在自身仓库容量有限条件下的随机存贮策略

1、在自身仓库容量有限条件下的随机存贮策略摘要本文旨在通过建模的方法针对贮存和销售问题，研究在仓库容量有限，且允许缺货的条件下建立一个贮存管理模型。通过对期望值的分析，讨论了库存量随时间和销售量的变化，对库存费的影响。并求出最优解，使得总损失费用达到最低。首先对L的范围进行分类讨论，在随机到货时间X和L两个变量同时作用下，分出五种情况进行讨论。通过求和公式和期望值的运用，得到单商品贮存模型。再针对某个大型超市给出的三种商品销售情况和货物到达时间，运用该模型求出三种商品各自相应的最优订货点。再考虑实际情况中多种商品需要同时订货的情形下，依据此模型进一步推广，得出在同时订购M种商品时的最优订货点。关键

2、词： 仓库容量，贮存管理，数学期望，随机到货一、 问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高，也影响利润。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。 1.问题一给出信息：某商场销售的某种商品，市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为；每次进货的订货费为常数与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为，且；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成

3、损失，单位商品的损失记为；每次订货，设货物在X天后到达，交货时间X是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为，每次到货后使这种商品的存贮量补充到固定值为止，且；在销售过程中每当存贮量降到时即开始订货。要求给出使总损失费用达到最低的订货点（最优订货点）的数学模型。2.问题二给出某个大型超市的三种商品的相关真实数据，要求按问题一所建立的模型分别计算出这三种商品各自相对应的最优订货点。3. 实际生产生活中，订货的情形会和问题一描述的有很大差别，会遇到库存容量有限、多种商品需同时订货的情形，这时需要充分利用库存体积。多种商品的订货流程和规则类似问题一中一种商品订货的情形。要求建立模型制定出最优的订

4、货方案使商场的总损失费用达到最低。二、基本假设1. 假设每次到货后，每次货物补充所需的时间可忽略不计，销售时会先销售租 来仓库中的货物。2. 假设商品在贮存和销售过程中不会过期，不会变质，不影响货物的正常销售。3. 支付的费用按天结算，每天结束时支付，若未结算前销售完毕，则不支付该 天的费用。4. 各项费用不会随时间的变化而变化。三、符号说明商品的销售速率每次进货的订货费自身仓库单位商品每天的存贮费用租借仓库单位商品每天的存贮费用缺货时单位商品每天的损失费用每次订货的交货时间租赁仓库存贮量的销售时间销售的最长时间订货前的销售时间自身仓库存贮该商品的最大容量该商品的最大存贮量该商品的订货点商品的

5、最优订货点平均每天的损失费用四、问题分析4.1问题一的分析该问题要求对商场订货的方案进行优化处理，假设某商场对某种商品进行订货，其中涉及到的成本有订货费、自己仓库的存贮费、租赁仓库的存贮费以及出现缺货时而减少销售所造成的损失，且交货时间使随机的，存贮容量为有限值,在销售过程中每当存贮量降到时即开始订货。我们将问题分为三种情形，分别列出不同情形下损失费用和之间的关系式，并利用求平均每天所损失费用的期望最小值，给出使总损失费用达到最低的订货点（最优订货点）的数学模型,从而求得最优的订货点。4.2 问题二的分析本问在问题一建立模型的基础上，对来自某大型超市的三种商品的真实数据进行分析，首先对给出的数

6、据交货时间进行处理，判断其服从于哪种分布,并根据其分布特点求得的期望，将其代入问题一建立的模型，分别计算出三种商品各自相对应的最优订货点。4.3 问题三的分析本问要求多种商品同时订货的情况下，在考虑充分利用存贮体积的前提下，对模型进行综合分析，这是需要考虑各种商品体积之和不能大于仓库总容积（自身仓库中商品的体积之和不能大于自身仓库容积；租借仓库中商品的体积之和不能大于租借仓库的容积）。且还要考虑各种商品的销售速率不同对体积变化的影响，当各种商品的体积之和降到L时，各种商品同时进货，即每一种商品到达订货点的时间相同。五、模型的建立和求解5.1 问题一在问题中，商品的销售过程中商品需求是确定的，即

7、销售速率是不变的，仓库的最大存贮量为固定值。每次进货的订货费为常数，需要重点分析的是货物的存贮费和缺货条件造成的损失费。首先，根据具体问题，定义销售周期为从货物最大存贮容量销售至下一次货物补充到存贮容量最大值之间的时间段。租赁其它仓库存贮量的销售时间为；为销售的最长时间；为订货前的销售时间，计算使对它们向下取整。考虑一个销售周期内可能存在的不同情况大致有三种：情况一、整个销售周期内销售的商品均来自租赁的仓库，参数之间的关系为： 假设产生的平均每天的损失费用为,且是关于变量和的函数。通过计算可得每天损失的费用为：情况二、还未销售完租借仓库的货物就开始订货，在销售自己仓库的时候货物到达，不出现缺货

