2015年浙江省高考数学试卷(理科)(含解析版)

1、2021年浙江省高考数学试卷理科、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分2021年普通高等学校招生全国统一测试浙江卷数学理科5分集合P=x|x2-2x>0,Q=x|1<x<2,那么?rPnQ=A. 0,1)B. (0,2C(1,2)D.1,22.3A. 8cm2俯视图3B. 12cmD.3.5分an是等差数列,公差成等比数列,那么d不为零,前n项和是S,假设a3,a4,asA.a1d>0,d8>0B.a1d<0,dS4<04.C.ad>0,d&<0(5分)命题?nN*,f(n)D.a1d<0,dS4>0N*且f(n)

2、&n的否认形式是(A.?nCN*,f(n)?N*且f(n)>nB.?nCN,f(n)?N或£(n)D.?noCN*,f(n0)?N*且f(n0)?noCN*,f(n0)?N*或f(n0)>n0>n05分某几何体的三视图如下图单位：cm,那么该几何体的体积是5.5分如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,那么BCF与4ACF的面积之比是AI1,'RCD、",I,；-"6. (5分)设A,B是有限集,定义：d(A,B)=card(AUB)-card(AHB)

3、,其中card(A)表示有限集A中的元素个数()命题：对任意有限集A,B,"於B'是"d(A,B)>0的充分必要条件；命题：对任意有限集A,B,C,d(A,C)<d(A,B)+d(B,C)A.命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C.命题成立,命题不成立D.命题不成立,命题成立7. (5分)存在函数f(x)满足,对任意xR都有()A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+11D.f(x2+2x)=|x+118. (5分)如图,ABC,D是AB的中点,沿直线CD将4ACD折成AA'CD所成二面角A-CD-

4、B的平面角为a,那么()ABA./A'DBaB./A'DBaC./A'CBaD./A'CBa二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.29. (6分)双曲线与-y2=1的焦距是,渐近线方程是.二10. (6分)函数f(x)=工,那么f(f(-3)=,fLlg(x2+l)fx<lx的最小值是.11. 6分函数fx=sin2x+sinxcosxM的最小正周期是,单调递减区问是.12. 4分假设a=lo%3,那么2,2a=.13. 4分如图,三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2点M,N分别是AD,BC的中点,那么

5、异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.14. 4分假设实数x,y满足乂2+/&1,那么|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.15. 6分2是空间单位向量,假设空间向量芯满足己三1二2,b-e2-1_,且对于任意x,yCR,Ib-xej+ye2IIb-CxgCj+ygejI=1x0,yoCR,那么xo=,y0=,lb|=三、解做题：本大题共5小题,共74分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.16. 14分在4ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A4,b2-a2=-c2.21求tanC的值;2假设ABC的面积为3,求b的值.17. (15分)如图,在三棱柱ABC

6、-A1B1C1中,/BAC=90,AB=AC=2AiA=4,Ai在底面ABC的射影为BC的中点,D是BG的中点.(1)证实：AD,平面ABC;(2)求二面角A1-BD-B的平面角的余弦值.C118. (15分)函数f(x)=x2+ax+b(a,bCR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值.(1)证实：当|a|>2时,M(a,b)>2；(2)当a,b满足M(a,b)&2时,求|a|十|b|的最大值.219. 15分椭圆工+/二上两个不同的点A,B关于直线y=mx上对称.221求实数m的取值范围；2求4AOB面积的最大值O为坐标原点.20. 15分数列an满足

7、ai且4+1=%-a,nCN*2皂*(1)证实：10-02(nCN);an+l2设数列an2的前n项和为&,证实仄片?手1rMN*.2021年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分2021年普通高等学校招生全国统一测试(浙江卷)数学(理科)1.(5分)集合P=(x|x(5分)某几何体的三视图如下图(单位：cm),那么该几何体的体积是(-2x>0,Q=x|1<x<2,那么(?rP)nQ=(A. 0,1)B. (0,2C. (1,2)D. 1,2【考点】1H:交、并、补集的混合运算.【专题】5J:集合.【分析】求出P中不

