考研数学真题答案

1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设函数f(x)在(-,+)连续，其2阶导函数f(x)的图形如下图所示，则曲线yf(x)的拐点个数为()(A) 0(B)1(C) 2(D)3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f(x)的图形可知，曲线yf(x)存在两个拐点，故选(C).2、设y1e2xx1ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybyce

2、x的一个特解,23则()(A) a 3,b1,c1.(B) a 3,b 2,c1.(D) a3,b2,c1.(D)a3,b2,c1.【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】1 ”1V0【详解】e2x,-ex为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+ab0的根，从而2 3a123,b122,再将牛I解yxex代入方程y3y2ycex得：c1.3、若级数an条件收敛，则xn 1J3与x3依次为哥级数nanx1n的:n1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】【详解】因为an条件收敛，故x2为哥级

3、数n1anx1n的条件收敛点，进而得n1anx1n的收敛半径为1,收敛区间为0,2,又由于哥级数逐项求导不改变收敛区间，故n1nanx1n的收敛区间仍为n1点、发散点.3依次为哥级数nann1x1n的收敛4、设D是第一象限中曲线2xy1,4xy1与直线yx,yJ3x围成的平面区域,函数f(x,y)在D上连续，则f(x,y)dxdyD1(A) 2dsin12f(rcos,rsin)rdr42sin21(C)3dsin12f(rcos,rsin)dr42sin2【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】1(B) 2dsi；2f(rcos,rsin)rdr42sin21(D3d、sin2f

4、(rcos,rsin)dr42sin2【详解】由yx得,；由yJ3x得，2.由2xy1得，2rcossin1,r由4xy1得,4r2cossin1,r1.2sin2所以f(x,y)dxdyD13dsiVf(rcos,rsin)rdr42sin21115、设矩阵A12a,b14a21d,若集合d21,2,则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为(A) a,d(B) a,d(C)a,d(口a,d【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】1111【详解】A,b12ad2214adAx b有无穷多解R(A) R(A,b) 3a1或a2且d1或d26、设二次型f(x,X2,X3)在正交

5、变换xPy下的标准形为2y；22y2 V3,其中p (ee,e3)，若Q(e, a,0),则 f(X1,X2,X3)在正交变换 xQy下的标准形为(A)2y： y2 vy(C) 2y： y2 y；【答案】(A)【考点】二次型【难易度】222(B) 2y1 V2 yy222(D) 2y1 V2 yy【详解】由x Py,故fXT AxyT(PTAP)y222_ T _2y1 y2 yy 且：P AP2000 100 01PC,QTAQCT(PTAP)CTATT222所以fxAxy(QAA)y2y1y2yy,故选7、若A,B为任意两个随机事件，则(A) P(AB) P(A)P(B)(B) P(AB)

6、 P(A)P(B)(C) P(AB)P(A)P(B)(D)P(AB)P(A)P(B)22【答案】(C)【考点】【难易度】【详解】故选8、设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY1,DX3,则E(A)-3(B)【答案】(D)【考点】【难易度】【详解】(C)-5(D)5EX2XY2XEX2EXY2EXDXE22EX二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、则0lncosx2x12【考点】极限的计算【难易度】【详解】limx0Incosxlimln(1x0cosx1)-2xcosx12x12x22x10、7sinx【考点】积分的计算【难易度】x)dx【详解】2(s

7、n工-21cosxx)dx2o2xdx11、若函数zz(x,y)由方程ezxyz+xcosx2确定,则dz(0,1)【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令F(x, y,z)xyzxcosx2,贝uFxyz1sinx,Fy又当x0,y1时，z0,所以_zx(0,1)Fxz1,Fzy(0,1)Fy一0,因而dzFz(0,1)dx12、设是由平面xyz1与三个坐标平面所围成的空间区域，则(x2y3z)dxdydz入1【答案】14【考点】三重积分的计算【难易度】【详解】由轮换对称性，得1o(x+2y+3z)dxdydz=6qzdxdydz=60zdz0dxdyWWDz其中Dz为平面z=z截空间区域W所