8、现象，此时参数的条件为： 通过计算得到：情况三、还未销售完租借仓库的货物就开始订货，缺货时货物才到达。此时的参数条件为： 通过计算得到：情况四、在一个销售周期内，先销售租赁仓库里的货物，再销售自己仓库里的货物时开始订货，且不会出现缺货现象，此时的参数条件为： 通过计算可得：情况五、在一个销售周期内，先销售租赁仓库里的货物，在销售自己货物的时候开始订货，且出现了缺货现象，参数关系为： 通过计算可得每天损失的费用为：假设服从某一分布，且的数学期望表达式为,，将其代入上面五个损失费用表达式，可以得到关于订货点的函数表达式，令其对求导，可以得到的最小值，即为所求的最优订货点。5.2 问题二问题二中，要

9、对利用问题一所建立的模型对三组具体数据进行分析，计算相应的最优订货点 ，以康师傅精装巧碗香菇炖鸡面为例，具体步骤如下：5.2.1商品一康师傅精装巧碗香菇炖鸡面的具体数据为：=12盒/天；=10元；=0.01元/盒.天；=0.02元/盒.天；=0.95元/盒.天；=40盒；=60盒。共有连续的36次订货后到达时间天数记录如下：3 3 7 1 2 3 3 0 3 4 6 3 1 4 3 3 2 5 2 3 2 5 3 2 3 3 0 3 4 3 1 4 5 4 3 1。首先对订货到达的天数利用软件SPSS进行分析，判断其分布类型。并求出数学期望。总数均值均值的标准误差中值标准差方差362.9722

10、0.253531.521022.313对数据进行分析可以得知三个实际问题中的交货时间都服从泊松分布，可以看出“康师傅”的订货天数服从参数为2.97的泊松分布，所以它的数学期望。因为到货的天数为整数，所以为2天，将数据带入第一个问题中的模型，得到相应的值为,判断得到的值是否满足 的相互约束，如果不满足则应该舍弃值，并在中选取最小的即为最优值。具体步骤如下，主要运用maple软件进行分析，将本个实际问题的数据带入情况一的参数条件：对进行求解可以发现无解，此情况舍去。将数据带入情况二的参数中由于为整数，可以解得的取值范围为。关于的函数为：利用maple进行计算可得与的关系图像如下：当时，此时最小，为

11、2.82。即此时的损失费用为2.82元每天。继续将数据带入到情况三，参数条件为：此时无解。将数据带入情况四，参数条件为： 解得的取值范围为。关于的函数为：利用maple计算计算可得与的关系图像如下： 第四种情况下，当时，此时最小，为2.82。即此时的损失费用为2.82元每天。将数据带入到情况五，参数条件为：解得的取值范围为。关于的函数为：利用maple计算计算可得与的关系图像如下：有图像可知当为13到23时，的值最小，此时的为2.256。综上可知，商品一的最优订货点为，即当康师傅精装巧碗香菇炖鸡面的库存量降到13到23盒时，便开始订货，此时损失的费用最小。5.2.2 商品二对商品二心相印手帕纸

12、进行分析同商品一，具体数据为=15盒/天；=10元；=0.03元/盒.天；=0.04元/盒.天；=1.50元/盒.天。共有连续的43次订货后到达天数记录如下：4 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 4 3 2 3 2 2 4 2 3 4 3 3 2 3 2 3 2 2 1 3 2 5 3 2 4 2 2。利用SPSS软件对到货天数进行分析可得到以下结果：总数均值均值的标准误差中值标准差方差432.53490.1303720.854930.731运用maple软件进行分析，将本个实际问题的数据带入情况一的参数条件：解得的取值范围为。关于的函数为：利用maple计算计算可得

13、与的关系图像如下：由图像可知的取值范围为时，值恒定为6.3。将数据带入情况二的参数中由于为整数，可以解得的取值范围为。关于的函数为：利用maple进行计算可得与的关系图像如下：由图表可知，到货时间的数学期望为，在进行具体计算时对到货时间向下进行取整，可知，将数据带入得到最优订货点为39，即当心相印手帕纸的库存量为39时，开始进货，此时损失费用最小。5.2.3商品三商品三中汇香米的数据为=20袋/天；=10元；=0.06元/袋.天；=0.08元/袋.天；=1.25元/袋.天；=20袋；=40袋。共有连续的61次订货后到达天数记录如下：3 4 4 2 3 3 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1

14、 1 1 1 1 2 2 5 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 5 6 3 4 3 1。利用SPSS软件对到货时间进行分析可得：总数均值均值的标准误差中值标准差方差611.95080.1486321.160841.348由图表可知，到货时间的数学期望为，在进行具体计算时对到货时间向下进行取整，可知，将数据带入得到最优订货点为40，即当中汇香米的库存量为40时，开始进货，此时损失费用最小。综合以上结果可知三种商品的最优订货时间点位35,39,40。5.3 问题三5.3.1 模型的建立 问题三与问题一有如下不同：(1) 商品为个，而问题一的模型只有一个商品。(2)六、模型的评价与推广模型的评价：优点：1.本文从理论上介绍了随机规划的一般性表示形式和期望值模型。通过对数据进行分类讨论处理，使数据的可分析性大大提高，数学期望值的应用提高了数据处理的准确性，减少误差。通过对所给出的一组随机到货天数进行数学期望值的估计，对数据蕴藏信息作出科学、合理、贴切的评价。2.该模型充分考虑到实际情况中贮存费的支付方式，每天的存贮费用是在该天结束后支付的，取以天为单位的整数，符合实际情况。3.问题三在要求多种商品同时订货的情况下，综合考虑各个商品的销售速率，体积变化