正方形的有关提高练习题

1、DDGcBCAc5E.BCDDGGDBCEDFSC_EGDBGG8GCscABAC=10GC图1Eg (3)点 F 在 BC 的延长线上ABCD，点 E 是 BC 上一点，点 F 是 CD 延长线上一点，连 P 是EF 的中点.ABCD 的一边EF 丄 AC 于 F,9、已知：如图，在正方形(1) 求证：BE=DF;(2) 连接 AC 交 EF 于点 边形AEGF 是什么特殊四边形?中 占I )八、CH 丄 BD 于点如图 2 则 EF、ABCD 中，点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，AE=AF3、已知：如图，在菱形EF=EB , EF 与 CD 相交于点(1) 求证：EG?GF=CG?

2、GD(2) 连接 DF，如果 EF 丄 CD，那么/ FDC 与/ ADC 之间有怎样的数量关系？证明 你所得到的结论.B E6、已知 E 是正方形线 EG 丄 BD 于 G,7、(1)如图 1，已知矩形 ABCD于点 F, EG 丄 AC 于点 G(2) 若点 E 在 BC 的延长线上 长线于点 G , CH 丄 BD 于点 H 接写出你的猜想；(3) 如图 3, BD 是正方形 ABCD 的对角线，L 在 BD 上，且 BL=BC，连接 CL , 点 E 是 CL上任一点，EF 丄 BD 于点 F, EG 丄 BC 于点 G,猜想 EF、EG、BD 之间 具有怎样的数量关系，直接写出你的猜

3、想；(4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具 有 EF、EG、CH 这样的线段，并满足(1)或(2)的结论，写出相关题设的条件和 结论.0,延长 0C 至点 G,使 0G=0A，连接 EG、FG.判断四 并证明你的结论.问(1)中的结论是否仍然成立证明你的结论；(3)将图中厶 BEF 绕 B 点转动任意角度(旋转角在0到 90之间)，再连接DF，取 DF 的中点 G (如图)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论.正方形专题1、已知正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEF , BE=EF , / BEF=90 ,按图 1 放置， 使点E 在

4、BC 上，取 DF 的中点 G,连接 EG, CG.(1) 延长 EG 交 DC 于 H,试说明：DH=BE .(2) 将图 1 中厶 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45,连接 DF，取 DF 中点 G (如图 2), 莎莎同学发现：EG=CG 且 EG 丄 CG.在设法证明时他发现：若连接 BD，则 D , E, B 三点共线.你能写出结论“ EG=CG 且 EG 丄 CG”的完整理由吗？请写出来.(3) 将图 1 中厶 BEF 绕 B 点转动任意角度(0VaV90),再连接 DF，取 DF的中点 G (如图 3),第 2 问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由.

5、8、已知正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEF，按图放置，使点 F 在 BC 上，取 DF 的中点 G,连接 EG、CG.(1) 探索 EG、CG 的数量关系，并说明理由；(2) 将图中厶 BEF 绕 B 点顺时针旋转 45得图，连接 DF，取 DF 的中点 G, 问(1)中的结论是否成立，并说明理由；(3)将图中厶 BEF 绕 B 点转动任意角度(旋转角在 0 到 90之间)得图， 连接 DF，取 DF 的中点 6,问(1)中的结论是否成立，请说明理由.图3E,作 EF 丄 AB 交 BD 于点 FEG=CG 且 EG 丄 CG.则线段 EG 和 CG 有怎样的数F图1122、( 201

6、1?鸡西)在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 取 FD 的中点 G,连接 EG、CG,如图(1)，易证(1) 将厶 BEF 绕点 B 逆时针旋转 90,如图(2), 量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.(2) 将厶 BEF 绕点 B 逆时针旋转 180,如图(3),则线段 EG 和 CG 又有怎样的 数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.5CG5、已知正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF , BE=EF，/ BEF=90 ，按图放置，使点 F 在BC 上，取 DF 的中点 G,连接 EG、CG .(1) 探索 EG、CG 的数量关系和位置关系并证明；(2) 将图中厶 BE

