、模糊数学教学课件、

1、1模糊数学绪论模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如模糊现象：如 “今天天气很热今天天气很热”，“小伙子很帅小伙子很帅”，等等等。等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。 2年

2、轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊概念导致模糊现象模糊数学绪论模糊数学绪论3产生产生1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）（扎德） 发表了文章发表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想基本思想用属于程度代替属于或不属于。用属于程度

3、代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于另一个人属于秃子的程度为秃子的程度为0.3等等.模糊数学绪论模糊数学绪论4模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 模糊产品模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、人工智能、控制、决策、专家系统

4、、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论模糊数学绪论5模糊数学绪论模糊数学绪论 课堂主要内容课堂主要内容一、基本概念一、基本概念二、主要应用二、主要应用1. 模糊聚类分析模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类对所研究的事物按一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。状，对土壤进行分类。62.模糊模式识别模糊模

5、式识别已知某类事物的若干标准模型，已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。一类模型。模糊数学绪论模糊数学绪论例如：苹果分级问题例如：苹果分级问题苹果，有苹果，有I级，级，II级，级，III级，级，IV级级四个等级。四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。73.模糊综合评判模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价从某一事物的多个方面进行综合评价模糊数学绪论模糊数学绪论例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，

6、板书清晰清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面四方面给出给出很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好四层次的评价四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解解称为原问题的模糊最优解8模糊数学模糊数学模糊集合及其运算模糊集合及其运算模糊聚类分析模糊聚类分析模糊模式识别模糊模式识别模糊综合评判模糊综合评判模糊线性

7、规划模糊线性规划9一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：具有某种特定属性的对象集体。具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中的每个对象中的每个对象u称为称为U的的元素元素。模糊集合及其运算模糊集合及其运算10. uAA. uAuAu模糊集合及其运算模糊集合及其运算11在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，

8、则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：Au Au ),( 1 , 0:uuUAA 其中其中 AuAuuA , 0 , 1)( 函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。A 模糊集合及其运算模糊集合及其运算非此及彼非此及彼12模糊集合及其运算模糊集合及其运算亦此亦彼亦此亦彼UA模糊集合模糊集合 ,A元素元素 x若若 x 位于位于 A 的内部，的内部， 则用则用1来记录，来记录，若若 x 位于位于 A 的外部，的外部， 则用则用0来记录，来记录，若若 x 一部分位于一部分位于 A 的内部，一部分位于的内部，一部分位于 A 的外部，的外部，则用则用 x 位于位于 A 内部的长度

9、来表示内部的长度来表示 x 对于对于 A 的隶属程度。的隶属程度。13 0, 1 0, 1 特征函数特征函数隶属函数隶属函数二、模糊子集二、模糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射1 , 0)( ,1 , 0: xxUAA 确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函AA A数数， 称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。)(xA xA14模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者AA 是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用A来表示来表示 和和 。AA 模糊集合及其运

10、算模糊集合及其运算)(xA 越接近于越接近于0, 表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越小；的程度越小；)(xA 越接近于越接近于1, 表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越大；的程度越大；)(xA 0.5, 最具有模糊性，过渡点最具有模糊性，过渡点15模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211 这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。iixxA)(ix)(ixA如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合组成一个小数的集合”可表示为可表示为4032 . 028 .

11、 011 A可省略可省略模糊集合及其运算模糊集合及其运算16（3）向量表示法）向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA （2）序偶表示法）序偶表示法)(,( ,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA 若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为： UxxxAA)(模糊集合及其运算模糊集合及其运算17例例1. 有有100名消费者，对名消费者，对5种商品种商品 评价，评价，结果为：结果为：54321,xxxxx81人认为人认为x1 质量好，质量好，53人认为人认为x2 质量好，质量好，所有人认为所有人认为x3 质量好，没有人认为质量好，没有人认为x

