数学表达式解析(前缀、中缀、后缀)

1、前缀、中缀、后缀表达式它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。举例：(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式- × + 3 4 5 6 前缀表达式3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式中缀表达式（中缀记法）中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表

2、达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。前缀表达式（前缀记法、波兰式）前缀表达式的运算符位于操作数之前。前缀表达式的计算机求值：从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与

3、后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。将中缀表达式转换为前缀表达式：遵循以下步骤：(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；(2) 从右至左扫描中缀表达式；(3) 遇到操作数时，将其压入S2；(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；(4-2) 否则，若优先级比栈顶

4、运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；(5) 遇到括号时：(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。例如，将中缀表达式“1+(2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：扫描到的元素S2(

5、栈底->栈顶)S1 (栈底->栈顶)说明55空数字，直接入栈-5-S1为空，运算符直接入栈)5- )右括号直接入栈45 4- )数字直接入栈×5 4- ) ×S1栈顶是右括号，直接入栈)5 4- ) × )右括号直接入栈35 4 3- ) × )数字+5 4 3- ) × ) +S1栈顶是右括号，直接入栈25 4 3 2- ) × ) +数字(5 4 3 2 +- ) ×左括号，弹出运算符直至遇到右括号(5 4 3 2 + ×-同上+5 4 3 2 + ×- +优先级与-相同，入栈15 4 3

6、 2 + × 1- +数字到达最左端5 4 3 2 + × 1 + -空S1中剩余的运算符因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。后缀表达式的计算机求值：与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：(

7、1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；(3) 将5入栈；(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；(5) 将6入栈；(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。将中缀表达式转换为后缀表达式：与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；(2) 从左至右扫描中缀表达式；(3) 遇到操作数时，将其压入S2；(4) 遇到运算符时，比较其与

8、S1栈顶运算符的优先级：(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；(5) 遇到括号时：(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；(7) 将S1中剩余的运算符

9、依次弹出并压入S2；(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。例如，将中缀表达式“1+(2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：扫描到的元素S2(栈底->栈顶)S1 (栈底->栈顶)说明11空数字，直接入栈+1+S1为空，运算符直接入栈(1+ (左括号，直接入栈(1+ ( (同上21 2+ ( (数字+1 2+ ( ( +S1栈顶为左括号，运算符直接入栈31 2 3+ ( ( +数字)1 2 3 + (右括号，弹出运算符直至遇到左括号×1 2 3 + ( ×S1栈顶为左括号，运算

10、符直接入栈41 2 3 + 4+ ( ×数字)1 2 3 + 4 ×+右括号，弹出运算符直至遇到左括号-1 2 3 + 4 × +-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-51 2 3 + 4 × + 5-数字到达最右端1 2 3 + 4 × + 5 -空S1中剩余的运算符因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNo

11、tation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：注：(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。java view plain copy1. package qmk.simple_test;  2. import java.util.Scanner;  3. import java.

12、util.Stack;  4. /* 5.  * Example of converting an infix-expression to 6.  * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). 7.  * Written in 2011-8-25 8.  *&#

13、160;author QiaoMingkui 9.  */  10. public class Calculator   11.       public static final String USAGE = "= usage =n"  12.       

14、      + "input the expressions, and then the program "  13.             + "will calculate them and show the re

15、sult.n"  14.             + "input 'bye' to exit.n"  15.       /* 16.        * param args 17.

16、        */  18.       public static void main(String args)   19.             System.out.println(USAGE);  20.   

17、;          Scanner scanner = new Scanner(System.in);  21.             String input = ""  22.      &#

18、160;      final String CLOSE_MARK = "bye"  23.             System.out.println("input an expression:");  24.      &#

19、160;      input = scanner.nextLine();  25.             while (input.length() != 0  26.              

20、     && !CLOSE_MARK.equals(input)   27.                   System.out.print("Polish Notation (PN):");  28.    

21、60;              try   29.                         toPolishNotation(input);  30. 

22、0;                  catch (NumberFormatException e)   31.                      &

23、#160;  System.out.println("ninput error, not a number.");  32.                    catch (IllegalArgumentException e)   33.  &

24、#160;                      System.out.println("ninput error:" + e.getMessage();  34.            

25、0;       catch (Exception e)   35.                         System.out.println("ninput error, invalid 

26、;expression.");  36.                     37.                   System.out.print("Reverse&#

27、160;Polish Notation (RPN):");  38.                   try   39.                   

28、;      toReversePolishNotation(input);  40.                    catch (NumberFormatException e)   41.       

29、60;                 System.out.println("ninput error, not a number.");  42.                 

