2018届高三数学(文理通用)不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版

1、2018届高三理科数学不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版【简介】不等式选讲是新课标的新增内容，也是选考内容.从能力要求上看，主要考查学生了解不等式、应用不等式的能力，分析问题和解决问题的能力.(1)考查含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数的最值、恒成立问题；(2)考查了不等式的证明，会用综合法，分析法等证明不等式，往往难度不大，加以适当的训练是完全可以掌握的 .13年高考试题比较】不等式选讲内容，在高考题中以选作的形式出现，难度一般不大，比较这三年的高考题，出现频率较高的有：解绝对值不等式，作含绝对值的函数图像，含参的绝对值恒成立有解问题，不等式证明，一般以分析法证明为主.【必备基础知识

2、融合】1 .绝对值不等式的解法(1)含绝对值白不等式| x|< a与| x|> a的解集不等式a>0a= 0a<0|x|<a(一 a, a)?|x|>a(一巴a) u (a, +oo)(8, 0) U (0 , +OO)R(2)| ax+ b| w c( c>0)和 | ax+ b| > c ( c>0)型不等式的解法 | ax+ b| < c? cw ax+ bw c； I ax+b| > c? ax + b"或 ax+bw c；(3)| x a| 十 | x b| >c(c>0)和 | x a| + |

3、 x- b| < c( c>0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想2 .含有绝对值的不等式的性质(1)如果a, b是实数，则| a| | b| <|a±b| < | a| + | b| ,当且仅当abO时,等号成立.(2)如果 a, b, c是实数，那么| a一 c| w | a b| + | b c|,当且仅当(a b)( b c) -0时，等号成立3 .不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、

4、放缩法等(1)比较法求差比较法知道a>b? a- b>0, a<b? a- b<0,因此要证明a>b,只要证明ab>0即可,这种方法称为求差比较法求商比较法由a>b>0? a>1且a>0, b>0,因此当a>0, b>0时要证明a>b,只要证明g>1即可，这种方法称为求商比较法.bb(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推

5、理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由 因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设;第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.4 .几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：设a, b, c, d都是实数，则(a2 + b2)( c2 + d2)个(ac+ bd) 2(当且仅当ad= bc时，等号成立).柯西不等式的向量形式：设 a , 3是两个向量，则| a | 3 | >| a 3 ,当且仅当3是零向量，或存 在实数k,使a = k3时，等号成立.柯西不

6、等式的三角不等式：设xi, yi, X2, y2, x3, ysCR贝U q( Xi X2)( yi - y2)2 + q( X2 - X3)( y2 y3)2 22(Xi X3)+ (yi y3).柯西不等式的一般形式：设ai, a2, a3, , ,an, bi, b2,b3, ,bn 是实数，则(a2+a2+, + a2)(b2+b2+ , + b2) >(aibi + a2b2+，+anbn)2,当且仅当bi = 0(i=i,2, ,n)或存在一个数 k,使得 a = kbi(i =i, 2, , , n)时，等号成立.(2)算术一几何平均不等式 ai + a2+, + an n

7、 j .一 . ，, .右ai, a, , , an为正数，则口> jaia2, an,当且仅当 ai=a2=, = an时，等万成立.【解题方法规律技巧】典例 i： (i)对任意 x, yCR,求 |xi|+|X|+|y i|+|y+i| 的最小值.(2)对于实数 X, V，若 |x 1| wi, |y-2| <i,求 |x2y+i| 的最大值.解（lyarWR,，,一1|十|X 亨I） - x|二l,，恒 I i|+m nlCy- 1）-&+1）1=2,A|x-l|+M+|y-l|+b?+l|Sl+2=3.i|+|4+HT|+w+1 的最小值为 3.（2中制+1 尸1）