12、4 质量好，质量好，24人人认为认为x5 质量好质量好则模糊集则模糊集A（质量好）（质量好）5432124. 00153. 081. 0 xxxxxA18 例例2：考虑年龄集：考虑年龄集U=0,100，O=“年老年老”，O也是一个年龄集，也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？呢？札德给出了札德给出了 “ “年老年老” ” 集函数刻画集函数刻画: :10050)550(1 (5000)(12uuuuO10U5010019再如，再如，Y= “= “年轻年轻”也是也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：于这一集合的程度

13、不一样，札德给出它的隶属函数：10025)525(1 (2501)(12uuuuY102550UB（u）20则模糊集则模糊集O（年老）（年老）1005012500)550(1 (0uuuuuO1002512250)525(1 (1uuuuuY则模糊集则模糊集Y（年轻）（年轻）212、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：UxxBxABA ),()(包含：包含：UxxBxABA ),()(并：并：UxxBxAxBA),()()( 交：交：UxxBxAxBA ),()()(余：余：UxxAxAc ),(1)( 表示取大；表

14、示取大； 表示取小。表示取小。 模糊集合及其运算模糊集合及其运算22例例3.模糊集合及其运算模糊集合及其运算543215 . 08 . 019 . 03 . 0 xxxxxA543216 . 03 . 08 . 01 . 02 . 0 xxxxxB则：则：BA54321xxxxx0.30.910.80.6BA54321xxxxx0.20.10.80.30.523模糊集合及其运算模糊集合及其运算并交余计算的性质并交余计算的性质1. 幂等律幂等律,AAAAAA2. 交换律交换律,ABBAABBA3. 结合律结合律CBACBACBACBA)()(,)()(4. 吸收律吸收律ABAAABAA)(,)(

15、24模糊集合及其运算模糊集合及其运算6. 0-1律律AUAUUAAAA,7. 还原律还原律,)(AAcc8. 对偶律对偶律,)( ,)(ccccccABBABABA5. 分配律分配律)()()(),()()(CABACBACABACBA25几个常用的算子：几个常用的算子：（1）Zadeh算子算子),( ,min,maxbabababa （2）取大、乘积算子）取大、乘积算子),( abbababa ,max（3）环和、乘积算子）环和、乘积算子), ( abbaabbaba ,模糊集合及其运算模糊集合及其运算26（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子),( ,min),(1babababa （5

16、）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子),( abbababa ),(1（6）Einstain算子算子),( )1)(1(1,1baabbaabbaba 模糊集合及其运算模糊集合及其运算27三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合;*A（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着制约着 的运动。的运动。 可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使致

17、使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。0u模糊集合及其运算模糊集合及其运算28特点：在各次试验中，特点：在各次试验中， 是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出nAuAu的的次次数数的的隶隶属属频频率率对对*00 （2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的的次次数数*00lim)( 0u对对A的隶属度：的隶属度：模糊集合及其运算模糊集合及其运算29模糊集合及其运算模糊集合及其运算对对129人进行调查人进行调查, 让他们给出让他

18、们给出“青年人青年人”的年龄区间，的年龄区间，18-25 17-30 17-28 18-25 16-3514-25 18-30 18-35 18-35 16-2515-30 18-35 17-30 18-25 18-3515-30 18-30 17-25 18-29 18-28问年龄问年龄 27属于模糊集属于模糊集A（青年人）的隶属度。（青年人）的隶属度。 0u30对年龄对年龄27作出如下的统计处理：作出如下的统计处理：A(27) = 0.78(变动的圈是否盖住不动的点变动的圈是否盖住不动的点)n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.