8、得的截面，其面积为1(1-z)2.所以1o(x+2y+3z)dxdydz=6qzdxdydz=6并WW2(1-z)2dz=32z2+z)dz=：20L-12LMMO00L13、n阶行列式00L0202MM22-12【答案】2n12【考点】行列式的计算【难易度】【详解】按第一行展开得2-12R+(-1广#2n-J./讨T2-L2(2%+2)+2=2iD2+22+2=2"+2,-+-+2=2n+1-214、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0,1,1,0),则P(XYY0)入1【答案】12【考点】【难易度】【详解】Q(X,Y) N(1,0,1,1,0),X N(1,1)Y N(

9、0,1),且 X,Y 独立X 1 N(0,1) P XY Y 0P (X 1)Y 0P X 1 0,Y0 P X 1 0, Y11111 02 2 2 2 2三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答牌纸,指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数 f(x) x a ln(1 x) bx sin x, g(x)f (x)与g(x)在x0是等价无穷小,求a , b , k值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】f (x) xaln(1 x)bxsin xbx3!f(x)与 g(x)3kx3是等价无穷小12131+a0ab0b2akk3

10、16、(本题满分10分)设函数在f(x)定义域I上的导数大于零，若对任意的XoI,曲线yf(x)在点(,f(Xo)处的切线与直线xXo及x轴所围成的区域的面积为4,且f(0)2,求f(x)的表达式.【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：处的切线方程为：与轴的交点为：时，则，因此，.即满足微分方程：，解得：.又因，所以，故.17、(本题满分10分)已知函数f(x,y)xyxy,曲线C：x2y2xy3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故gradf(x,y)1y,1x

11、故f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为J1y2(1x)2,其中x,y满足x2y2xy3,2222_即就求函数z(1y)(1x)在约束条件xyxy30下的最值.构造拉格朗日函数F(x,y,)(1y)2(1x)2(x2y2xy3)2(1x)2xx令-F2(1y)2yx0可彳#(1,1),(1,1),(2,2),(1,2)yx2y2xy30其中z(1,1)4,z(1,1)0,z(2,1)9z(1,2)综上根据题意可知f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3.18、(本题满分10分)(I)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)'=u'(x)v(x)u(x)v(

12、x)'(n)设函数u1(x),u2(x).un(x)可导,f(x)u1(x)u2(x).un(x)，写出f(x)的求导公式.【考点】导数定义【难易度】【详解】19、(本题满分10分)已知曲线L的方程为zJ2xy,起点为A(0,J2,0),终点为B(0,J2,0),计算曲线积zx,分IL(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dz【考点】曲线积分的计算【难易度】xcos,【详解】曲线L的参数方程为y72sin,从一到一y,22zcos,IL(yz)dx2222(zxy)dy(xy)dz2(、2sincos)sin、.2sin.2cos(cos22sin2)sind2，2sin221si

13、n2sin2.3sind2.2sin2d22a02sin2d20、(本题满分11分)设向量组1,2,3是3维向量空间？3的一个基212k3，222,31(k1)3°(I)证明向量组1,2,3是？3的一个基;(n)当k为何值时，存在非零向量在基1,2,2,3下的坐标相同，并求出所有【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】(I)(1,2,2,3)02k因为所以2k2k3线性无关,2,3是？3的一个基。(H)设，P为从基1,2,3到基3的过渡矩阵，又设在基2k1,2,3下的坐标为(X1,X2,X3)T，则在基1,2,13下的坐标为PX，1一_由xPx，得PxX，即(PE)x01010102k 0 k1 12k k10,并解得xc0,c为任意常数。1从而c1c3,c为任意常数。21、(本题满分11分)1-200b003102-3设矩阵A-133相似于矩阵B1-2a(i)求a,b的值.(n)求可逆矩阵P,使得P1AP为对角阵.【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】【详解】由相似于则解得当特征向量当则特征向量所以得22、(本题