九年级数学：一元二次方程根与系数的关系练习题(有答案)

1、、单项选择题:一元二次方程根与系数的关系习题1.关于x的方程ax22x10中,如果a0,那么根的情况是(B)(A)(C)有两个相等的实数根没有实数根(B)有两个不相等的实数根(D)不能确定解:(2)24a4a0原方程有两个不相等的实数根.2.设(A)解:Xi44a44a0X1,X2是方程2x215(B)12方程两根为X23,x1x26x(C)6Xi,X230的两根,那么(D)32X13.以下方程中,有两个相等的实数根的是(A)2y2+5=6y(B)x2+5=25x(C)3x2(此题为找出0的方程即可)2X12X22X2的值是(Xi32B)2x+2=04.以方程x2+2x3=0的两个根的和与积为

2、两根的(A)y2+5y6=0(B)y2+5y+6=0解：设方程两根为X1,X2,那么:x1x22,x1x23为根的一元二次方程为5.如果X1,X2是两个不相等实数,且满足(A)2(B)-2X2)2212x1x2(D)3x22x+1=0二次方程是(C)y2-5y+6=0(D)2-y(2)(3)y(即：y(C)5y解：X：22x11,x22x2xnX2可看作是方程x2x二、填空题:1、如果二次方程4xk2解：方程X24xk2有两个相等的实数根2X12x12X2(D)的两根X1X22)(3)02x21,那么Xi?X2等于0有两个相等的实数根,那么k=2.164k202、如果关于x的方程2x2(4k1

3、)x2k20有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是k9.解：方程2x2(4k1)x2k2108k有两个不相等的实数根(4k1)28(2k21)3、x1,x2是方程2x27x40的两根,那么x172x2=一,xx?=2,(x1x2)=2(x1x2)24x1x2274、假设关于x的方程(m22)x2(m2)x10的两个根互为倒数,那么m=d3.解：设方程两根为x1,x2,那么:,32(m2)224(m22)0方程两根互为倒数2(m2)224(m22)014x2-1m2m=4时,方程mx40有两个相等的实数根;解:方程x2mx40有两个相等的实数根解:m216m4且m0时,方程mx24x10有两个

4、不相等的实数根;方程mx24x10有两个不相等的实数根164m0且m04且m0时,原方程有两个不相等的实数根.6、关于x的方程10x2(m3)xm70,假设有一个根为0,那么m=7,这时方程的另一个根是1；假设,3八、,、8两根之和为一工,那么m=9,这时方程的两个本!为X1x21.55(2)设原方程两根为a、b,那么:解乂1)设方程10x2(m3)xm70另一根为Xi,那么:10m7100Xim3a10、一一3原方程两根之和为-50?Xim7y10510由,得:将m7代入,得:原方程可化为：5x23x80m=2；解：令x22(m1)xm2504(m22m1)4m2200x22(m1)xm25

5、是完全平方式8m160x11(5x8)(x1)0m7,x11时,方程一根为0x8或x157、如果x22(m1)xm25是一个完全平方式,那么方程x22(m1)xm250W两个相等实根m22(m1)24(m25)08、方程2x(mx4)x26没有实数根,那么最小的整数m=2；11m-6最小整数m为2解：将方程2x(mx4)x2648m880化简,得：(2m1)x28x60原方程没有实数根6424(2m1)09、方程2(x1)(x3m)x(m4)两根的和与两根的积相等,那么m=2;7m223m解：将方程2(x1)(x3m)x(m4)化简,得：2x2(7m2)x6m0设方程两根为x1,x2,那么：7

6、m2x1x2-,x1x23m方程两根的和与两根的积相等m2当m2时,(7m2)248m010、设关于x的方程x26xk0的两根是m和n,且3m2n20,那么k值为16;解：m、n是方程的两根rmn6*mnkI3m2n20将m8代入,得：n2将m8,n2代入,得:k8(2)16X2-,得:当k16时,364k0k1611、假设方程x2(2m1)xm210有实数根,那么m的取值范围是m4m3(2m1)24(m21)01,24m4m14m40解：原方程有实数根3m-43.当m-时,原万程有两个实数根.412、一元二次方程x2pxq0两个根分别是273和213,那么p=4,q=1;p4'