7、F 绕 B 点顺时针旋转 45,再连接 DF,取 DF 中点 G (如图)ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上G.13、(2011?重庆)如图，梯形 ABCD 中，AD / BC，/ DCB=45 , CD=2 , BD 丄 CD.过点 C 作 CE 丄 AB 于 E,交对角线 BD 于 F，点 G 为 BC 中点，连接 EG、AF .(1) 求 EG 的长；(2) 求证：CF=AB+AF .ADC ；AB=2，求 DFP 的面积4、已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG ,分别交 BD、CD于点 E、F.(1) 求证：/ DAE= / DCE ；(

8、2) 当 CG=CE 时，试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.!D11、 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上一点，点 F 是边 BC 上一点，点G 是边 CD 上一点，BE=2ED , CF=2BF ,连接 AE 并延长交 CD 于 G,连接 AF、EF、 FG.给出下列五个结论： DG=GC ;/ FGC= / AGF :SAABF=S FCG : AF=2EF ;/AFB= / AEB .其中正确结论的个数是()A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个12、 如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE 丄 BC 于点

9、E, PF 丄 CD 于 点 F，连接 EF.给出下列五个结论： AP=EF :AP 丄 EF； 厶 APD 一定是等 腰三角形； /PFE=ZBAP :PD=2EC .其中正确结论的序号是Y R上任一点，AC 与 BD 是正方形 ABCD 的对角厘米，则 EF+EG=_。E 是 BC 上的一动点，过点 E 作 EF 丄 BDH，试证明 CH=EF+EG ；过点 E 作 EF 丄 BD 于点 F, EG 丄 AC 的延EG、CH 三者之间具有怎样的数量关系，直10、如图，已知正方形接 EF,若 BE=DF，点(1) 求证：DP 平分/(2) 若/ AEB=75 ,0AD AD图*3.如图，在正

10、方形 ABCD 中，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AD 的延长线上，且 BM=DN .点 E为 MN的中点， DE的延长线与 AC相交于点 F.试猜想线段 DF与4.已知，四边形 ABCD 是正方形，/ MAN=45 它的两边 AM、AN 分别交CB、DC 与点 M、N，连接 MN，作 AH 丄 MN，垂足为点 H(1) 如图 1,猜想 AH 与 AB 有什么数量关系？并证明；(2) 如图 2,已知/ BAC=45 AD 丄 BC 于点 D，且 BD=2 , CD=3，求 AD的长；小萍同学通过观察图 发现，ABM 和厶 AHM 关于 AM 对称，AHN 和厶 ADN 关于 AN 对称

11、，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行翻折变换，解答了此题你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？6.如图，正方形 ABCD，动点 E 在 AC 上，AF 丄 AC ,垂足为 A , AF=AE .(1) 求证：BF=DE ；(2) 当点 E 运动到 AC 中点时(其他条件都保持不变)，问四边形 AFBE 是什么特 殊四边形？说明理由.7.(2005?乌兰察布)图 1 是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的， 过点A1的直线分别与 BC1、BE 交于点 M、N，且图 1 被直线 MN 分成面积相等的上、下两 部分.ENCDAS AS1frFIIJIn2013年6月柯老师的初中数学正方形组

12、卷一 解答题(共 9 小题)1.以厶 ABC 的各边，在边 BC 的同侧分别作三个正方形. 他们分别是正方形 ABDI ,BCFE, ACHG，试探究：(1) 如图中四边形 ADEG 是什么四边形？并说明理由.(2) 当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是矩形？(3) 当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是正方形？图图5.在图 1 到图 3 中，点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，MPN 为直角三角 形，/MPN=90 正方形 ABCD 保持不动，MPN 沿射线 AC 向右平移，平移过 程中 P 点始终在射线 AC 上，且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E,

