2022年(精编资料推荐)概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐概率论与数理统计第一章概率论的基本概念§ 2样本空间、随机大事1大事间的关系AB就称大事B 包含大事A ，指大事A 发生必定导致大事B 发生AB x xA或xB 称为大事A 与大事 B 的和大事， 指当且仅当A ， B 中至少有一个发生时，大事AB 发生AB x xA且xB 称为大事A 与大事 B 的积大事，指当A ，B同时发生时，大事AB 发生A B x xA且xB 称为大事A 与大事 B 的差大事，指当且仅当A 发生、 B 不发生时，大事A B 发生AB，就称大事A 与 B 是互不相容的，或互斥

2、的，指大事A 与事件 B 不能同时发生，基本领件是两两互不相容的ABS且 AB，就称大事A 与大事 B 互为逆大事，又称大事A 与大事 B 互为对立大事2运算规章交换律 A结合律 ABBB) CA ABBAA BC ABCA BC 安排律 A（ BC ） AB) AC ABC) AB AC 徳摩根律ABA§ 3频率与概率B ABAB定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，大事A 发生的次数n A 称为事件 A 发生的 频数 ，比值 n An 称为大事A 发生的 频率概率：设 E 是随机试验， S 是它的样本空间， 对于 E 的每一大事A 给予一个实数， 记为 P（A）

3、，称为大事的概率1概率P A 满意以下条件：（ 1） 非负性 ：对于每一个大事A0P A1（ 2） 规范性 ：对于必定大事SP S11精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐（ 3）可列可加性 ：设A1 , A2 , An 是两两互不相容的大事，有nPAk k 1nP Ak （ n 可k 1以取）2概率的一些重要性质：（ i ） P 0（ ii ）如A1 ,A2 , An 是两两互不相容的大事，就有nPAk k 1nP Ak （

4、 n 可以取）k 1（ iii ）设 A ， B 是两个大事如AB ，就P BAP BP A ， P B P A （ iv ）对于任意大事A，P A1（ v ）P A1PA（逆大事的概率）（ vi ）对于任意大事A， B 有P AB P AP B P AB§ 4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个大事发生的可能性相同eiA如事件A包含k个 基本事件， 即1 ei ei ，里2ki 1， i 2,， i k 是1,2，n中某 k个不同的数，就有P AkP ei j j 1k A包含的基本事件数nS中 基本事件的总数§ 5条件概率（ 1

5、）定义：设 A,B 是两个大事，且P A0 ，称P B | AP ABP A为大事 A 发生的条件下大事B 发生的 条件概率（ 2）条件概率符合概率定义中的三个条件；1 非负性：对于某一大事B ，有P B | A0；2 规范性：对于必定大事S， P S | A13 可 列 可 加 性 ： 设B1, B2 ,是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 ， 就 有PBi A i 1P Bi A i 1（ 3）乘法定理设P A0 ，就有P ABP B P A | B 称为乘法公式2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精

6、品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐（ 4）全概率公式：P AnP Bi P A | Bi i 1贝叶斯公式：PBk| APBk P A | Bk nPBi P A | Bi i 1§ 6独立性定义设 A ，B 是两大事，假如满意等式P AB P APB ，就称大事A,B 相互独立定理一设 A ， B 是两大事，且P A0 ，如 A， B 相互独立，就P B | AP B定理二如大事 A 和 B 相互独立，就以下各对大事也相互独立：A 与 B ，A 与B，A 与 B其次章随机变量及其分布§ 1 随机变量定义设随机试验的样本空间

7、为Se.XXe 是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称 XXe为随机变量§ 2 离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量P Xxk pk 满意如下两个条件（1） pk0 ，（ 2）Pk =1k 12 三种重要的离散型随机变量（ 1）分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是P Xk p（k1 - p）1-k ， k0,1 （0p1，就称 X 听从以 p 为参数的分布或两点分布；（ 2）伯努利试验、二项分布设试验 E 只有两个可能结果： A 与 A ，就称 E 为伯努利试验.设 PAp（0p

8、1 ，此时 PA 1- p .将 E 独立重复的进行n 次，就称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验；P Xknkn-kp q， kk0,1,2，n 满意条件（ 1） pk0 ，（ 2）Pkk 1=1 留意3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐到np k q n-k 是二项式（pkq）n 的绽开式中显现pk 的那一项，我们称随机变量X 听从参数为 n， p 的二项分布；（ 3）泊松分布设 随 机 变 量X所 有 可 能 取