7、9;q1p4,q1解：方程两根为2、；3和273,(2.3)-(2、3)p,(2.,3)(2.3)q解之,得:13、方程3x219xm0的一个根是1,那么它的另一个根是16X,m=16;3解：设方程的另一根为Xi,那么:m16mX13当a16时,19212a0由,得：X116方程另一根为16m1&方16,_口将X一代入,得:314、假设方程x2mx10的两个实数根互为相反数,那么m的值是0;解：设方程两根为X1,X2,那么:x1x2m0时,m240方程两根互为相反数0时,原方程两根互为相反数.X1x2m015、m、n是关于x的方程x2(2m1)xm210的两个实数根,那么代数式mn=1

8、o解:m、n是方程的两根将代入,得:mn2m1m(m1)2mnm化简,得:1代入,得:2mnm(1)216、方程X23x10的两个根为a,3,那么a+3=3,"3=1;17、如果关于x的方程x24xm0与x2x2m0有一个根相同,那么m的值为0或3;解：方程有一个相同的根将xm代入x24xm0,得:2,2cx4xmxx2m2m4mm0(41)x2mmm(m3)0这个相同的根为:18、方程2x23x0的两根之差为22,那么k=2;解：设方程两根为x1,x2,那么:2k254xix22122时,98k0(xix2)2254关于x的方程2x23xk0两根19、解:20、解:x1x2)24x

9、1x2254、,1,差为2时,k22假设方程x2(a22)x30的两根是1和一3,那么a=2;方程两根1和(3)(a22)D、假设关于x的方程设方程两根为义,x2,x22(m1),x1x2方程两根互为倒数2x1x24m12(m那么:4m21)x4m20有两个实数根,且这两个根互为倒数,、关于x的一元二次方程(a21)x2F1那么m的值为一；22(m1)22(m1)216m216m2(a1)x10两根互为倒数,那么a=J2.解：设方程两根为x1,x2,那么:a、,21a21a1x1x22,x1x2a1方程两根互为倒数1a差为2时,k8.1当a.2时,(a1)24(a21)0当a.2时,(a1)2

10、4(a21)0a.2a21121、如果关于x的一元二次方程x2J2xa0的一个根是1&,那么另一个根是x1,a的值为J21.(1V2x1<21(1&)xa由,得：x1122、如果关于x的方程x26xk0的两根差为2,那么k=8.解：设方程的另一根为xv那么:a.21当a21时,24a0方程另一根为x1,a.21将x11代入,得:解：设方程两根为x1,x2,那么:x1x26,x1x2kx1x22(xx2)242(x1x2)4x1x24364k4k8k8寸,364k02关于x的方程x6xk0的两根23、方程2x2mx40两根的绝对值相等,那么m=0o解：设方程两根为x1,x2

11、,那么:当xx2时,xx20x1x2x1x2x1x2xx2x1x2m£x1x2当xix2时,m2320m2320当m0时,m23202x2mx40两根绝对值相等时,m0.24、一元二次方程px2xix2qxr0(p0)的两根为0和一1,贝Uq：p=1:1.解:设方程两根为x2,那么:方程两根为0和xiX29p(1)25、方程3x2x10,要使方程两根的平方和为13,9那么常数项应改为2.解:设方程两根为xi,x2,(¥2m3139并设方程的常数项为i6m13xix213,x/22xi2x21392时,i12m0x2)22x1x2139常数项应改为2.26、方程x24x2m0

12、的一个根a比另一个根3小4,那么a=4;=0；m=0.解：据题意,得：4<2m14+,得：4将4代入,得：0将4,0代入,得：m0当m0时,168m04,0,m02113127、关于x的万程x3mx2(m1)0的两根为x1,x2,且一,那么m=一.解：方程两根为x1,x2,那么:XiX23x1x243m3x1x23m,x1x22(m1)一2(m1)4113一12m6(m1)x1x24m1时,(3m)28(m1)0328、关于x的方程2x23xm_90,当0m一时,万程有两个正数根；当8m0时,方程有一个正根,个负根；当m0时,方程有一个根为0.x1,x2解：设方程2x23x两根为x1,x