8、衿l）|Wb1|十|2&-2） + 2|Wl +2a2I+2W5,即，为+1的最大值为 5.【规律方法】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）利用绝对值三角不等式，即| a| 十 | b|，a± b|，a| | b| ； （3）利用零点分区间法.典例 2：设 a, b, c>0,且 ab+bc+ca=1.求证：（1） a+b+o/3.证明（1）要证口 +力+G5,由于&b c>Of因此只需证明g+b+cp三3一即证：d + + d +而帅+既+四=1故需证明： + 川 +卢+ 2（£必+如+8）孑3佃。+ b

9、c+cd）.即证：出+0 +0三ab+bc+cd而这可以由油+乩+wW宁+ 宁+宁=# +松+曲当且仅当=8=。时等号成立）证得. ，原不等式成立一、/应十十飞万一二由于（1）中已证Q+3+ £小厘因此要证原不等式成立3只需证明-?三孑 即证+川堡+cjS W L工即证+ m伍 + 曰向ab+bc+ca.【规律方法】 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.典例3：已知a>0, b>0, a+b= 1,求证：111a+b+犷8；(2) 1

10、+1+ b 广 9.证明(1)a+b=1, a>0, b>0,11111a+b二I1= I1abababab2?+ b=2a+b a+bb a2- |+ 4>4a bbXa+4=8.+ 6+旷8(当且仅当a=b=2时等号成立).1+1|：=1+1+三+1,b a b ab由知 a+b+28.”+a)(11+ b 广 9.【规律方法】.合理进行转(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.在运用这些性质时，要注意性质成(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的立的前提条件.典例4

11、：已知x, y, z均为实数.(1)若 x+y + z=1,求证： 8+13y+ 2 +依+3w(2)若 x+2y+3z = 6,求 x2 + y2 + z2的最小值.(1)证明 因为(寸3升1 + 山p+2+$£+3)*82+ P+1 +3j+2+3z+3)27.所以收n +y+i +收W 3 s . ， i当且仅当工=3，=0时取等号.解 因为6=J+&+铲+ N .岳不前，所以/ + " +六竽，当且仅当X苦三即尸木尸*三衬，R + "+夕有最小值学【规律方法】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左

12、边或右 边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a2+a2+,+ a2)9+，+, + ' !> (1 +1 +, + 1)2= n2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.典例5:已知不等式1-5| + |2x + 1| >ax-l （1）当。.=1时，求不等式的解集;（2）若不等式的解集为R,求江的范围.【答案】（I）"8,2； （n）是.【解析】试题分析:f(x) = |2x- 5| + |2x + 1| =试题解析：（1）由已知,1x-可得2,则一4万斗4万一1< x < -2

13、1x ,解得 25-4x + 4,，<-1 5hf < # M 2 254t -4tx> 22,则依解得综上得，所求不等式的解集为 此（2）不妨设函数¥*一1,则其过定点T）,如图所示,由（1）可得点6-(-1)-4 < a <-0214- 4 £ ct <,即.14所以，所求实数门的范围为fA【规律方法】.(2)数形结合是解决与绝对值(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决有关的综合问题的常用方法 .典例6: (1)解关于*的不等式X优十4|+3<。(2)关于*的不等式|罔+ 2优-勺|<讨有解

14、，求实数门的范围。【答案】(1) a >9.【解析】试题分析:分类讨论丈+ 4环比+ 4之0两种情况求解(2)分类讨论去绝对值，求分段函数的最 小值耳+4<0J j: + 4> 0解析： 17 + 4) + 3<0或QM) + 3<(w<_2_V7礴_3»<T所以原不等式的解集是(一%一2 一行)。卜3,-1)（3x 1团工之9 依题意，求1#+2|9一出的最小值，fCx）= ie-xOSx<9 IB x < 0所以工)最小值9.【规律方法】1 .含参数的绝对值不等式的恒成立，有解问题是高考的热点内容之一，此类问题常与二次函数、对