13、 PN 垂直于直线 BC 于点 F.(1)如图 1，当点 P 与点O 重合时，OE 与 OF 的数量关系为_ ；(2) 如图 2,当 P 在线段 OC 上时，猜想 OE 与 OF 有怎样的数量关系与位置关系？ 并对你的猜想结果给予证明；(3)如图 3,当点 P在 AC 的延长线上时，OE 与 OF 的数量关系为_ ；位置关系为_ .9.已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG , BD、CD于点 E、F.(1) 求证：/ DAE= / DCE ；(2) 当 CG=CE 时，试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论分别交2.如图，正方形

14、ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过 点 B,直角顶点 P 在射线 AC 上移动，另一边交 DC 于 Q.(1) 如图 1,当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系；并 加以证明；(2)如图 2,当点 Q 落在 DC的延长线上时，猜想并写出PB 与 PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想.hfI./Vj/yjX/c /-旨厂0 P /bA-LDD丙圏2圈3(2)求 MB、NB 的长；(3)将图 1 沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒(图 2)后， 求点 M、 N 间的距离.8.如图所示，有四个动点 P, Q , E, F 分别从正方形 AB

15、CD 的四个顶点出发，沿 着 AB , BC, CD , DA 以同样速度向 B, C, D , A 各点移动.(1) 试判断四边形 PQEF 是否是正方形，并证明；(2) PE 是否总过某一定点，并说明理由.参考答案与试题解析DC3EHD5BSCDBM=DNDE / AG ,四边形 ADEG 是平行四边形(一组对边平行且相等)2013年6月柯老师的初中数学正方形组卷易证/ DAG=90 然后由周角的定义求得BC 的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形 ABDI过点 M 作 MG / AD，与 DF/ MEG= / NED , ME=NE MEGNED ,MG=DN .点评：此题考查了正方形

16、，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质.此题综合性较强，注意数形结合思想.点评：本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点. 解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360 是什么四边形？并说明理由. 四边形 ADEG 是矩形？ 四边形ADEG 是正方形?四条边都相等”易证/ DAG=90 且的性质证得，AC= :AB .是平行四边形理由如下：四边形 ACHG 都是正方形，/ GAC= / EBC= / DBA=90 的余角).考点： 正方形的判定与性质； 全等三角形的判定与性质； 线段垂直平分线的性质 专题：探究型.分析： 一一.分析:

17、猜想：线段 DF 垂直平分线段 AC ,且DFJAC2证明：过点 M 作 MG / AD，与 DF 的延长线相交于点 G则 / EMG= / N, / BMG= / BAD ,2的延长线相交于点 G,作 GH 丄 BC,垂足为 H,连接 AG、CG .根据正方形 的性质和全等三角形的证明方法证明 AMGCHG 即可.解答：猜想：线段 DF 垂直平分线段 AC ,且 DF= AC ,/ BAC=135 (3)由正方形的内角都是直角AG=AD .由 CABDI 和 CACHG 解答：解：(1)图中四边形 ADEG/四边形 ABDI、四边形 BCFE AC=AG , AB=BD , BC=BE ,

18、/ ABC= / EBD (同为 /EBA 在BDE 和BAC 中，四边形 ABDI 是正方形， AD=寸 #AB .又/四边形 ACHG 是正方形,2.如图，正方形 ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过 点 B,直角顶点 P 在射线 AC 上移动，另一边交 DC 于 Q.(1)如图 1，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系；并 加以证明；(2)如图 2，当点 Q 落在 DC的延长线上时，猜想并写出PB 与 PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想.一.解答题(共 9 小题)1.以厶 ABC 的各边，在边BCFE, ACHG，试探究：

19、(1) 如图中四边形 ADEG(2) 当ABC 满足什么条件时(3) 当ABC 满足什么条件时AM=CH , AMG 也 CHG . GA=GC . 又/ DA=DC ,DG 是线段 AC 的垂直平分线/ / ADC=90 DA=DC ,(2)当四边形 ADEG 是矩形时，/ DAG=90 则 / BAC=360 - / BAD - / DAG - / GAC=360 - 45 - 90 90135 即当/ BAC=135。时，平行四边形 ADEG 是矩形；Q C考点：正方形的判定与性质； 全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定； 矩形的判定.分析：(1)根据全等三角形的判定定理 SAS 证