30、60;  catch (IllegalArgumentException e)   43.                         System.out.println("ninput error:" + e.getMessage(

31、);  44.                    catch (Exception e)   45.                    

32、60;    System.out.println("ninput error, invalid expression.");  46.                     47.         

33、0;         System.out.println("input a new expression:");  48.                   input = scanner.nextLine();  

34、49.               50.             System.out.println("program exits");  51.         52.    

35、;   /* 53.        * parse the expression , and calculate it. 54.        * param input 55.        * throws Ille

36、galArgumentException 56.        * throws NumberFormatException 57.        */  58.       private static void toPolishNotation(String input)  

37、59.                   throws IllegalArgumentException, NumberFormatException   60.             int len = input

38、.length();  61.             char c, tempChar;  62.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>(); 

39、0;63.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  64.             Stack<Object> expression = new Stack&

40、lt;Object>();  65.             double number;  66.             int lastIndex = -1;  67.       

41、60;     for (int i=len-1; i>=0; -i)   68.                   c = input.charAt(i);  69.        

42、;           if (Character.isDigit(c)   70.                         lastIndex = readDoubleRevers

43、e(input, i);  71.                         number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1);  72.      &#

44、160;                  s2.push(number);  73.                         i =

45、0;lastIndex;  74.                         if (int) number = number)  75.            &

46、#160;                  expression.push(int) number);  76.                        

47、; else  77.                               expression.push(number);  78.          

48、;          else if (isOperator(c)   79.                         while (!s1.isEmpty()  80.

49、                                    && s1.peek() != ')'  81.    

50、                                 && priorityCompare(c, s1.peek() < 0)   82.   &

51、#160;                           expression.push(s1.peek();  83.                &

52、#160;              s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop();  84.                         

53、;  85.                         s1.push(c);  86.                   

54、0;else if (c = ')')   87.                         s1.push(c);  88.           

55、         else if (c = '(')   89.                         while (tempChar=s1.pop() 

56、!= ')')   90.                               expression.push(tempChar);  91.       

57、                        s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar);  92.               

58、60;               if (s1.isEmpty()   93.                            &#

59、160;        throw new IllegalArgumentException(  94.                                &

60、#160;          "bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");  95.                    

61、             96.                           97.          

62、0;         else if (c = ' ')   98.                         / ignore  99.

63、                    else   100.                         throw new

64、 IllegalArgumentException(  101.                                     "wrong character '

65、;" + c + "'");  102.                     103.               104.   

66、0;         while (!s1.isEmpty()   105.                   tempChar = s1.pop();  106.        

67、;           expression.push(tempChar);  107.                   s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar);  108.   

68、            109.             while (!expression.isEmpty()   110.                 

69、;  System.out.print(expression.pop() + " ");  111.               112.             double result = s2.pop();

70、60; 113.             if (!s2.isEmpty()  114.                   throw new IllegalArgumentException("input is

71、60;a wrong expression.");  115.             System.out.println();  116.             if (int) result = result)  117.

72、                   System.out.println("the result is " + (int) result);  118.             else 

73、 119.                   System.out.println("the result is " + result);  120.         121.      

74、 /* 122.        * parse the expression, and calculate it. 123.        * param input 124.        * throws IllegalArgumentExcep

75、tion 125.        * throws NumberFormatException 126.        */  127.       private static void toReversePolishNotation(String input)  128. &

76、#160;                 throws IllegalArgumentException, NumberFormatException   129.             int len = input.len

77、gth();  130.             char c, tempChar;  131.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();  

78、132.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  133.             double number;  134.     

79、60;       int lastIndex = -1;  135.             for (int i=0; i<len; +i)   136.           &#

80、160;       c = input.charAt(i);  137.                   if (Character.isDigit(c) | c = '.')   138.  &#

81、160;                      lastIndex = readDouble(input, i);  139.                 

82、60;       number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex);  140.                         s2.push(number); 

83、; 141.                         i = lastIndex - 1;  142.                

84、;         if (int) number = number)  143.                               Sys

85、tem.out.print(int) number + " ");  144.                         else  145.          &

86、#160;                    System.out.print(number + " ");  146.                  

87、  else if (isOperator(c)   147.                         while (!s1.isEmpty()  148.         

88、;                            && s1.peek() != '('  149.           

89、0;                         && priorityCompare(c, s1.peek() <= 0)   150.          

90、60;                    System.out.print(s1.peek() + " ");  151.                  

91、;             double num1 = s2.pop();  152.                            

92、0;  double num2 = s2.pop();  153.                               s2.push(calc(num2, num1, s1.pop(); &

93、#160;154.                           155.                      