8、等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.【解答】解：由P中不等式变形得：x(x-2)>0,解得：x<0或x>2,即P=(s,0U2,+8),?rP=(0,2),-Q=(1,2,(?rP)nQ=(1,2),应选：C.【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法那么是解此题的关键.2俯视图A.8cm3B.12cm3C.D.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥,所求几何体

9、白体积为：23+-X2X2X2卫白m3-33应选：C.【点评】此题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算水平.3. 5分an是等差数列,公差d不为零,前n项和是假设央,a4,生成等比数列,那么A.aid>0,d3>0B.aid<0,d&<0C.aid>0,d&<0D.aid<0,d&>0【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】由a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断ad和dS4的符号.【解答】解：设等差数列an的首项为ai,那么a3=ai+

10、2d,a4=ai+3d,as=ai+7d,由a3,a*a8成等比数列,得,+3dJ&i+2d%+7d,整理得：3a1d=-5d2-,d*°,'-,力d二磊a/J,g34/3飞力§IS6力？dS4=al4alq2产万/划了力二一-<0.应选：B.【点评】此题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是根底题.4. (5分)命题？nCN*,f(n)N*且f(n)&n的否认形式是(A. ?nCN*,f(n)?N*且f(n)>nB. ?nN*,f(n)?N*或f(n)>nC. ?noCN*,f(no)?N*且f(no)>

11、;noD. ?noCN*,f(no)?N*或f(no)>no【考点】2J:命题的否认.【专题】5L:简易逻辑.【分析】根据全称命题的否认是特称命题即可得到结论.【解答】解：命题为全称命题,那么命题的否认为：？noN*,fno?N*或fno>no,应选：D.【点评】此题主要考查含有量词的命题的否认,比拟根底.5. 5分如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,那么BCF与4ACF的面积之比是B.|BF|%-1|AF|2-lD.|BF|AF2+1【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】5D:圆锥曲线的定义、

12、性质与方程.【分析】根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为用的关系进行求解IAC|即可.【解答】解：如下图,抛物线的准线DE的方程为x=-1,过A,B分别作AELDE于E,交y轴于N,BD±DE于D,交y轴于M,由抛物线的定义知BF=BDAF=AE那么|BM|=|BD|T=|BF-1,|AN|=|AE-1=|AF|-1,那么匹眶皿二Wt-SAacf|AC|AM|lAFl-1?应选：A.【点评】此题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.6. (5分)设A,B是有限集,定义：d(A,B)=card(AUB)-card(AHB),其中card(A)表示有限

13、集A中的元素个数()命题：对任意有限集A,B,"於B'是"d(A,B)>0的充分必要条件；命题：对任意有限集A,B,C,d(A,C)<d(A,B)+d(B,C)A.命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C.命题成立,命题不成立D.命题不成立,命题成立【考点】2E:复合命题及其真假.【专题】5J:集合；5L:简易逻辑.【分析】命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可,借助新定义,根据集合的运算,判断即可.【解答】解：命题：对任意有限集A,B,假设“於B',那么AUBwAHB,那么card(AUB)>card(AHB),故“d(A,B)>

14、0成立,假设d(A,B)>0",那么card(AUB)>card(AHB),那么AUBAAB,故AwB成立,故命题成立,命题,d(A,B)=card(AUB)-card(APB),d(B,C)=card(BUC)-card(BAC),d(A,B)+d(B,C)=card(AUB)-card(AHB)+card(BUC)-card(BAC)=card(AUB)+card(BUQcard(AHB)+card(BAC)>card(AUC)-card(AHC)=d(A,C),故命题成立,应选：A.【点评】此题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合

15、元素个数之间的关系,注意此题对充要条件的考查.集合的元素个数,表达两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于根底题.7. (5分)存在函数f(x)满足,对任意xR都有()A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+11D,f(x2+2x)=|x+11【考点】31:函数的概念及其构成要素.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.【解答】解：A.取x=0,贝Usin2x=0,f(0)=0;取乂三餐贝Usin2x=0,f(0)=1;,f(0)=0,和1,不符合函数的定义；不存在函数f(x),对任意x