19、780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101 隶属频率0.780.760.760.750.790.78 312、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。模糊集合及其运算模糊集合及其运算 一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。型，中间型。例如：例如：

20、在论域在论域 中，确定中，确定A=“靠近靠近5的的数数”的隶属函数的隶属函数9 , 2 , 1 U中间型中间型32模糊集合及其运算模糊集合及其运算可以选取柯西分布中间类型的隶属函数可以选取柯西分布中间类型的隶属函数 )(11)(axxA 先确定一个简单的，比如先确定一个简单的，比如,)5(11)(2 xxA此时有此时有,906. 081 . 072 . 065 . 05145 . 032 . 021 . 0106. 0 A，5 . 0)6()4( AA不太合理，故改变不太合理，故改变33模糊集合及其运算模糊集合及其运算取取,)5(5111)(2 xxA此时有此时有,924. 0836. 075

21、6. 0683. 051483. 0356. 0236. 0124. 0 A)()(xAxA比比 有所改善。有所改善。343、其它方法、其它方法德尔菲法：专家评分法；德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算模糊集合及其运算35模糊集合及其运算模糊集合及其运算四、模糊矩阵四、模糊矩阵定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。, 10 ,)(

22、ijnmijrrR当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。ijr当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，nnijrR )(ijr称称R为为模糊单位矩阵模糊单位矩阵。例如：例如：3 . 07 . 05 . 01 . 001R000000000036（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 模糊集合及其运算模糊集合及其运算并：并：nmijijbaBA )(交：交：nmij

23、ijbaBA )(余：余：nmijcaA )1(37例例4：则则设设,2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB模糊集合及其运算模糊集合及其运算38（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(为为A与与B的的合成合成，其中，其中 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算即：即：定义：定义： 设设A为为 阶，则模糊方阵的幂定义为阶，则模

24、糊方阵的幂定义为nn 1() sijikkjkcab1() sijikkjkCA Bcab AAAAAAAAAnn1232, 39例例5：则则设设,6 . 04 . 02 . 05 . 03 . 01 . 0,3 . 06 . 02 . 05 . 01 . 04 . 0 BA 3 . 03 . 06 . 05 . 0BA 5 . 05 . 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB模糊集合及其运算模糊集合及其运算40（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定义：设设 称称 为为A的的,)(nmijaA nmTijTaA )(转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。j

25、iTijaa 模糊集合及其运算模糊集合及其运算性质：性质：.)(1AATT ;)( ;)(2TTTTTTBABABABA .)()(;)(3nTTnTTTAAABBA .)()(4cTTcAA .5TTBABA 41（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称,)(nmijaA ,1 , 0 nmijaA )()( 为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(显然，截矩阵为显然，截矩阵为Boole矩阵。矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算42例例6：则则设设,18 . 03 . 008 . 011 . 0

26、2 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 A 11001100001100115 . 0A 11001100001000018 . 0A模糊集合及其运算模糊集合及其运算时时的的截截矩矩阵阵为为8 . 0, 5 . 0 43截矩阵的性质：截矩阵的性质：,1 , 0 性质性质1. BABA 性质性质2. ., BABABABA 性质性质3. . BABA 性质性质4. .)(TTAA 模糊集合及其运算模糊集合及其运算44（5）特殊的模糊矩阵）特殊的模糊矩阵定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足, IA 则称则称A为为自反矩阵自反矩阵。例如例如 15 . 02 . 01A

27、,1001I 是模糊自反矩阵。是模糊自反矩阵。定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足,AAT 则称则称A为为对称矩阵对称矩阵。例如例如 12 . 02 . 01A是模糊对称矩阵。是模糊对称矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算45模糊集合及其运算模糊集合及其运算定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足,2AA 则称则称A为模糊为模糊传递矩阵传递矩阵。例如例如,1 . 0002 . 01 . 003 . 02 . 01 . 0 A是模糊传递矩阵。是模糊传递矩阵。 1 . 0001 . 01 . 002 . 01 . 01 . 02AA 46模糊集合及其运算模糊集合及其运算定义：定义：若模糊方阵

28、若模糊方阵Q，S，A满足满足),()1(2SSAS 则称则称 S 为为 A 的的传递闭包，传递闭包，记为记为 t (A)。总总有有),()2(2QQAQ ，S Q47模糊聚类分析模糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理48模糊聚类分析模糊聚类分析定理：定理：R是是n阶模糊等价矩阵阶模糊等价矩阵,1 , 0 R是等是等价的价的Boole矩阵。矩阵。意义：将模糊等价矩阵转化为等价的意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当系是可以分类的。因此，当在在0,1上变动时，上变动

