033平面向量的数量积(复习设计)(师)

1、专题033:平面向量的数量积（复习设计）（师）考点要求：1. 考查平面向量数量积的运算.2. 考查利用数量积求平面向量的夹角、模.3. 考查利用数量积判断两向量的垂直关系.4. 紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系.知识结构：两个向量的夹角0=0°时，a已知两个非零向量a和b（如图），作OA=a,OB=b,则ZAOB=6（0°<旅180°）叫做向量a与b的夹角，当90°,我们说a与b垂直，记作a±b.与b同向;当X180°时，a

2、与b反向；如果a与b的夹角是注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0料K180。b=|a|b|cos(1)ea=ae=|a|cos0;(2)a±b?ab=0;ab(4)cos0=丽（3）当a与b同向时，ab=|a|b|;当a与b反向时，ab=|a|b|，特别的，aa=|a|两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为。，则数量|a|b|cos0叫做a与b的数量积（或内积），记作ab,即a。，规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0.向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的数量积.向量数量积的性质设a、b都是非

3、零向量，e是单位向量，。为a与b（或e）的夹角.贝U或者|a|=寸3;(5)|ab|<|a|b|.向量数量积的运算律(1)ab=ba;(2)冶b=Xab)=a(?b);(3)(a+b)c=ac+bc.平面向量数量积的坐标运算设向量a=(x，y1),b=(x2,Y2),向量a与b的夹角为0,贝U(1)ab=x*+y%;(2)|a|=寸+y2;(3)cosa,b=寸并、2十寸;(4)a±b?ab=0?X1X2+yiy2=0.7.若A(X1,yi),B(X2,V2),AB=a,贝U|a|=q(x一X2j+(y一V2f(平面内两点间的距离公式).8.特别注意：若a,b,c是实数，则ab

4、=ac?b=c(a乒0);但对于向量就没有这样的性质，即若向量a,b,c若满足ab=ac(a乒0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量.数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，aB与bC的夹角应为120°,而不是60°.基础自测：1. 已知|a|=3,|b|=2,若ab=3,则a与b的夹角为().丸A.-2. 3解析设a与b的夹角为。，贝Ucos0=扁|

5、j=T2=-2.又0V兀0=孕答案C若a,b,c为任意向量，mR,则下列等式不一定成立的是().3. A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)c=ac+bcC.m(a+b)=ma+mbD.(ab)c=a(bc)答案D(2011广东)若向量a,b,c满足a/b,且a±c,贝Uc(a+2b)=().4. A.4B.3C.2D.0解析由alb及ale,得bJc,贝Uc(a+2b)=ca+2cb=0.答案D已知向量a=(1,2),向量b=(x,2),且a±(a-b),则实数x等于().5. A.9B.4C.0D.4解析a-b=(1x,4).由a1(ab),得1x+8=0.x

6、=9.答案A(2011江西)已知|a|=|b|=2,(a+2b)(ab)=2,贝Ua与b的夹角为.解析由|a|=|b|=2,(a+2b)(ab)=-2,得ab=2,cos<a,b=又a,b>q0,兀所以a,b=答案:|a|b|2X2233例题选讲：1.求两平面向量的数量积例1:如下图，在AABC中，AB=BC=3,4BC=30，,AD是边BC上的高，贝UADAC的值等于()A.0B.9C.4D.-9【思路点拨】充分利用已知条件的AB=BC顼,/ABC项。气借助数量积的定义求出.【答案】B【解析】因为ABK三，JABCM。七AD是边BC上的高，AD=3ADA=|A1AC'co

7、sCAD=学生练习：在AABC中,AB=3,AC=2,BC=秒，则ABAC等于(D)2C.O33D.22.利用平面向量数量积求夹角与模【例2】？已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.求a与b的夹角。；求|a+b|和|ab|.分析：由平面向量数量积的运算法则得ab的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角.解(1)(2a3b)(2a+b)=61,解得ab=-6.cose=b=n=1,又OV旅.A专|a|b|4x32'"3.(2)|a+b|2=a2+2ab+b2=13,|a+b|=13.|a-b|2=a22ab+b2=37.|ab|=丽小结：在数量积的基本运算