16、eR者B有f(sin2x)=sinx；B.取x=0,那么f(0)=0;取x=兀,那么f(0)=,+兀；-f(0)有两个值,不符合函数的定义；该选项错误；C.取x=1,贝Uf(2)=2,取x=-1,贝Uf(2)=0;这样f(2)有两个值,不符合函数的定义；该选项错误；D,令x+1=t,那么f(x2+2x)=|x+1|,化为f(t2-1)=|t|;令t21=x,贝Ut=±Vx+1;f(x)=V?KL；即存在函数f(x)仆蝎,对任意xR,都有f(x2+2x)=|x+11;该选项正确.应选：D.【点评】此题考查函数的定义的应用,根本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比拟难.8. (5分)

17、如图,ABC,D是AB的中点,沿直线CD将4ACD折成AA'CD所成二面角A-CD-B的平面角为a,那么()BA./A'DBaB./A'DBaC. /A'OBaD. /A'CBa【考点】MJ:二面角的平面角及求法.【专题】2:创新题型；5G:空间角.【分析】解：画出图形,分AC=BCACwBC两种情况讨论即可.【解答】解：当AC=BCM,/A'DB予当AC*BC时,如图,点A'投影在AE上,a士AQE连结AA',易得/ADAcZAOA,/A'DB/AOE即/A'DBa综上所述,/ADBa,应选：B.B【点评】此题考

18、查空间角的大小比拟,注意解题方法的积累,属于中档题.二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9. 6分双曲线/-y2=1的焦距是,渐近线方程是y=±哗匚.2【考点】KC双曲线的性质.【专题】11:计算题；5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程.【解答】解：双曲线5-/=1中,a=V2,b=1,c忐,J焦距是2c=2加,渐近线方程是y=±返x.2故答案为：2V5;丫=±返乂.2【点评】此题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算水平,比拟根底.宜-3,x>l10. (6分)函数f(x

19、)=工,贝Uf(f(-3)=0、f(x)Llg(K2+l)n<1的最小值是_2狙-3_.【考点】3T:函数的值.【专题】11:计算题；51:函数的性质及应用.【分析】根据函数可先求f(-3)=1,然后代入可求f(f(-3);由于x>1时,f(x)=肝2_3,当x<1时,f(x)=lg(x2+1),分别求出每段函数的K-取值范围,即可求解【解答】解：f(x)=工,lg(x2+l)>工<1,f(-3)=lg10=1,那么f(f(-3)=f(1)=0,当x>1时,f(x)=什2.3>2血-3,即最小值2T-3,当x<1时,x2+1>1,f(x)=

20、lg(x2+1)>0最小值0,故f(x)的最小值是25-3.故答案为：0;2<2-3.【点评】此题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于根底试题.11. (6分)函数f(x)=sin2x+sinxcos)+1的最小正周期是冗,单调递减区间是k吐亭,k/：(kCZ).L8"3【考点】GP:两角和与差白三角函数；H1:三角函数的周期性；H5:正弦函数的单调性.【专题】56:三角函数的求值.【分析】由三角函数公式化简可得f(x)32sin(2x-工)也,易得最小正周242期,解不等式2ke2L&2x-2L02k屋匹可得函数的单调递减区间.242【解答】解：化简可得f(x

21、)=sin2x+sinxcosxh1(1-cos2x)+sin2x+122.原函数的最小正周期为T=一=九,2由2k武工02x工02k/卫可得k相匹&x&kT+工工,24288.函数的单调递减区间为ke2二kJL(kZ)88故答案为：兀；k：+卫,kd(kZ)88属根底题.【点评】此题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,12. (4分)假设a=lo*3,那么2,2a=_里3【考点】4H:对数的运算性质.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】直接把a代入2a+2一,然后利用对数的运算性质得答案.【解答】解：:a=lo3,可知4a=3,即2a=凡所以2a+2a=&l

22、t;3+-L=.V33故答案为：【点评】此题考查对数的运算性质,是根底的计算题.13. (4分)如图,三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2点M,N分别是AD,BC的中点,那么异面直线AN,CM所成的角的余弦值是工-8【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】5G:空间角.【分析】连2ND,取ND的中点为：E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是/EMC通过解三角形,求解即可.【解答】解：连结ND,取ND的中点为：E,连结ME,那么ME/AN,异面直线AN,CM所成的角就是/EMC,AN=2二,ME=：=EN,MC=2三,又.ENLNC,EC=1-；q.Ir-=二,