29、时，由由 得到不同的分类。得到不同的分类。 R49模糊聚类分析模糊聚类分析50例例6：设对于模糊等价矩阵设对于模糊等价矩阵,54321xxxxxU 16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 01R模糊聚类分析模糊聚类分析51模糊聚类分析模糊聚类分析画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：54321 xxxxx0.80.60.50.4152模糊聚类分析模糊聚类分析53例例7：设有模糊相似矩阵：设有模糊相似矩阵 13 . 02 . 03

30、 . 011 . 02 . 01 . 01R213 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01RRR ).(13 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01222RtRRR 模糊聚类分析模糊聚类分析54二、模糊聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析55（1）标准差标准化）标准差标准化模糊聚类分析模糊聚类分析56（2）极差正规化）极差正规化minmaxmin111ijniijniijniijijxxxxx （3）极差标准化）极差标准化minmaxijijiijijxxxxx （4）最大值规格化）最大值规格化ji

31、jijMxx 其中：其中：),max(21njjjjxxxM 模糊聚类分析模糊聚类分析57、建立模糊相似矩阵（标定）、建立模糊相似矩阵（标定）（1）相似系数法）相似系数法夹角余弦法夹角余弦法 mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相关系数法相关系数法 mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(模糊聚类分析模糊聚类分析58（2）距离法）距离法Hamming距离距离 mkjkikjixxxxd1),(Euclid距离距离 mkjkikjixxxxd12)(),(Chebyshev距离距离jkiknkjixxxxd 1max),(模糊聚类分析模糊聚类分

32、析59（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)()(算术平均最小法算术平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21)(几何平均最小法几何平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11.)(模糊聚类分析模糊聚类分析603 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法）模糊传递闭包法步骤：步骤：模糊聚类分析模糊聚类分析（2）boole矩阵法（略）矩阵法（略）61（3）直接聚类法）直接聚类法模糊聚类分析模糊聚类分析 取取，最最大大值值)( 11 作相似类作相似类|1 ijjRirxx当不同相似类出现公共

33、元素时，将公共元素所在类合并。当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。 取取次大值，次大值， 2 找出找出2 ijr的元素对的元素对),(jixx将对应于将对应于 的等价分类中的等价分类中 所在类与所在类与 所在类合并，所在类合并，所有情况合并后得到相应于所有情况合并后得到相应于 的等价分类。的等价分类。2 ixjx2 依次类推，直到合并到依次类推，直到合并到U U成为一类为止。成为一类为止。（4）最大树法）最大树法（5）编网法）编网法62模糊聚类分析模糊聚类分析63解：解：由题设知特性指标矩阵为由题设知特性指标矩阵为 43271510406469046150261080*X采用最大

34、值规格化法将数据规格化为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析模糊聚类分析jijijMxx ),max(21njjjjxxxM 67. 05 . 029. 0110. 02 . 011. 044. 0157. 060. 0167. 086. 010. 056. 033. 086. 0189. 0X64用最大最小法构造用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊相似矩阵得到 138. 037. 053. 024. 038. 0156. 070. 063. 037. 056. 0155. 062. 053. 070. 055. 0154. 024. 063. 062. 054. 01R模糊聚类分析模

35、糊聚类分析 mkjkikmkjkikijxxxxr11)()( 67. 05 . 029. 0110. 02 . 011. 044. 0157. 060. 0167. 086. 010. 056. 033. 086. 0189. 065 153. 053. 053. 053. 053. 0162. 070. 063. 053. 062. 0162. 062. 053. 070. 062. 0163. 053. 063. 062. 063. 01)(4RRt用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包66取取 ，得，得1 1000001000001000001000001)(1Rt模糊聚类分析模糊聚