8、中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|=qwa要引起足够重视，是求距离常用的公式.学生练习：设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=2,则|a+2b|等于A.2B.3C.5D.73.平面向量的数量积与垂直问题【例3】？已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,x)(xR).(1)若a±b,求x的值；若a/b,求|ab|.分析：利用aJb?xx2+yy2=O及aZb?xy2x2y=O,求解.解若a±b,则ab=(1,x)(2x+3,-x)=1X(2x+3)+x(-x)=O.整理，得x22x-3=O,解得x=1或x=3.若a/b,则有1x(-x)x(2x+3

9、)=O,即x(2x+4)=O,解得x=O或x=2.当x=。时，a=(1,O),b=(3,O),a-b=(-2,O),精品文档精品文档-|a-b|=寸(-2j+0，=2.当x=2时，a=(1,-2),b=(1,2),ab=(2,-4),.|ab|=2g综上，可知|a-b|=2或2g.小结：已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值.在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算.学生练习：已知平面内A,B,C三点在同一条直线上,实数m

10、,n的值.解由于A,B,C三点在同一条直线上，I”一则AC/AB,AC=OC-OA=(7,-1m),AB=OBOA=(n+2,1m),7(1m)(-1m)(n+2)=0,即mn+n5m+9=0,OA=(2,m),OB=(n,1),OC=(5,1)，且OALOB,求又.OA±OB,2n+m=0.dm=6,联立，解得iIn=3m=3,或53ln=2.巩固作业:A组：1.(2013年高考湖北卷(文)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(-2,1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为B.315C.一盛315D.【答案】A本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为AB=(2,1),C

11、D=(5,5)，所以ABCD=(2,1)(5,5片15252=5.2o所以向量AB在CD方向上的投影为777777acd153/2ABcos<AB,CD>=CDL，选A.5.222.(2013年高考大纲卷(文3)已知向量m=(赤+1,1),n=(舄+2,2),若(m+n)(mn),则赤=()A.Y【答案】B而+n)_L(n)=(2兀+3,3)(一1,1)=(2人+6)=0，所以人=3,故选B.3.(2013年高考辽宁卷(文9)已知点0(0,0),A(0,b),B(a,a3).若AABC为直角三角形，则必有B.b=a3+】aC.(ba3)b_a3=0【答案】CD-ba3+ba3一=0

12、a若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以3ba=0；若B为直角，则利用KobKab=1得ba3_=0,所以选C4.(2013年高考福建卷(文)在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(4,2),则该四边形的面积为(A.5【答案】C本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长.因为AC，BD=修(4)+2乂2=0，所以AC_LBC,所以四边形的面积为匝匝=VEe)2+22=5,故选C5.(2013年高考重庆卷(文14)0A为边，0B为对角线的矩形中，0A=(3,1),0B=(2,k)，则实数k=.【答案】4本题考查向量的坐标运算以及向量的数量积的运算。在矩形中，0A=(-3,1),0B=(-2

13、,k),所以TTTTTTAB=0B0A=(2,k)(3,1)=(1,k1)，因为AB_L0A，所以ABOA=0,即一3+k1=0,解得k=4。6.(2013年高考山东卷(文15)在平面直角坐标系xOy中，已知0A=(1,t),OB=(2,2),若NABO=90°,则实数t的值为【答案】5BA=(3,t2),因为ZABO=90o，所以BA，0B=(3,t2)，(2,2)=-6+2t4=0，故t=5。5. (2010安徽)ABC的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,cosA=.13(1)求ABAC；若c-b=1,求a的值.分析：先求sinA,再利用面积公式求bc,最后利用数量积及余弦定理可解决.解：由cosA=11，得sinA=12=&.（2分）13.13厂13又2bcsin