23、.co支EMC-故答案为：1【点评】此题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象水平以及计算水平.14. 4分假设实数x,y满足x2+y201,贝U|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3【考点】3H:函数的最值及其几何意义.【专题】59:不等式的解法及应用；5B:直线与圆.【分析】根据所给x,y的范围,可得|6-x-3y|=6-x-3y,再讨论直线2x+y-2=0将圆x2+y2=1分成两局部,分别去绝对值,运用平移即可得到最小值.【解答】解：由x2+y2<1,可得6x3y>0,即|6x3y|=6x-3y,如图直线2x+y-2=0将圆x2+y2=1分成两局部,在直线的上方含直线

24、,即有2x+y210,gP|2x+y-2|=2x+y-2,止匕时|2x+y2|+|6x3y|=2x+y2+6x3y=x2y+4,利用平移可得在A旦,且处取得最小值3;55在直线的下方含直线,即有2x+y-2&0,gP|2x+y-2|=-2x+y-2,止匕时|2x+y2|+|6x3y|=2x+y2+6-x-3y=8-3x-4y,利用平移可得在A1,且处取得最小值3.55综上可得,当x=l,y时,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.55【点评】此题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题.15. 6分彳工是空间单位向量,假设空间向量了满足.：

25、1二2,2二,且对于任意x,yCR,|b_支臼+y邑工|b-k.+兀已2|=1x0,y0CR,那么x0=1,y0=2_,|b|=2我.【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算；M6:空间向量的数量积运算.【专题】2:创新题型；5H:空间向量及应用.【分析】由题意和数量积的运算可得<不?£>！,不妨设二L近,0,e1匚23122=2=1,0,0,由可解b=,1,可得|匕-勺+了已工/=x+*,2+且y-22+t2,由题意可得当x=xo=1,y=yo=2时,x包三2+y-22+t2424取最小值1,由模长公式可得|b|.【解答】解：yqJcos<3?,>=cos

26、<可?另>?,.<T?r>,ele23不妨设%=0,.,二1,0,.,b=m,n,t,faiW那么由题意可知.=m+,n=2,122*一5=m=,解得m=,n=-,22b=近t常一父用科1%=Xyxej+ye2|2=-1_FX_丫2+空工2+t2=X2+xy+y2-4x-5y+t2+7=x+2+|-y22+t2,由题意当x=x0=1,y=y0=2时,x+,J2+|-y-22+t2取最小值1,此时t2=1,故-=j=：L卫_J.J=2三故答案为：1;2;26【点评】此题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.三、解做题：本大题共5小题,共74分.解容许写出文字

27、说明、证实过程或演算步骤.16. 14分在4ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A工,4b-a2=c2.21求tanC的值;2假设ABC的面积为3,求b的值.【考点】HR余弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】1由余弦定理可得：/二b,c2-2bcco4,b2-a24c2.可得a£?c.利用余弦定理可得cosC.可得sinC巾即可得出tanC刍里二cosC2由乎中乎¥=3,可得c,即可得出b.【解答】解：1一?,由余弦定理可得：a2=bcos2B=sinC,22'+c2_2h>ccos2L,.b2-a2=：bc-c2,又b2-a2=！c2.V2

28、bc-c2c2.Vsb-c.可得g3'匣.,2224.a2=b2-4=12即a4j2342,k2cosC=2ab2t922E铲-c2XCX-c.CC(0,Tt),sinC每；久¥.tanC=i=2.cosC或由A=,b2a2c2.'可得：sin2B-sin2A=sin2C,sin2B=sinC,22-sin'i=sin2C, .-sin|"=sin2C,2 .sin2C=sinC,sinCw0,cosO0. .tanC=2s广=1乂同X2Vb=3saabc-2absinC万ir3解得c=2我.-3二【点评】此题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形根本关

29、系式、三角形面积计算公式,考查了推理水平与计算水平,属于中档题.17. (15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,/BAC=90,AB=AC=2AiA=4,Ai在底面ABC的射影为BC的中点,D是BiG的中点.(1)证实：AD,平面ABC;(2)求二面角A1-BD-B的平面角的余弦值.Ci【考点】LW直线与平面垂直；MJ:二面角的平面角及求法.【专题】5F:空间位置关系与距离；5G:空间角.【分析】(1)以BC中点O为坐标原点,以OBOA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过不?可=不?前=0及线面垂直的判定定理即得结论；(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的