9、 的 值 为0,1,2， 而 取 各 个 值 的 概 率 为P Xk k e-,kk.0,1,2, 其中0 是常数，就称X 听从参数为的泊松分布记为X （）§ 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数F x PXx,-x称为 X 的分布函数分 布 函 数F xP Xx ， 具 有 以 下 性 质 1F x是 一 个 不 减 函 数（ 2 ）0 F x1，且 F 0, F 1（ 3） F x0F x, 即F x是右连续的§ 4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：假如对于随机变量X 的分布函数F（ x ），存在非负可积函数f x ，使对于任意

10、函数x 有Fxxf（ t） dt,-就称 x 为连续性随机变量，其中函数fx 称为 X的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度f x 具有以下性质，满意（1）x2f x0, 2-f xdx1；，（ 3）P x1Xx2 f xdx ；（ 4）如x1f x 在点 x 处连续，就有F xf x2,三种重要的连续型随机变量1 匀称分布如连续性随机变量X 具有概率密度f x1， a b - axb，就成 X 在区间 a,b上听从0，其他匀称分布 .记为2 指数分布X U （ a， b）如连续性随机变量X 的概率密度为f x1 e- x， x.0其中0 为常数， 就称 X0，其他听从参数为的指数分布；（

11、3）正态分布4精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐如 连 续 型 随 机 变 量X的 概 率 密 度 为f x x）221e2，-x，2其中，（0为常数，就称X 听从参数为，的正态分布或高斯分布，记为X N（，2）特殊，当0，1 时称随机变量X 听从标准正态分布§ 5 随机变量的函数的分布定理设随机变量X 具有概率密度f x x，-x, 又设函数g x 到处可导且恒有g, x0，就Y=g X 是连续型随机变量，其概

12、率密度为fY yf X h y0h , y ,y， 其他第三章多维随机变量§ 1 二维随机变量定义设 E 是一个随机试验， 它的样本空间是Se.XXe 和 YYe是定义在S 上的随机变量，称XXe 为随机变量，由它们构成的一个向量（X ，Y ）叫做二维随机变量设 （ X ， Y ） 是 二 维 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 数x ， y ， 二 元 函 数F（ x， y）PXxYy 记成 PXx， Yy 称为二维随机变量（X ， Y）的分布函数假如二维随机变量（ X ，Y ）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，就称（ X ， Y ）是离散型的随机变量；我们称P Xxi，

13、Yy j pij ，i， j1,2，为二维离散型随机变量（X， Y ）的分布律；对于二维随机变量 （ X ，Y ）的分布函数F（ x， y），假如存在非负可积函数f（ x ，y），使对于任意x ，y 有 F（x， y）yxf（ u， v） dudv，就称（ X ，Y ）是连续性的随机变量，-函数 f（ x ， y）称为随机变量（X ， Y ）的概率密度，或称为随机变量X 和 Y 的联合概率密度；§ 2 边缘分布二维随机变量 （ X ，Y ）作为一个整体， 具有分布函数F（ x， y）.而 X 和 Y 都是随机变量， 各自也有分布函数，将他们分别记为F（Xx, F（Yy），依次称为二维

14、随机变量（ X ，Y ）5精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数；pipijj 1PXx i ， i1,2，p jpiji 1PYy i ， j1,2，分别称pip j 为（ X ，Y ）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律；f X xf x, y）dyf Y yf x, y） dx 分别称f X x ，fY y为 X ，Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度；§ 3 条件分布定义

15、设（ X ， Y ）是二维离散型随机变量，对于固定的j ，如PYy j 0,就称 P Xxi Yy j P Xxi ,Yy j pij,i1,2,为在 Yy j 条件下PYy j p j随机变量 X 的条件分布律， 同样PYy j XX i P Xxi , Yy j pij , j1,2,P Xxi pi为在 Xxi 条件下随机变量X 的条件分布律；设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率密度为f x, y ，（ X ， Y ）关于 Y 的边缘概率密度为f Y y ，如对于固定的y，fY y0，就称f x, y fY y为在 Y=y 的条件下X 的条件概率密度，记为f X Y xy =f x,

16、 yf Y y§ 4 相互独立的随机变量定义设 F（ x， y）及FX x， FY y 分别是二维离散型随机变量（X ，Y ）的分布函数及边缘分布函数.如对于全部x,y 有P Xx, YyP XxPYy ，即F x, yFX xFYy ，就称随机变量X 和 Y 是相互独立的；对于二维正态随机变量（X ，Y ），X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 0§ 5 两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y的分布设 X,Y 是二维连续型随机变量，它具有概率密度f x, y .就 Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为f X Y zf zy, y） dy 或f X Y zf x, z