36、类分析 153. 053. 053. 053. 053. 0162. 070. 063. 053. 062. 0162. 062. 053. 070. 062. 0163. 053. 063. 062. 063. 0167取取 ，得，得7 . 0 1000001010001000101000001)(7 . 0Rt取取 ，得，得63. 0 1000001011001000101101011)(63. 0Rt模糊聚类分析模糊聚类分析68取取 ，得，得62. 0 1000001111011110111101111)(62. 0Rt取取 ，得，得53. 0 111111111111111111111

37、1111)(53. 0Rt模糊聚类分析模糊聚类分析69画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：54321 xxxxx0.70.630.620.531模糊聚类分析模糊聚类分析70若利用直接聚类法若利用直接聚类法138. 037. 053. 024. 038. 0156. 070. 063. 037. 056. 0155. 062. 053. 070. 055. 0154. 024. 063. 062. 054. 01R模糊相似矩阵模糊相似矩阵取取1, 此时此时 为单位矩阵，故分类自然为为单位矩阵，故分类自然为 1Rx1，x2，x3，x4，x5。取取0.70, 此时此时10000010100010

38、001010000017 . 0R71, 124r故分类应为故分类应为x1， x3， x2, x4，x5。x2, x4为相似类为相似类取取0.63, 此时此时100000101100100010100100163. 0R, 11424 rrx2, x4， x1, x4为相似类，为相似类，有公共元素有公共元素x4的相似类为的相似类为 x1, x2, x4故分类应为故分类应为x1 , x2, x4， x3， x5。72取取0.62, 此时此时100000101100101010100110162. 0R, 1131424rrrx2, x4, x1, x4, x1, x3为相似类，为相似类，有公共元

39、素有公共元素x4的相似类为的相似类为 x1, x2, x3,x4故分类应为故分类应为x1, x2, x3,x4， x5。73取取0.53, 此时此时100100101100101110100110153. 0R, 113142524rrrr故分类应为故分类应为x1, x2, x3, x4 , x5 。74模糊聚类分析的简要流程模糊聚类分析的简要流程:YN754 4、最佳阈值的确定、最佳阈值的确定模糊聚类分析模糊聚类分析（1） 按实际需要，调整按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。的值，或者是专家给值。（2） 用用 F 统计量统计量确定最佳确定最佳值值。针对原始矩阵针对原始矩阵 X，得到，得到

40、),(21mxxxx 其中，其中，), 2 , 1(11mkxnxniikk 设对应于设对应于 的分类数为的分类数为 r , 第第 j 类的样本数为类的样本数为 nj ,第第 j 类的样本记为：类的样本记为：,)()(2)(1jnjjjxxx76则第则第j类的聚类中心为向量：类的聚类中心为向量：),()()(2)(1)(jnjjjjxxxx ), 2 , 1(11)()(mkxnxjnijikjjk 其中，其中， 为第为第k个特征的平均值个特征的平均值)( jkx rjnijjirjjjjrnxxrxxnF112)()(12)()/()1/(作作F 统计量统计量模糊聚类分析模糊聚类分析77模糊

41、聚类分析模糊聚类分析若是若是),05. 0(), 1( rnrFF则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著若满足不等式的若满足不等式的 F 值不止一个，则可进一步考察值不止一个，则可进一步考察差值差值 的大小，从较大者中选择一个即可。的大小，从较大者中选择一个即可。)( FF 其中其中 mkkjkjxxxx12)()()(78模糊模式识别模糊模式识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模

42、所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。79 模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型标准类型(数学形式化了的类型数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模

43、糊数学方整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。法。模糊模式识别模糊模式识别80 在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。知识工程与人工智能领域中，

44、也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题糊集的识别问题 点对集点对集；另一类是模糊集对标准模糊集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题的识别问题 集对集集对集。模糊模式识别模糊模式识别81例例1. 苹果的分级问题苹果的分级问题 设论域设论域 X = 若干苹果若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为将苹果分级的标准模型库规定为 = 级，级，级，级，