20、得BDE亠BAC ,所以全等三角形 的对应边 DE=AG .然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知/ EDA+ / DAG=180 易证 ED / GA ；最后由一组对边平行且相等”的判定定 理证得结论；(2)根据 矩形的内角都是直角3.如图，在正方形 ABCD 中，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AD 的延长线上，且 BM=DN .点E 为 MN 的中点，DE 的延长线与 AC 相交于点 F.试猜想线段 DF 与 线段 AC 的关系，并证你的猜想.AC=AG ,AC= . :AB .当/ BAC=135。且 AC= :AB 时，四边形 ADEG 是正方形.BD=EAZDBB=ZAB

21、C,IBE=EC BDEBAC ( SAS),DE=AC=AG , / BAC= / BDE ./ AD 是正方形 ABDI 的对角线，/ BDA= / BAD=45 / / EDA= / BDE - / BDA= / BDE - 45/ DAG=360 - / GAC - / BAC - / BAD=360 - 90 - / BAC - 45=225 - / BAC/ EDA+ / DAG= / BDE - 45+225 - / BAC=180(3)当四边形 ADEG 是正方形时， / DAG=90 且 AG=AD 由(2)知，当 / DAG=90。时，/ BAC=135 考点：正方形的判定

22、与性质；全等三角形的判定与性质.分析：(1)过 P 作 PE 丄 BC, PF 丄 CD，证明 Rt PQFBRt PBE，即可;(2)证明思路同(1)解答：(1) PB=PQ,证明：过 P 作 PE 丄 BC , PF 丄 CD , P, C 为正方形对角线 AC 上的点， PC 平分/ DCB , / DCB=90 (2) PB=PQ,证明：过 P 作 PE 丄 BC , PF 丄 CD , P, C 为正方形对角线 AC 上的点，PC 平分/ DCB , / DCB=90 PF=PE,四边形PECF为正方形，/ ZBPF+/QPF=90 /BPF+/BPE=90ZBPE=ZQPF,RtP

23、QFBRtPBE,PB=PQ.MG=BM .作 GH 丄 BC,垂足为 H，连接 AG、CG.四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=DA, ZBAD=ZB=ZADC=90/ZGMB=ZB=ZGHB=90四边形 MBHG 是矩形./ MG=MB ,四边形 MBHG 是正方形，MG=GH=BH=MB, ZAMG=ZCHG=90PF=PE,四边形PECF为正方形，ZBPE+ZQPE=90 ZQPE+ZQPF=90ZBPE=ZQPF,RtPQFBRtPBE,PB=PQ；BI0D圍EAKpF Q图 DF= 4C2即线段 DF 垂直平分线段 AC ,且 DF=JAC.2点评：本题综合考查了矩形的判

24、定和性质、正方形的判定和性质， 垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大， 但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力.4.已知，四边形 ABCD 是正方形，/ MAN=45 它的两边 AM、AN 分别交CB、DC 与点 M、N，连接 MN，作 AH 丄 MN，垂足为点 H(1) 如图 1,猜想 AH 与 AB 有什么数量关系？并证明；(2) 如图 2,已知/ BAC=45 AD 丄 BC 于点 D，且 BD=2 , CD=3，求AD 的长；小萍同学通过观察图 发现， ABM 和厶 AHM 关于 AM 对称， AHN和厶 ADN 关于

25、AN 对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图 进行翻折变换，解答了此题你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换(折叠 问题).分析：(1)延长 CB 至 E 使 BE=DN，连接 AE，由三角形全等可以证明AH=AB ； (2)作ABD 关于直线 AB 的对称ABE，作 ACD 关于直线 AC 的对称 ACF，延长 EB、FC 交于点 G,则四边形 AEGF 是矩形，又AE=AD=AF , 所以四边形AEGF 是正方形，设AD=x，贝 UEG=AE=AD=FG=x， 所以 BG=x -2；CG=x - 3；BC=2+3=5，