94、60;  s1.push(c);  156.                    else if (c = '(')   157.             

95、60;           s1.push(c);  158.                    else if (c = ')')   159.    

96、60;                    while (tempChar=s1.pop() != '(')   160.                 

97、60;             System.out.print(tempChar + " ");  161.                         

98、      double num1 = s2.pop();  162.                               double num2 = 

99、s2.pop();  163.                               s2.push(calc(num2, num1, tempChar);  164.      &#

100、160;                        if (s1.isEmpty()   165.                   

101、                  throw new IllegalArgumentException(  166.                      

102、0;                    "bracket dosen't match, missing left bracket '('.");  167.          

103、60;                      168.                           169.

104、                    else if (c = ' ')   170.                   

105、0;     / ignore  171.                    else   172.                 &

106、#160;       throw new IllegalArgumentException(  173.                                 

107、;    "wrong character '" + c + "'");  174.                     175.        &#

108、160;      176.             while (!s1.isEmpty()   177.                   tempChar = s1.pop

109、();  178.                   System.out.print(tempChar + " ");  179.                 &

110、#160; double num1 = s2.pop();  180.                   double num2 = s2.pop();  181.             

111、;      s2.push(calc(num2, num1, tempChar);  182.               183.             double result = s2.pop();

112、  184.             if (!s2.isEmpty()  185.                   throw new IllegalArgumentException("input is

113、 a wrong expression.");  186.             System.out.println();  187.             if (int) result = result)  1

114、88.                   System.out.println("the result is " + (int) result);  189.             else

115、60; 190.                   System.out.println("the result is " + result);  191.         192.     

116、60; /* 193.        * calculate the two number with the operation. 194.        * param num1 195.        * param num2 

117、;196.        * param op 197.        * return 198.        * throws IllegalArgumentException 199.        */  200

118、.       private static double calc(double num1, double num2, char op)  201.                   throws IllegalArgumentException

119、   202.             switch (op)   203.             case '+':  204.          &

120、#160;        return num1 + num2;  205.             case '-':  206.               &

121、#160;   return num1 - num2;  207.             case '*':  208.                   return&

122、#160;num1 * num2;  209.             case '/':  210.                   if (num2 = 0) thr

123、ow new IllegalArgumentException("divisor can't be 0.");  211.                   return num1 / num2;  212.      

124、       default:  213.                   return 0; / will never catch up here  214.       &

125、#160;       215.         216.       /* 217.        * compare the two operations' priority. 218.     &

126、#160;  * param c 219.        * param peek 220.        * return 221.        */  222.       private st

127、atic int priorityCompare(char op1, char op2)   223.             switch (op1)   224.             case '+':&#

128、160;case '-':  225.                   return (op2 = '*' | op2 = '/' ? -1 : 0);  226.    

129、60;        case '*': case '/':  227.                   return (op2 = '+' | op2 = '

130、-' ? 1 : 0);  228.               229.             return 1;  230.         231. &#

131、160;     /* 232.        * read the next number (reverse) 233.        * param input 234.        * param start&#

132、160;235.        * return 236.        * throws IllegalArgumentException 237.        */  238.       private static int

133、0;readDoubleReverse(String input, int start)  239.                   throws IllegalArgumentException   240.          

134、60;  int dotIndex = -1;  241.             char c;  242.             for (int i=start; i>=0; -i)  

135、 243.                   c = input.charAt(i);  244.                   if (c = 

136、9;.')   245.                         if (dotIndex != -1)  246.             &

137、#160;                 throw new IllegalArgumentException(  247.                       

138、;              "there have more than 1 dots in the number.");  248.                  

139、       else  249.                               dotIndex = i;  250.    

140、;                else if (!Character.isDigit(c)   251.                        &#

141、160;return i + 1;  252.                    else if (i = 0)   253.              &

142、#160;          return 0;  254.                     255.              &

143、#160;256.             throw new IllegalArgumentException("not a number.");  257.         258.         259.   &

144、#160;   /* 260.        * read the next number 261.        * param input 262.        * param start 263.    

145、;    * return 264.        * throws IllegalArgumentException 265.        */  266.       private static int readDouble(String i

146、nput, int start)  267.       throws IllegalArgumentException   268.             int len = input.length();  269.      

147、60;      int dotIndex = -1;  270.             char c;  271.             for (int i=start; i<

148、len; +i)   272.                   c = input.charAt(i);  273.                   i

149、f (c = '.')   274.                         if (dotIndex != -1)  275.         

150、                      throw new IllegalArgumentException(  276.