45、级，级，级级，显然，模型，显然，模型级，级，级，级，级，级，级是模糊的。当果农级是模糊的。当果农拿到一个苹果拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。模糊模式识别模糊模式识别82例例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域论域 X = 各种疾病的症候各种疾病的症候 (称为症候群空间称为症候群空间) 。各种疾病。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库都有典型的症状，由长期临床积累

46、的经验可得标准模型库 = 心脏病，胃溃疡，感冒，心脏病，胃溃疡，感冒，显然，这些模型，显然，这些模型(疾病疾病)都是都是模糊的。病人向医生诉说症状模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的也是模糊的)，由医生将病人的，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过 程 ， 也 是 一 个 模 糊 集 对 标 准 模 糊 集 的 识 别 问 题 。过 程 ， 也 是 一 个 模 糊 集 对 标 准 模 糊 集 的 识 别 问 题 。模糊模式识别模糊模式识别83点对集点对集1. 问题的数学模型问题的数学模型 (1) 第一类模

47、型：第一类模型：设在论域设在论域 X 上有若干模糊集：上有若干模糊集：A1，A2，An F ( X )，将这些模糊集视为将这些模糊集视为 n 个标准模式，个标准模式，x0 X 是待识别是待识别的对象，问的对象，问 x0 应属于哪个标准模式应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ? (2) 第二类模型：第二类模型：设设 A F ( X )为标准模式，为标准模式，x1, x2, , xn X 为为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i =1，2， n ) ?模糊模式识别模糊模式识别84一一最最大大隶隶属属原原则则最大隶属原则最大

48、隶属原则：最大隶属原则最大隶属原则：模糊模式识别模糊模式识别85按最大隶属原则，按最大隶属原则，该人属于老年。该人属于老年。解：解：模糊模式识别模糊模式识别86例例 选择优秀考生。设考试的科目有六门选择优秀考生。设考试的科目有六门x1：政治：政治 x2：语文：语文 x3：数学：数学x4：理、化：理、化 x5：史、地：史、地 x6：外语：外语考生为考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域，组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设。设 A = “优秀优秀”，是，是 Y 上的模糊集，上的模糊集，A(yi) 是第是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi)

49、 的计的计算方法如下：算方法如下：模糊模式识别模糊模式识别87式中式中 i =1, 2, , n 是考生的编号，是考生的编号，j =1, 2, ,6 是考是考试科目的编号，试科目的编号， j 是第是第 j 个考试科目的权重系数。个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生，就可根据计算出的各考生隶属于隶属于“优秀优秀”的程度（隶属度）来排序。的程度（隶属度）来排序。 例如若令例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有有 四个考生四个考生 y1, y2, y3, y4，其考试成绩分别如表，其考试成绩分别如表 3.4,600161

50、jijjixyA模糊模式识别模糊模式识别88表 3.4 考生成绩表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式识别模糊模式识别89则可以计算出则可以计算出于是这四个考生在于是这四个考生在“优秀优秀”模糊集中的排序为：模糊集中的排序为：y2, y4, y1, y3.698.06007 .418,666.06008 .399,712.06004 .427,675.06004054321yAyAyAyA模糊模式识别模糊模式识别90阈值原则：阈值原则：模糊模式识别模糊模式识别有时我们要识别的问题，并

51、非是已知若干模糊集求有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：值原则，该原则的数学描述如下：91模糊模式识别模糊模式识别92例如例如

52、 已知已知 “青年人青年人” 模糊集模糊集 Y，其隶属度规定为，其隶属度规定为对于对于 x1 = 27 岁及岁及 x2 = 30 岁的人来说，若取阈值岁的人来说，若取阈值.20025,5251,250, 1)(12xxxxY模糊模式识别模糊模式识别93 1 = 0.7，模糊模式识别模糊模式识别故认为故认为 27 岁和岁和 30 岁的人都属于岁的人都属于“青年人青年人” 范畴。范畴。则因 Y(27) = 0.862 1，而 Y(30) = 0.5 2, 而 Y(30) = 0.5 = 2 ，94模糊模式识别模糊模式识别集对集集对集例如：例如：论域为论域为“茶叶茶叶”，标准有，标准有5种种 待识别

