.【详解】f

9、(x)x(1x),1x0,x(1x),0x1f(x)12x,1x012x,0x1,第-7-f(x)2,2,从而1x0时，f(x)凹，1x0时,f(x)凸，于是(0,0)为拐点又f(0)0,x0、1时f(x)0,从而x0为极小值点所以，x0是极值点，(0,0)是曲线yf(x)的拐点，故选(C)【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目limlnn(11)2(12)2L(1n)2等于n-nnn222(A) lnxdx.(B)2Inxdx.11x)dx(C)2：ln(1x)dx.(D)12in2(1【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式作变换后，从四个选项中选出正确的.【详

10、解】1222n2飘叫(i如)(1秘(i十212nnlimln(1)(1-)L(1-)nnnnlimln(1)ln(12)L(1-)nnnnn120ln(1x)dx2xt2lntdt122lnxdx1故选(B)【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换，才能化为四选项之一.(A) 设函数f(x)连续,且f(0)0,则存在0,使得f(x)在(0,)内单调增加.(B) f(x)在(，0)内单调减小.(C) 对任意的x(0,)有f(x)f(0).(D)对任意的x(,0)有f(x)f(0).C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数f(x)在x0附近的局

11、部性质.【详解】由导数的定义知由极限的性质f(0)limf(x)f(0)x0x00,0,使|x时，有f(x)f(0)x(A) 即x0时，f(x)f(0),x0时，f(x)f(0),故选(C)【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质微分方程yyx(B) yx(axbxcAsinxBcosx).1sinx的特解形式可设为2yaxbxcx(AsinxBcosx).(C) yaxyaxbxcx(AsinxBcosx)【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式(12)设函数f(u)连续，区域D(x,y

12、)xf(xy)dxdy等于DbxcAsinx.yax2bxcAcosx式.【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形【详解】对应齐次方程yy0的特征方程为10,特征根为1e0(x21)而言，因0不是特征根，从而其特解形式可设为_2.-y1axbxcsinxIm(eix),因i为特征根，从而其特解形式可设为y2x(AsinxBcosx)从而yyx21sinx的特解形式可设为2y22y,则(A)(B)(C)11dx1二f(xy)dy.22yy220dy0f(xy)dx.2sin2odof(rsincos)dr.0d2sin2°f(rsincos)rdr【分析】将二重积分化

13、为累次积分的方法是意图，再选择直角坐标系和极坐标系【详解】积分区域见图.在直角坐标系下，f(xy)dxdyD:先画出积分区域的示20dyf(xy)dy故应排除（A）、(B).在极坐标系下，111dx11x*21Vxrcosyrsincos)rdr,2sin2f(xy)dxdy°d°f(rsinD故应选（D）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题，关键在于确定累次积分的积分限.（13）设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为0(B)10010011C)100.(D)100011001D【分析】根据矩阵的初等

14、变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行(列)变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.010100【详解】由题意BA100,CB011,001001010100011CA100011A100AQ001001001011从而Q100,故选(D).001【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系，抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.(A) 设A,B为满足AB0的任意两个非零矩阵,则必有A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组

15、线性相关.A【分析】将A写成行矩阵，可讨论A列向量组的线性相关性.将B写成列矩阵，可讨论B行向量组的线性相关性.【详解】设A(aij)im,B(bij)mn,记AA1A2LAmA1A2LAmbiib2ibmibi2b22bm2LbinLb2nLLbmnAB0biiALbmiAmLbinALbmn(1)由于B0,所以至少有一屏0(1im,1jn),从而由（于是A1,又记B则1)知，bijAb2jA2LA2,L,Am线性相关.B1B2'M,BmAB0bijAiLbmiAm0,aia2LaimBjaiiBai2B2LaimBma2ia22La2mB2a2iBiLMa22B2LLa2mBm0a

16、i1ai2LaimBmai1Biai2B2LaimBm由于A0,则至少存在一aij（0(1il,ijm),使aiiBiai2B2aijBjLaimBm0,从而Bi,B2,L,Bm线性相关,故应选（A）.一. 【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(本题满分10分)求极限limWx0x3x2cosx13【分析】此极限属于9型未定式.可利用罗必塔法则，并结合无穷0小代换求解.I2cosx【详解1】原式lim,1x03lnlim一x02cosx32x.ln(2cosx)ln3

17、limx0(sinx)皿11sinxlim2lim203x202cosxx【详解2】原式xlne2cosx3-lnlimx02cosxcosx3""2xln(llimx0cosx【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时，要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合，以简化运算.(14) (本题满分10分)设函数f(x)在(，)上有定义，在区间0,2上,f(x)x(x24),若对任意的x都满足f(x)kf(x2),其中k为常数.(I)写出f(x)在2,0上的表达式；(nN、Wk为何值时，f(x)在x0处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论【详解】(I)当2x