26、在 RtBGC 中，(x - 2)2+ (x - 3)2=52解之 得 X1=6, x2= - 1,所以 AD的长为 6.解答：(1)答：AB=AH ,证明：延长 CB 至 E 使 BE=DN，连接 AE ,四边形 ABCD 是正方形， / ABC= / D=90 / ABE=180 - / ABC=90 又/ AB=AD ,/在厶 ABE 和厶 ADN 中,AB二ADLBE=LM ABEADN (SAS), / 1 = / 2, AE=AN ,/ZBAD=90 /MAN=45Z1 +Z3=90 - ZMAN=45Z2+Z3=45即ZEAM=45 在 EAM 和厶 NAM 中，AE=AN问二翩

27、 EAM NAM ( SAS),又/ EM 和 NM 是对应边， AB=AH (全等三角形对应边上的高相等)(2)作ABD 关于直线 AB 的对称ABE ,作厶 ACD 关于直线 AC的对称 ACF ,/ AD 是厶 ABC 的高，ZADB=ZADC=90ZE=ZF=90 ,又/ZBAC=45ZEAF=90延长 EB、FC 交于点 G,则四边形 AEGF 是矩形,又/ AE=AD=AF四边形 AEGF 是正方形，由(1)、(2)知：EB=DB=2 , FC=DC=3 ,设 AD=x ,贝UEG=AE=AD=FG=x , BG=x - 2； CG=x - 3； BC=2+3=5 ,在 Rt BG

28、C 中，(x- 2)2+ (x - 3)2=52解得 X 仁 6 , x2= - 1,故 AD 的长为 6.圍点评：本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断,等.5.在图 1 到图 3 中，点 0 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，MPN为直角三角 形，ZMPN=90 正方形 ABCD 保持不动，MPN 沿射线 AC向右平移，平移过 程中 P 点始终在射线 AC 上，且保持 PM 垂直于直线 AB于点 E, PN 垂直于直线 BC 于点 F.(1) 如图 1，当点 P 与点 O 重合时，OE 与 OF 的数量关系为 OE=OF ；(2) 如图 2,当 P 在线段 OC 上时，猜想 O

29、E 与 OF 有怎样的数量关系与位题目的综合性很强，难度中置关系？ 并对你的猜想结果给予证明；(3)如图 3，当点 P 在 AC 的延长线上时，OE 与 OF 的数量关系为OE=OF ； 位置关系为 OE 丄 OF .考点：正方形的判定与性质； 全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质； 平移的性质.分析：(1)根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形BEOF 为正方形，从而得到结论；(2)当移动到点 P 的位置时，可以通过证明四边形BEPF 为矩形来得到两条 线段的数量关系；(3) 继续变化，有相同的关系，其证明方法也类似.解答：(1)解：OE=OF (相等)；(1 分)(2)解

30、：OE=OF , OE 丄 OF ； (3 分)证明：连接 BO ,在正方形 ABCD 中，O 为 AC 中点， BO=CO , BO 丄 AC ,ZBCA=ZABO=45 (4 分)/ PF 丄 BC ,ZBCO=45 ZFPC=45PF=FC./ 正方形 ABCD ,ZABC=90 / PF 丄 BC , PE 丄 AB ,ZPEB=ZPFB=90四边形 PEBF 是矩形， BE=PF. ( 5 分) BE=FC . OBEOCF , OE=OF ,ZBOE=ZCOF , ( 7 分) ZCOF+ZBOF=90ZBOE+ZBOF=90 ,ZEOF=90 OE 丄 OF . ( 8 分)(3

31、) OE=OF (相等)，OE 丄 OF (垂直).(10 分)点评：本题考查了正方形的性质，解题的关键是抓住动点问题，化动为静，还要大胆的猜想.6.如图， 正方形 ABCD ,动点 E 在 AC 上,AF 丄 AC ,垂足为 A , AF=AE .(1) 求证：BF=DE ；(2) 当点 E 运动到 AC 中点时(其他条件都保持不变)，问四边形 AFBE 是什么特 殊四边形？说明理由.考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.分析：(1)根据正方形的性质判定ADEABF 后即可得到 BF=DE ；(2)利用正方形的判定方法判定四边形AFBE 为正方形即可.解答：(1)证明：正方形 A