53、茶叶为待识别茶叶为B，反映茶叶质量的，反映茶叶质量的6个指标为：条索，个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶属于哪种茶,54321AAAAAA1A2A3A4A5B条索条索0.50.30.2000.4色泽色泽0.40.20.20.10.10.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.395在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反

54、映两个模糊集的差异程度，后者或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果个方面。如果待识别的对象待识别的对象不是论域不是论域 X 中的元素中的元素 x，而，而是模糊集是模糊集 A，已知的模糊集是已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问，那么问 A 属于哪个属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问？就是另一类模糊模式识别问题题 集对集集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的间的距离或贴近度。距离或贴近度。96

55、1. 距离距离判别分析判别分析定义定义 设设 A、B F ( X )。称如下定义的。称如下定义的dP(A, B) 为为 A 与与 B 的的 Minkowski (闵可夫斯基闵可夫斯基) 距离距离 (P1)： ) 当当 X = x1, x2, , xn 时，时， ) 当当 X = a, b 时，时，)5 . 5 . 3(,1,/11pxBxABAdpnipiip )6 .5 .3(.1,/1pdxxBxABAdpbapp模糊模式识别模糊模式识别97特别地，特别地，p=1 时，称时，称 d 1(A, B) 为为 A 与与 B 的的 Hamming (海明海明) 距离距离。p=2 时，称时，称 d2

56、(A, B) 为为 A 与与 B 的的 Euclid (欧几里德欧几里德) 距离距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因中，因此定义模糊集的相对距离此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有，相应有 (1) 相对相对 Minkowski 距离距离 7 .5 .3,1,/11pnipiipxBxAnBAd模糊模式识别模糊模式识别98 (2) 相对相对 Hamming 距离距离 8 .5 .3.1,/1 pbaPpdxxBxAabBAd9 .5 .3,1,11niiixBxAnBAd 10.5 .3,1,1dxxBxAabBAdb

57、a模糊模式识别模糊模式识别99 (3) 相对相对 Euclid 距离距离11.5 .3,1,2/1122niiixBxAnBAd 12.5 .3.1,2/122badxxBxAabBAd模糊模式识别模糊模式识别100 有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足一般权重函数满足下述条件：下述条件： 当当 X = x1，x2，xn 时，有时，有 当当 X = a, b 时，有时，有加权加权 Minkowski 距离距离定义为定义为 14.5.3.,13.5.3,

58、/1/11pbapPpnipiiipdxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw; 11niixW .1dxxWba模糊模式识别模糊模式识别101加权加权 Hamming 距离距离定义为定义为加权加权 Euclid 距离距离定义为定义为 16.5 .3.,15.5 .3,111dxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdwbaiinii 18. 5 . 3.,17. 5 . 3,2/1222/1122baniiiidxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw模糊模式识别模糊模式识别102例例 欲将在欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到地生长良好的某农作物移植到 B地或地或 C 地，问地，问 B

59、、C 两地哪里最适宜？两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温气温)，x2 (湿度湿度)，x3 (土壤土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为上的模糊集，经测定，得三个模糊集为.5.06.06.0,3.05.09.0,6.04.08.0321321321xxxCxxxBxxxA模糊模式识别模糊模式识别103由于由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，说明，说明 A，B 环境比环境比较相似，该农作物宜于移植较相似，该农作物宜于移植

60、B 地。地。,173. 05 . 06 . 027. 06 . 04 . 023. 06 . 08 . 05 . 0,154. 03 . 06 . 027. 05 . 04 . 023. 09 . 08 . 05 . 0,11CAdwBAdw模糊模式识别模糊模式识别 设权重系数为设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算。计算 A 与与 B 及及 A 与与 C 的加权的加权 Hamming 距离，得距离，得1042、贴近度、贴近度模糊模式识别模糊模式识别按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。)()(xBxABAUx