13、2,那么:x1x2(1)、方程有两个正数根方程有一个正根,一个负根98m0x1,x2m0又方程有两个正数根98m09m8m0当m0时,方程有一正一负两个根(3)、方程有一根为09-0m-时,方程有两个正根8m0当m0时,方程有一根为0.(2)、方程有一个正根,一个负根三、解答以下各题：1、3-也是方程x2mx70的一个根,求另一个根及m的值.解：设方程的另一根为刈,那么:(3j2)x17答：方程另一根为3<2,由,得：x1322m6.32将x13代入,得：2、m取什么值时,方程2x2(4m1)x2m210(1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根；解：(4m1

14、)28(2m21)16m28m116m288m9(1)有两个不相等的实数根8m909m-8,9-当m-时,原方程有两个8不相等的实数根.(2)有两个相等的实数根3、求证：方程(m21)x22mx(m24)证实：(2m)24(m21)(m24)4m24(m45m24)4m416m2164(m44m24)224(m22)24、求证：不管k为何实数,关于x的式子(x解：令(x1)(x2)k20即:8m909m8,9-当m-时,原方程有两个8相等的实数根.(3)没有实数根8m909m8当m9时,原方程无实根.80没有实数根.m2204(m22)20即：0方程(m21)x22mx(m24)0没有实数根.

15、21)(x2)k都可以分解成两个一次因式的积.0x2222x4ax2axa1(2a2)x24axa23016a24(2a2)(a23)3x2k2094(2k2)4k214k2024k10方程(x1)(x2)k20有两个不相等的实数根不管k为何实数,关于x的式子2(x1)(x2)k都可以分解成两个一次因式的积.5、当k取什么实数时,二次三项式2x22,(4k1)x2k1可因式分解解：令2x2(4k1)x2k2108k90当2x2(4k1)x2k210有两个实根时,原二次项式可因式分解22(4k1)28(2k21)02x29,一,-时,二次三项式8(4k1)x2k21可因式分解.a是实数,且方程x

16、22ax10有两个不相等的实根,试判别方程x22ax11(a2x2a21)2解：x22ax11(a2x2a220有无实根？1)04a2400a214a16a24(2a2)(a23)4,20a2204a420a2240即：04a420a22421222万程x2ax1-(axa1)0方程x22ax10有两个不等实根有两个不相等的实数根.7、关于x的方程mx2nx20两根相等,方程x24mx3n0的一个根是另一个根的3倍.求证:方程x2(kn)x(km)0一定有实数根.证实：方程mxnx20两根相等m02n8m0方程x24mx3n0一根是另一根的设方程一根为x13x1x1?3x12nm将代入,得：4

17、m8m0m(m38)0m0或m2m03倍x1,另一根为3x1,那么:4m3n2)m2n4将m2,n4代入方程x(kn)x(km)0得：x2(k4)x(k2)0#：(k4)24(k2)k28k164k8k24k242(k2)2202(k2)20(k2)22000方程x2(kn)x(km)0一定有实数根.8、方程2x225mx3n0的两根之比为2:3,方程x2nx8m0的两根相等(mnw0).求证：对2证实：方程2x5mx3n0将m2,n4代入方程的两根比为2:3设此方程两根为2a和3a,那么:i52a3amI232a?3a-n2nm2mx2(nk1)xk10#：2x2(4k1)xk102(3k)

18、28(k1)_2一一96kk8k8k22k1方程x22nx8m0两根相等2(k1)24n232m0(k1)208m8m对于任意实数k,方程m(m38)2mX(nk1)xk10mmn0或m024恒有实数根.9、设Xi,X2是方程2x24x0的两根,利用根与系数关系求以下各式的值:、(Xi1)(X21)1、一X1X2X2X1(31X1X2,八2.(4)、x1x1x22x1解:X1,X2是一元二次方程x2(3)>X1X1X22x24x30的两根2X12X2X1X2X1X22,X1X2(x1x2)22x1x2X1X2、X11)(X21)23(2)22(2)3X1X2x1x21433227(3)2