15、数函数、三角函数结合命题，需要有一定的综合知识的能力.2 .解答此类问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法.典例7:已知函数八疗工13万十2|(1)解不等式 fW<4-x-l(2)若。且门-01-八幻工4恒成立，求实数。的取值范围.【解析】K试题分析】将原不等式化为7 = |3x +2| +| + 1| < +利用零点分段法去绝对值，将函额转化为 分段函数来求解得不等式的解集Q)构造函数以分=I工-m -代工),利用零点分段法去绝对值求得00的最 大值T这个最大值小于里由此解得Q的取值范围一试题解析】一 丁生 T/a

16、)<4-|x-1I>I 3x+2 I -H jc + 1I< 4fG) < 4T jc - 11=1 3/ +2 I +1 / + 11< 4ll)小寺瓦-1”。当工一了 一3x - 2 x -F 1 < 43/ 2-x + l<4，解之得"5 ., a 5 . 上 3-< X < X < 2任当一占公式1一乂工Ml时3x + 2-x + l <43x + 2-jc+1<4解丁得产工二三工 <二 3。3。当工 >1# A 1时 3x + 2 + I -1 <43# +2 + # 1 V4 无解X

17、 6 I - « lx E I I综上J不等式的解集为 I I2x + 2 + a. x < SM -lx-al -I 3x + 2 1= _4x_ 2 4-a1 -1<x <令ga)=lx-口 /则n于=g(x)皿工二:十以当。时，3.-+ a < 4 a < 欲使不等式恒成立，只需 言 ，即 =.a > n匚。口玉三a (0,闿又因为a ",所以 '，即 '典例 8.已知函数 Z«=|2x-O| + |x-3|? S) = |x_1|(I)解不等式双6E5；(n)若对 %E* ,都存在勺乏,使得=以勺), 【

18、答案】(I) -2工工工4；( n)-8. 2 "10.十8). 【解析】试题分析：(I)由题意解不等式K-II+2且£即可得到解集.(n<-2x- 2a. x > a求实数门的取值范围.)将问题转化为函数函数 /任)的值域M是函数成约的值域”的子集处理即可.试题解析：(1)依题意得卜_11十2式，即咫-1|式3, . - - 3<x-1<3解得-2主工M 4.，不等式的解集为一4川.(II)由题意得函数 以普的值域为N =二+8),设函数八工)的值域为M由题意得ME当日 = 6时，2 =同*-闵，此时M=。，+s),不合题意;f(x) =当日E时,

19、fa-3>22由MC N得( u>6 ,解得口之10；a + 3- 3xpc < -当白V E时,ax + 3 - a, < x < 3 3x-a- 3a > 33->22由N得( u<6 ,解得得a<2.综上”2或门之1口.所以实数口的取值范围为(-8、2 U1O.典例9:已知函数f (X )=x a + 2x1»=匕-3, +8)此时 ,M = 3 , +s)此时,+ 8),(1)当a =1时，求f (x)M2的解集;(2)若f(X )42x +1的解集包含集合I1 11求实数a的取值范围.一2'上述不等式可化为x _

20、 1x -1 2x -1 < 2解得x<-11x-2 或 2x<2x _1或4x三3L xeirijl丁x)w|2x+l|的解集包含L2，当 L2时，不等式力4氏+恒成立,即k -4+白-1%2x+1在' ' b上恒成立,|x«| + 2x1 <2x+l f 即 x-a <22 < xa2尤+2在T列上恒成立.(Dz £0£("+2)*.f 3；所以实数。的取值范围是典例 10.设函数 f (x )= x +a - x -a2 a (a w R )(D当a =1时，求不等式f (x户1的解集；(n)若对

21、任意a = I-1,1 1,不等式f (x )eb的解集为R ,求实数b的取值范围IL 3【答案】(i) (-00,1；(n) b >1.【解析】试题分析：当 a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集；利用绝对值不等式的性质进行化简 f (x )= x +a x -a2 -a <|(x +a )(x -a2 -a )，计算出 f (x *ax Wb即可求出结果解析：(I)当 a =1 时，x +1 _x _2 <1x：-1-1 三 x 三2. x 2，或，或,-x -1 x -2 <1 x 1 x -2 <1 x 1 - x 2 < 1= x W (-&#