32、BCD , AB=AD, ZBAD=90 ,/ AF 丄 AC ,ZEAF=90ZBAF=ZEAD,/ AF=AE ,ADEABF , BF=DE ;(2)解：当点 E 运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形,理由：点 E 运动到 AC 的中点，AB=BC , BE 丄 AC , BE=AE= AAC ,2/ AF=AE , BE=AF=AE ,又 BE 丄 AC , / FAE= / BEC=90 BE / AF ,/ BE=AF ,得平行四边形 AFBE ,/ / FAE=90 AF=AE ,四边形 AFBE 是正方形.点评：本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正

33、方形的性质.7. (2005?乌兰察布)图 1 是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与 BCi、 BE 交于点 M、 N， 且图 1 被直线 MN 分成面积相等的上、下两 部分.(2) 求 MB、NB 的长；(3)将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒(图2)后，求点 M、N间的距离.考点：正方形的判定与性质；一元二次方程的应用；相似三角形的判定与性质. 专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合.分析：(1)本题可通过相似三角形 A1B1M 和 NBM 得出的关于 NB , A1B1,MB , MB1的比例关系式来求，比例关系式中 A1B1, BB1均为正方形的边长，长

34、度 都是 1，因此可将它们的值代入比例关系式中，将所得的式子经过变形即可得 出所求的值；(2)由于直线 MN 将图(1)的图形分成面积相等的两部分，因此 BMN 的可求出 MB+NB 的值，由此可根据韦达定理列出以MB , NB 为根的一元二次方程，经过解方程即可求出MB、NB 的值；(3)根据(2)的结果， 不难得出 B1M=EN， 由于折叠后 E 与 B 点重合，因 此 B1M=BN，那么四边形 B1MNB 是个矩形，因此 MN 的长为正方形的边长.解答：解：(1)T A1B1MNBM 且 A1B 仁 BB 仁 1,I百，即 _L_1 了 E- J整理，得 MB+NB=MB ?NB ,两边

35、同除以 MB?NB 得1R（2）由题意得一即 MB ?NB=5 ,又由（1）可知 MB+NB=MB ?NB=5 , MB、NB 分别是方程 x2-5x+5=0 的两个实数根.解方程，得 X1=，x2一-：；2 2/MBvNB,5 - Vs MB=, NB=；2 2(3)由(2)知 B1M-仁二 ,2 2EN=4-5+碇=需2 2 图(2)中的 BN 与图(1)中的 EN 相等， BN=B1M ；四边形 BB1MN 是矩形， MN 的长是 1.点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，一元二次方程的应用等知识点，综合性比较强.8.如图所示，有四个动点 P, Q , E, F 分别

36、从正方形 ABCD 的四个顶点出发，沿 着 AB , BC, CD , DA 以同样速度向 B, C, D , A 各点移动.(1) 试判断四边形 PQEF 是否是正方形，并证明；(2) PE 是否总过某一定点，并说明理由.考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质. 专题：动点型.分析：(1)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做 正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF 是否使正方形.(2)证 PE 是否过定点时，可连接 AC,证明四边形 APCE 为平行四边形，即 可证明 PE 过定点.解答：解：(1 )在正方形 ABCD 中，AP=BQ=CE=DF

37、, AB=BC=CD=DA , BP=QC=ED=FA .又 / BAD= / B= / BCD= / D=90 , AFPBPQ 也 CQEDEF . FP=PQ=QE=EF , / APF= / PQB .四边形 PQEF 是菱形，/ / FPQ=90 四边形 PQEF 为正方形./ AP 平行且等于 EC,四边形 APCE 为平行四边形./ O 为对角线 AC 的中点，对角线 PE 总过 AC 的中点.点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线.9.已知： 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 G 是 BC 延长线上一点， 连接 AG ,分别交 BD、CD 于点 E、F.(1) 求证：/ DAE= / DCE ；(2) 当 CG=CE 时， 试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角