19、1143(4)、X1X1X22X111、X1x2X1(X1X22)23243x1?010、设方程4x27x30的两根为X1,X2,不解方程,求以下各式的值22XiX2(2)XiX2解：X1,X2是一元二次方程4x27x30的两根73XiX2XXiX24422XiX22(xix2)2xix2(7)2234425i6(2) XiX2.(XiX2)2(XiX2)24XiX2(3) 1rxi匹(4)XiX2(3) ,XiX2XiX27.3.3i一2(4)XiX2(xix2)(XiX2)24XiX2ii、x1,x2是方程2x23xi0的两个根,利用根与系数的关系,求以下各式的值:第i4页共26页解:Xi

20、,X2是一元二次方程2(9)91612、解:192x23x10的两根16XiX2(2Xi4xix24xix2实数s、19s231一,XiX2一223)(2X23)6x16(X16x29X2)3(2)XiX2XiX2(Xi3X1X2XiX2(XiI)2X22)X2)22x1x2(1)13t分别满足方程99s1099tt201s、1可看作是方程t19x299x10的两根19s299s10和且19st4st4ss一t(SI)991999tt2cst4s10求代数式t的值.4?s4199919,s?1t19951913、设:3a26a113b26b110且awb,求a4b4的值.解:_2_3a6a11

21、03b26b11022X2(ab)2a2b2a、b可看作是方程2_2_22(ab)2ab2ab3x26x110的两根222(?)22(4)3311ab2,ab31156242914"Q-"-9"14、a21a,b21b,且awb,求(a1)(b1)的值.解：a21aab1,ab1b21b(a1)(b1)a、b可看作是方程abab1x21x的两根ab(ab)12原方程可化为：x2x101(1)110,m,n为实数,且m1,求代数式mn的值,o1115、m2m40,-nn解：m2m40x2x40的两根m、1可看作是方程n11m,m1,m?一4nnn1一代数式m的值为1

22、.n16、2s24s74t20,s,t为实数,且stw1.求以下各式的值:st1一p;解：2s24s73st2s3(2)s-.tst1、ps27t24t203st2s3c2s3st1C3(s-)2?s?-tt2x24x70的两根3(2)2(|)117s2,s?6(7)1tt217、关于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;解：设方程两根为xx2,那么k3x1x2k1,x1x2k22乂22(x1x2)2x1x26(k1)22(k2)62(k1)24(k2)当k3寸,0,不符合题意,应舍去当k3时,0,符合题意k的值为3.k2918、方程x2+3x+m=0中的m是什么

23、数值时,方程的两个实数根满足:(1)一个根比另一个根大2;(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17解：设方程两根为、x2,那么9/3、27一(一)一4416xx23,xx2m,27当m27时,160,符合题意94m、当xx22时,15x12,x221,55m(一)一224当m5时,0,符合题意4m一时,方程一根是另一根的笳.16(3)、当(Xx2)217时,2(x1x2)4x1x21794m17m25时,方程一根比另一根42时,0大2.2时,方程两根差的平方是17.、当x13x2时,93Xi-,X24419、a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b?+c2)x2+2(a+b+

24、c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形证实：方程有两个相等实根2(abc)212(a2b2c2)02222这个三角形是正三角形(abc)23(a2b2c2)0-2-2-2-2a2b2c2ab2ac2bc022_22_22_(a2b22ab)(a2c22ac)(b2c22bc)0222(ab)2(ac)2(bc)20ab0,ac0,bc020、关于x的方程x2(2a1)x4(a1)0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积.解：设方程两根为x、x2,那么xx22a1,xx24(a1)x1、x2是斜边长为5的直角三角形的两直角边22x1x225

25、(x1x2)22x1x225(2a1)28(a1)25a23a40x1、x2是三角形的两边x1x22a10且x1x24(a1)0a且a12a1只能取a411S1x224(41)(a4)(a1)021、关于x的一元二次方程3x2(4m21)xm(m2)0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值.解：设方程两根为x1、x2,那么4m210或m22m30X1X24m23一,xX21m1m2pm33,m41X1X24m2134m213m(4m2(4m21)212m(m2)XiXiX2X2X1X24m213m(m2)34m21m(m2)1)(m2)3(4m1)(4m21)(m22m3)0,1-当m1一