22、176;°, -1 )或 x W -1,1 或 x W 1综上知：解集为x三,，11.(n)不等式 f(x)wb的解集为R u f(xaxWbf (x ) = x+a - x - a2 -a <|(x +a )-(x -a2 - a* a2 +2a所以f x =max恒成立a2 +2a <b对任意 a w i-1,1 113设 g (a )= a2所以 g(amax=1,所以 b>1.一 1 '+ 2a,a- .1-1-, 3 J【易错易混温馨提醒】一、对绝对值三角不等式不熟练，最值的处理会比较麻烦f易错1:已知函数22的最大值为4.（1）求实数m的值；n

23、n m 22m > OjO < jc < B（2）若2求l"Z|的最小值.【答案】（1）m=±4；（2）4.【解析】【试题分析】。南用绝对值不等式，消去您可求得实数m的值Q由（1）得血=4利用配凑法结合基本 不等式可求得最小值.【试题解析】由卜疗工| M |x-Qx-m）| = ML当且仅当挪）“且当|利>制时取等号，此时灯取最大值帆I =4,即摭=±4.（2）由（1）及m AQ可知耽=4,，口 <jc <2,则或+高=2（由+言） = 2（"士）=（如七、十”力=2+管+£ 宜 2 + 2j5 = 4，（当

24、且仅当2 上=/即/ = 1时，取7 ）常十官的最小值为水二、绝对值里和绝对值外均有参数时，且讨论不好去绝对值时一一，一一，4易错2：已知函数f(x)=x+ m+m.x(I)当m=0时，求函数f (x )的最小值;(n)若函数f(x)M5在xw 1,4 上恒成立，求实数 m的取值范围【答案】(1)f (x min =4；(2)实数m的取值范围是91解析】试题分析:(I )结合题意利用基本不等式求解即可.(11)由题意得工+上一团+始4 5在xeL4上恒成立，转化 X为2州-5+在xw 1,4上恒成立.构造函数14.求得函数区(x)的最值后可XX得结论.试题解析:(I > 当m=0时，4,

25、4I44f (冷=x+=卜+ 之2 k = 4 ,当且仅当|x|= ?即工=±2时等号成立，xxV xx4(n)由题思得 x+m+mW5在x= 1,4上恒成立, xa 4.一 r. . i .即x+ -m <5 -m在x匚1,4 上恒成立, x4., i .所以m5Wx+ mW5m在x= 1,4上恒成立， x4即2m -5 Mx + E5在x= 1,4上恒成立， x设g(x产x +4,xw 1,4，则g(x)在1,2】上单调递减，在 b,4上单调递增, xg(x L =g (2 )=4,又 g(1 )=5,g(4 )=5 , 一 9解得mW-,2所以实数m的取值范围是*,912

26、三、系数不适合绝对值三角不等式时的拆分易错3:已知函数f") = |x+2| + |2大+。| , 口 E凡(1)当* =，解不等式汽切之2 ；(2)求证：2 .£出工-1或犬主【答案】(1)S . (2)见解析.【解析】试题分析：<1)当a = 1,不等式即f (#)二忱+ 21 + |2x H-l|> 2,零点分段可得不等式的解集为狂设< -1> -i<2)由题意结合绝对值不等式的性质可得：，=反+ 2| +忱+ ；|+艇+ ：| >R-;|h-|x+S|2-j| =|(a-2>->|a-2|-：|a|.试题解析：<1)当口 = lj rco = |x 4- 2| + |2i + l| 之 2of X2或卜2<、<U或|犬鱼一：-3x -3 > 2 I - + 1 > 2.3x+3 >20 x < -2或一2 < x < -1或x >O工三- 1或二> 一；，所以不