30、夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可.【解答】(1)证实：如图,以BC中点O为坐标原点,以OROA、OA1所在直线分别为X、V、Z轴建系.那么BCV2AC=2/2,AiO=JaaJ_A02=回易知Ai(0,0,VH),B(&,0,0),C(一加,0,0),A(0,V2,0),D(0,一遍,V14),Bi(灰,-孤旧),ad=(0,-V2,0),BD=(V2,-肥,V14),彳二(-2,0,0),BC=(-2近,0,0),西二(0,0,V14),-AD?0=0,AiDXOAi,又丁不？羽=0,.AiDLBC,又.OAinBC=Q.AiDL平面AiBC;(2)解：设平面AiBD的法向量为

31、ir=(x,y,z),;.(S尸.由,得,；,v2xW2y+V14取z=i,得：=(Vr,0,i),设平面BiBD的法向量为n=(x,y,z),(n-BD=0f/2x/2Vi4z=0由,一,得,/-不,而二0172户o取z=i,得最(0,Vr,i),cos<ir,n>=|；|n|W2W22'1-1又二.该二面角为钝角,二面角Ai-BD-Bi的平面角的余弦值为-卷.考查求二面角的三角函数值,注【点评】此题考查空间中线面垂直的判定定理,意解题方法的积累,属于中档题.18. (15分)函数f(x)=x2+ax+b(a,bCR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值

32、.(1)证实：当|a|>2时,M(a,b)>2；(2)当a,b满足M(a,b)&2时,求|a|十|b|的最大值.【考点】3V:二次函数的性质与图象.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】(1)明确二次函数的对称轴,区间的端点值,由a的范围明确函数的单调性,结合以及三角不等式变形所求得到证实；(2)讨论a=b=0以及分析M(a,b)02得到-3&a+b01且-3&b-a01,进一步求出|a|+|b|的求值.【解答】解：(1)由可得f(1)=1+a+b,f(T)=1-a+b,对称轴为x=,2由于|a|2,所以-?一1或n1,所以函数f(x)在-1,1上单调,所

33、以M(a,b)=maX|f(1),|f(一1)|=max|1+a+b|,|1-a+b|,所以M(a,b)>(|1+a+b|+|1a+b|)>|(1+a+b)(1a+b)|>|2a|=|a|222>2;(2)当a=b=0时,|a|+|b|=0又|a|+|b|>0,所以0为最小值,符合题意;又对任意x-1,1.有-20x2+ax+b02,2得到-3&a+b01且-3&b-a01,-2<4ba<2,4易知(|a|+|b|)max=max|a-b|,|a+b|=3,在b=-1,a=2时符合题意,所以|a|十|b|的最大值为3.【点评】此题考查了

34、二次函数闭区间上的最值求法；解答此题的关键是正确理解M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值,以及利用绝对值不等式变形.219. (15分)椭圆台+/二上两个不同的点a,B关于直线y=mx对称.22(1)求实数m的取值范围；(2)求4AOB面积的最大值(O为坐标原点).【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】2:创新题型；5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)由题意,可设直线AB的方程为x=-my+n,代入椭圆方程可得(m2+2)y2-2mny+n2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).可得>0,设线段AB的中点P(xo,y°),利用中点坐标公

35、式及其根与系数的可得P,代入直线y=mx+-,可得用宣坦,代入.,即可解出.2m(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,可得&oab耳M|打-打1,再利用均值不等式即可得出.【解答】解：(1)由题意,可设直线AB的方程为x=-my+n,代入椭圆方程2匹+第2=,可得(m2+2)y2-2mny+n2-2=0,-设A(xi,y1),B(x2,y2).由题意,=4m2n24(m2+2)(n22)=8(m2n2+2)>0,设线段AB的中点P(xo,y.),那么,二1,2'2xo-mx:一+n-m+2m+2由于点P在直线y=mx+L上,-+.L2n+2R+222二J42代入>0,可得3m4+4m2-4&