18、0,即0x22时,2)(x4).(n)由题设知f(0)0.f(0)limf(x)f(0)x0x0f(0)令f(0)f(0),m些询x0x01.2肺kx(x2)(x4)x0x8k.即当k-时,2f(x)在x0处可导.【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性(17) (本题满分11分)、rr_xK设f(x)2sintdt,x(I)证明f(x)是以为周期的周期函数；(n)求f(x)的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域【详解】(I)f(xsintdt,设tu,则有f(xxx2sin(u)dusinuduf(x),f(x)kf(x2)k(x

19、2)(x2)24kx(x故f(x)是以为周期的周期函数.(n)因为sinx在(，)上连续且周期为,故只需在0,上讨论其值域.因为f(x)sin(x)sinxcossinx5f(手)344sintdt又f(0)2sintdt1,f()3万(sint)dt1,f(x)的最小值是2V2,最大值是42,故f(x)的值域是令f(x)0,得x-,x2，且3f()4sintdt2,4753sintdt4sintdt2、2,42、2,.2.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式，常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值，其方法与一般函数的最值相同.(本题满分12分)xx曲线ye一与直线x0,x

20、t(t0)及y0围成一曲边梯形.该2曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在xt处的底面积为F(t).(I)求业的值；V(t)(II)计算极限lim-S(t).二者及截面积都是tF(t)【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积,t的函数，然后计算它们之间的关系【详解】(I)S(t)02y.1y2dx2x-2x1e2edxV(t)l2刀°ydxS(t)V(t)(n)F(t)y2lim勉tF(t)2lim一t2dxlimttteehm-t_rtee【评注】在t固定时，此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型，考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变

21、限积分有关的极限问题.(18) (本题满分12分)设eabe2,证明ln2bln2a£(ba).e【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明，常第-17-页【详证1】设(x)4(x)lnxx,eInx4(x)22xe20,x故(x)单调减小，从而当exe2时,用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等(x)(e2)42e4e0,即当exe2时,(x)单调增加.因此，当eabe2时，(b)(a),即ln2b42blnae4ae故ln2bln2ia£(bea).【详证2】设22(x)InxIna*xa),则,、nx4(x)22xe(x)2*xxe时，(x)0

22、(x),从而当e2xe时，(x)(e2)4e42e0,2exe时，(x)单调增加.eabe2时,(x)(a)0.令xb有(b)0即ln2bln2a£(bea).【详证3】证对函数ln2x在a,b上应用拉格朗日定理ln2bln2a2ln(ba),ab.所以当(x)0,x，得e时,(t)里则(t)丁户tt2当te时，(t)0,所以(t)单调减小，从而()(e2),即lnlne22e4八、(ba)e【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定ln2bln2a理证明，所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式，然后借助函数不等式的证明方法加以证明(20)(本题满分11分)某种飞

23、机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k6.0106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算，可利用牛顿第二定律，建立微分方程，再求解.【详解1】由题设，飞机的质量m9000kg,着陆时的水平速度700km/h.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v

24、(t).根据牛顿第二定律，得dvmkv.dvvdx,dtdvdvdxdtdxdtdxdv,k积分得x(t)mvC,k由于v(0)Vo,x(0)0,故得C?v°,从而x(t)m(vov(t).k当v(t)0时，x(t)mv。90007006.01061.05(km).所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解2】根据牛顿第二定律，得所以两边积分得dvm一dtdvvkv.卫dt,mAtCem代入初始条件0v°,得Cv(t)%v°em故飞机滑行的最长距离为v(t)dt四°1.05(km).0k【详解3】根据牛顿第二定律，得md2xdt2d2xdt2kmdt

25、0,0,其特征方程为解得r10,2由x(0)0,v(0)dxdtkkC2mtemVo，得Cimv0X(t)E(1Jktem).x(t)mV)90007006.01061.05(km).所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程，并进一步求解(本题满分10分)2设zf(x2、xy2xyxy八4xyf112(xy)ef2xyef22e(1xy)f2.【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型(22) (本题满分9分)设有齐次线性方程组y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数，求Y,Y,zxyxy【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算【详解】

26、2xf1yexyf2,x2yf1xexyf2,y2Z2f2fYPxyxyfYvaxyfvexyf(2v)fxexy12xTn(2y)电xe1eT2xyeT2yeL121(2y)f22xexy(1a)x1x2x3x40,2Xj(2a)x22x32x40,3x3x2(3a)x33x40,4x4x24x3(4a)x40,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0,其同解方程组为a0时，r(A)1确定参数的取值，进而求方程组的非零解.XiX2X3X40.由此得基础解系为1,1,0,0)T2(1,0,1,0)T3(1,0,0,1)T,于是所

27、求方程组的通解为kik2k33,其中ki,k2,k3为任意常数.a10时，r(A)34,a23411001010100110234010000100001故方程组也有非零解,其同解方程组为对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有1a1111a1122a222aa0333a33a0a4444a4a00a故方程组有非零解4,【详解1】10B02x1乂20,3x1x30,4x1乂40,由此得基础解系为(1,2,3,4)t,所以所求方程组的通解为xk,其中k为任意常数【详解2】方程组的系数行列式1233(a10)a1a112a2A33a444a当A0,即a0或a10时，方程组有非零解当a0时，对系数矩阵A作初等行变换，有1111111122220000A3333