17、x）dx6精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐又如 X 和 Y 相互独立，设（X ，Y ）关于 X ，Y 的边缘密度分别为f X x,f Y y 就f X Y zf X zy） f（Yydy和 f XY zf X x） fY zxdx 这两个公式称为f X ,fY 的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍旧听从正态分布2， ZY的分布、 ZXXY的分布设X,Y 是二维连续型随机变量，它具有概率密度f x, y ，就

18、ZY ，ZXY X仍为连续性随机变量其概率密度分别为f Y X zx f x, xzdxf XY z1 f x, xz dx 又如 X 和 Y 相互独立，设（X ， Y ）关于 X ， Y 的边缘密度分别x为 f X x,f Y y 就可化为fY Xzf X xfY xzdxf XY z1 fx xfY z dx xX3 MmaxX，Y 及Nmin X ,Y的分布设 X ， Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX x, FY y 由于M maxX，Y不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z 故有PMzPXz, Yz 又由于 X 和 Y 相互独立，得到MmaxX ， Y的分布

19、函数为Fmax zF X z FY zN min X ,Y 的分布函数为Fminz11F X z 1FY z第四章随机变量的数字特点§ 1数学期望定义设离散型随机变量X 的分布律为P Xxk pk ，k=1,2 ，如级数xk p k 肯定k 1收敛， 就称级数xk p kk 1的和为随机变量X 的数学期望， 记为E X ，即E X xk pki设连续型随机变量X 的概率密度为f x ，如积分xf x dx 肯定收敛，就称积分7精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - -

20、 - - - - - - - - -专业资料举荐xf xdx 的值为随机变量X 的数学期望，记为E X ，即E X xf x dx定理设 Y 是随机变量X 的函数 Y=g X g 是连续函数 （ i ）假如 X 是离散型随机变量，它的分布律为P Xx k pk ，k=1,2 ，如g xk ）pkk 1肯定收敛就有E Y E g X g xk ）pkk 1（ ii ）假如 X 是连续型随机变量，它的分概率密度为f x ，如g xf xdx 肯定收敛就有 E Y E g X g x f xdx数学期望的几个重要性质1 设 C 是常数，就有E C C2 设 X 是随机变量，C 是常数，就有E CX

21、CE X 3 设 X,Y 是两个随机变量，就有E XY E X E Y ；4 设 X， Y 是相互独立的随机变量，就有22§ 2 方差E XY E X E Y 定义设 X 是一个随机变量，如E XE X 存在，就称E XE X 为 X 的方差，记为D（ x ）即 D（ x） = E XE X ，在应用上仍引入量D x，记为x ，2称为标准差或均方差；D X E XE X 2E X 2 EX 2方差的几个重要性质1 设 C 是常数，就有D C 0,2 设 X 是随机变量，C 是常数，就有D CX C2 D X ，D XC DX3 设 X,Y 是两个随机变量，就有D XY DXDY2EX

22、- EXY- EY特别，如 X,Y 相互独立，就有D XY D X D Y 4 D X 0 的充要条件是X 以概率 1 取常数 EX ，即P XE X 1切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E X 2 ，就对于任意正数，不等式8精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐P X -22 成立§ 3 协方差及相关系数定义量E XE X YE Y 称为随机变量X与 Y的协方差为Cov X , Y ，即Cov X , YE

23、XE X YEY E XY E X E Y 而XYCovX ， Y ）称为随机变量X 和 Y 的相关系数DXDY对于任意两个随机变量X 和 Y ， D XY _D X D Y 2Cov X ,Y 协方差具有下述性质1 Cov X ,Y Cov Y , X ,Cov aX , bYabCov X ,Y 2 Cov X1X 2 ,YCov X 1, YCov X 2 ,Y 定理1XY12XY1的充要条件是，存在常数a,b 使 P Yabx1当XY0 时，称 X 和 Y 不相关附：几种常用的概率分布表数学分布参数分布律或概率密度方差期望两点分布0p1Cn1P Xkpk 1p1k , k0,1 ，pp

24、1p二项式分布k0p1P Xk np k 1p nk , k0,1,n ，npnp1p 泊松分布0P Xke, kkk.0,1,2,几何分布0p1P Xk1p k1 p, k1,2,11p2pp匀称分ab布f x1, abaxbab，2ba 20，其他129精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐指数分0f x1 e x, x02布0, 其他正态分布0f x x21e2 222第五章大数定律与中心极限定理§ 1 大数定律弱大数定