《数学分析》(2)复习-多元函数积分

1、 多元函数积分学多元函数积分学 数学分析数学分析（2 2）复习）复习（课本（课本 ch19,ch20,ch21,ch22ch19,ch20,ch21,ch22）2.2.第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算 3. 3.第二类曲线积分与第二类曲面积分的计算第二类曲线积分与第二类曲面积分的计算 1. 1.二重积分的计算（直角坐标，极坐标），二次积二重积分的计算（直角坐标，极坐标），二次积分交换积分次序，三重积分的计算（直角坐标，柱面坐分交换积分次序，三重积分的计算（直角坐标，柱面坐标，球面坐标），利用对称性计算重积分标，球面坐标），利用对称性计算重积分考试要求考试

2、要求 4. 4.利用格林公式计算曲线积分，曲线积分与路径利用格林公式计算曲线积分，曲线积分与路径无关的等价条件，利用高斯公式计算曲面积分无关的等价条件，利用高斯公式计算曲面积分数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学一、二重积分的计算，二次积分交换积分次序一、二重积分的计算，二次积分交换积分次序数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学 多元函数积分学多元函数积分学 基基本本题题型型三、三重积分的计算三、三重积分的计算五、第二类曲线积分的计算，格林公式五、第二类曲线积分的计算，格林公式六、第二类曲面积分的计算，高斯公式六、第二类曲面积分的计算，高斯公式重重难难点点

3、二、第一类曲线积分的计算二、第一类曲线积分的计算四、第一类曲面积分的计算四、第一类曲面积分的计算一、二重积分的计算，二次积分交换积分次序一、二重积分的计算，二次积分交换积分次序数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学 直角坐标系下二重积分的计算方法是二次积直角坐标系下二重积分的计算方法是二次积分法，化二重积分为二次积分的步骤是：分法，化二重积分为二次积分的步骤是：作出积分区域的草图作出积分区域的草图选定积分次序，定出积分选定积分次序，定出积分改变二次积分的次序的步骤：改变二次积分的次序的步骤：根据定限规则作出积分区域的草图根据定限规则作出积分区域的草图按定限规则，改变选定积分次

4、序按定限规则，改变选定积分次序:用极坐标计算二重积分用极坐标计算二重积分 DDddrrrrfdxdyyxf )sin,cos(),(练习练习1.1.交换下列二次积分的积分次序：交换下列二次积分的积分次序： xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d )1(2 yyxyxfyxyxfy30312010d),(dd),(d )2(2.2.计算二重积分：计算二重积分：. 1),( ,)32( )2(222 yxyxDdyxxD其其中中 , )1(2 Ddxdyxyy其中是由三直线其中是由三直线 0, 1, xyxy围成的平面闭区域围成的平面闭区域.数学分析（数学分析（2 2）多元

5、函数积分学多元函数积分学基本方法：基本方法：由积分曲线的表达式求出由积分曲线的表达式求出弧微分元素弧微分元素，定积分定积分定限定限：下限小于上限：下限小于上限.将积分曲线将积分曲线代入代入被积函数，被积函数，.化曲线积分为定积分化曲线积分为定积分LdsL 的的长长度度 tdzyxtztytxf222)(, )(, )( Lsdzyxf),( ttzztyytxxL)()()(:二、第一类曲线积分的计算二、第一类曲线积分的计算数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学,1.3222dszyxL 计计算算 15:222zzyxL练习练习1.已知曲线已知曲线：, 20 ,2 xxy则则

6、 Lxds,. 222xayL 是是下下半半圆圆周周设设 Lnsdyx)(22则则数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学,xyDxoy平面投影得投影区域向 ),(),(),(),(yxyxDdzzyxfdydxdvzyxf21xyOz),(2yxz ),(1yxz xyD 方法方法“先一后二先一后二”(投影法投影法)再化为三次积分计算再化为三次积分计算.三、三重积分的计算三、三重积分的计算数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学方法方法 “先二后一先二后一”(截面法截面法)dxdydzzyxf),(于是三重积分化为于是三重积分化为( , , )dcf x yd

7、xddzyz )(zDzcd( )D z轴的截面垂直于zzD_)(数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学:换元法换元法柱柱坐坐标标. 1 dzddrrzrrfdvzyxf ),sin,cos(),( dvzyxf),(球坐标球坐标. 2 dddfsin)cos,sinsin,cossin(2数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学练习练习.2222所围区域所围区域为球面为球面Rzyx ,)( . 3222 dxdydzzyx数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学四、第一类曲面积分的计算四、第一类曲面积分的计算数学分析（数学分析（2 2）多元函

8、数积分学多元函数积分学;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:yxzz 若曲面若曲面则则计算方法：一投、二代、三变换计算方法：一投、二代、三变换类似还有两个公式类似还有两个公式. SdSzyx)( . 1计计算算.222yxRz 为上半球面为上半球面其中其中练习练习 ,)( . 222dSzyx 计计算算.1 22的的边边界界为为立立体体 zyx数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学五、第二类曲线积分的计算五、第二类曲线积分的计算 格林公式格林公式数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学1.基本方法：基本方法：由积分曲线的

9、表达式确定定积分的由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量积分变量，将积分曲线将积分曲线代入代入被积表达式，被积表达式，定积分定积分定限定限：起点对应下限，终点对应上限：起点对应下限，终点对应上限.2.利用格林公式利用格林公式 DLyxyPxQyQxPdd)(dd其中其中 L 是是 D 的的整个整个正向边界曲线正向边界曲线.3.利用曲线积分与路径无关的条件利用曲线积分与路径无关的条件技巧：不闭则补，出奇则挖技巧：不闭则补，出奇则挖1.1.已知已知 L 为圆周为圆周 x2 y2 2y 上从原点上从原点 O 按逆时针方向到点按逆时针方向到点 A(0,2) 的圆弧的圆弧, 计算计算 (sin)(1cos ).yyLIexy dxex dy练习练习数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学六、第二类曲面积分的计算六、第二类曲面积分的计算 高斯公式高斯公式数学分析（数学分析（2 2）多元函数积分学多元函数积分学“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号” xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(),( :yxzz 则有则有给出给出, ,由由如果如果 当积分曲面与投影坐标面垂直时积分为零当积分曲面与投影坐标面垂直时积分为零高高 斯斯 公公 式式 dvzRyQxP Rd