26、时,2当mi0,不符合题意,应舍去0,符合题意当m1当mi1时,答：m的值为0,符合题意0,不符合题意,应舍去22、是否存在实数k,使关于X的方程9x2(4k7)x6k20的两个实根x1,X2,满足上-,如果存X22在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在,请说明理由.解：假设存在.据题意,得:4k7X1X29,X1X22k23X13x22上3或x13x22x22少X133当一一时,X1-X2x222当上3时,X13X2x2224k72(4k7)x1x294k72(4k7)22?-k393(4k7)29k20(4k73k)(4k73k)0X13(4k7)2(4k7)453(4k7)02(4k

27、7)4545(4k227)249?(6k2)(4k7)2225k2当k1时,0,符合题意241k256k49当k7时,0,符合题意562424149存在k值,当此方程无实根;方程两根满足X1X223、关于x的方程2x2(m1)x0的两根满足关系式X1X21,求m的值及两个根.解:设方程两根为X1、x2,那么1或m11XiX2m1,X1X22m1""2"2(m1)28(m1)X1X211时,40,此时方程两根为:X10,X21X111时,40,此时方程两根为:X12,X231?m3.4答：m1时,方程两根为:X10,X21；(m1)(m3)8(m1)m11时,方程两

28、根为:X12,X23.(m1)(m38)024、3是关于x的方程4x24mxm24m0的两个实根,并且满足(1)(1)2,求m的值.解:是方程的两根m,m24m416m2一,2、16(m4m)1)(1)2时,0,不符合题意,应舍去2时,0,符合题意4m4m的值为2.25、一元二次方程8x2(2m1)x(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；解：设方程两根为x1、x2,那么2m1mxix2,xx2882(2m1)232m(1)、两根互为倒数m18m8当m8时,0m8寸,方程两根互为倒数(2)、两根互为相反数Q081m-21当m1时,021m1时,万程两根互为相反数2(3)、方程有一根为0m0当

29、m0时,0m0,根据以下条件,分别求出m的值：1有一根为零；(4)有一本为1;(5)两根的平万和为.64(4)、方程有一根为18(2m1)m0m7当m7时,0m7时,方程有一根为11(5)、万程两根的平万和为一64221xx26421(x1x2)2x1x2一64即31)m3m0m(m3)0m0或m3当m0寸,0当m3时,0,不符合题意,应舍去1m0时,万程两根的平万和为64mA64464m0时,方程有一根为026、方程x2mx40和x2(m2)x160有一个相同的根,求m的值及这个相同的根.解：方程有一个相同的根2,2/xmx4x(m2)x16(3m13)(m4)0(mm2)x20这个相同的根

30、为:10将x工-代入x21mmx0,4时,两方程相同的根为(10)210m1m1m13,13时,两方程相同的根为：33；23mm52当m4时,两方程相同的根为：x27、关于x的二次方程2(a2)xa250有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a的值.13,13时,两方程相同的根为：3解：设方程两根为x1、x2,那么2Lxx22(a2),x1x2a52(x1x2)xx224(a2)a252a24a30(a1)(a3)03,两根的平方和等于29,求b、c的值.a1或a3_222(a2)4(a5)16a36当a1时,0,符合题意当a3寸,0,不符合题意,应舍去答：a的值为1.28、方程x2bxc

31、0有两个不相等的正实根,两根之差等于解：设方程两根为x1、x2,那么xx2b,x#2cx23b22c29-得：c10将c10代入,得:b7b3cb3?c22b24c922x1x229(x1x2)22x1x229方程有两个不相等正实根x1x2b0,x1x2c0b7答：b7,c1029、一元二次方程(2k3)x24kx2k50,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当取何整数时,方程有两个整数根.解：方程有两个实根即:(4k)24(2k3)(2k5)04k1是腰长为7的等腰三角形的底边长4k1144k134当k1时,原方程可化为：x24x30其解为1和3,满足条件当k2时,原方程可化为：x28x10其解不是整数,不满足条件,应舍去当k3寸,原方程可化为：3x212x10其解不是整数,不满足条件,应舍去答：当k1时,原方程两根为整数.15,13k-164整数k可能为1、2、330、x1,x2是关于x的方程x2pxq20的两根,x11,x21是关于x的方程xqxp0的两根,求常数p、q的值.解：据题意,得:,xx2pxx2qx11x21qp(2p1)2(Xi1)(x21)p将代入,得：pq2将、代入,得：31、x1,x2是关