河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考

1、中学2021届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，总分值150分。考试时间120分钟。须知：1. 答题前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上相应的位置。2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。3. 答复选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答复非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。4. 考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的。1.复数z 3 4i i在复平面对应的点位于A

2、. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.全集R， x2 2x，那么A. X 2 x 0C. x x 2或x 0B. x 2 x 0D. x x2或x 03. 某地某所高中2021年的高考考生人数是 2021年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比照该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2021年的高考情况，得到如下柱状图:2021年高考数据统计2021年高考数据统计那么以下结论正确的选项是A.与2021年相比，2021年一本达线人数减少B.与2021年相比，2021年二本达线人数增加了0.5倍C.与2021年相比，2021年艺体达线人数相同D.与2021年相比，2021年不上线的

3、人数有所增加4. 等差数列 an的公差为2，前n项和为Sn，且So 100，那么a?的值为5.x是定义在R上的奇函数，假设x 0时，f Xx l n x，那么 x 0 时，f xA. x l n xB. xln x C. xln x D. xln x6.椭圆c :2x2a2b2 1 a b0和直线l41，假设过C的左焦点和下顶点433A.-B.-C.-5547.如图，在平行四边形D.-的直线与平行，那么椭圆 C的离心率为ABCD中，对角线 AC与BD交于点O，且AE 2EO，那么ED1 221-A. ADABB. AD -AB33332 112-C. ADABD. - AD AB3 3338.

4、某几何体的三视图如以下列图，那么此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等9.爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，爽为?周碑算经?书作序时,介绍了“勾股圆方图，亦称“爽弦图 角形再加上中间的一个小正方形组成的以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三.类比“爽弦图，可类似地构造如以下列图的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF 2AF 2，假设在大等边三角形中随机取一点，那么此点取自小等边亚角形的概率是cJ J i R上 B.H3c.2 D竺A.13B.C.1326D.-261

5、0.函数xfe ,xf x0,e为自然对数的底数，假设关于 x的方程In x, x0xa0有两个不相等的实根，那么a的取值围是A.a1 B.1 a 1C. 0a 1D. a 12 211. 双曲线 笃吿 1 a 0,b 0的左、右焦点分别为 F,，F2，过F,作圆a b2 2 2x y a的切线，交双曲线右支于点M，假设 F1MF2 45，那么双曲线的渐近线方程为A. y . 2 B. y 3xC. y xD. y 2x12. 如图，在正方体ABCD ABQQ!中，点E，F分别为棱BB!，C®的中点，点O 为上底面的中心，过 E， F，O三点的平面把正方体分为两局部，其中含 A1的局

6、部为y， 不含A的局部为 V，连结A和V的任一点M，设AM与平面A1B1C1D1所成角为 ，那么 sin 的最大值为c.2' 6D.2 656二、填空题：此题共 4小题，每题5分，共20分。x y 10,13. 实数x , y满足约束条件 2x y 40,那么z x 2y的最小值为 y 0,1114. 数列an ，假设数列3n 1an的前n项和人 一6n ,那么a5的值为5515. 由数字0, 1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，那么这样的不同数字代码共有个.16函数f x sin x|x 2- 的图像关于直线x 2对称，当32x 1,2时，f x的最大值为.三、解答题：共

7、70分。解容许写出文学说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17. (12 分)如图，在 ABC 中，P 是 BC 边上的一点，APC 60 , AB 23 , AP PB 4.(1) 求BP的长;(2)假设 AC18.(12 分)ABC 中,D , E分别为AB, AC的中点，AB 2BC 2CD，如图1.以DE为折痕将ADE折起，使点 A到达点P的位置，如图2.(1)证明：平面 BCP 平面CEP ；(2)假设平面DEP 平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。19. 12 分某高校为

8、了对2021年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生 中随机抽取40名，对他们2021年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学n*分数x在100,150 ，且其频率y满足y 10a 其中10n x 10 n 1 ，n N . 201求a的值；2 请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考 数学分数的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；3 将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调 查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于 130分的人数为随机变量，求的数学期 望20. 12 分抛物线E :x2

9、 2py p 0的焦点为F，A 2, y°是E上一点，且 AF 2.1求E的方程；2设点B是上异于点 A的一点，直线AB与直线y x 3交于点P，过点P作x轴 的垂线交E于点M，证明：直线 BM过定点21. 12 分函数f x eax x 1 a R .1当a 1时，求证：f x 0 ；2讨论函数f x的零点的个数。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做 的第一题计分。22. 选修4-4 :坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系 xOy中，以0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2a cos a 0 ；

10、直线l的参数方程为J(t为2参数)，直线l与曲线C分别交于M , N两点(1) 写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2) 假设点P的极坐标为 2, PM PN 5/2，求a的值.23. 选修4-5 :不等式选讲(10分)函数f xx 2(1)求不等式fx 1xf x 3的解集；(2)假设函数g xlog2 f x 3 f x 2a的值域为R，数a的取值围参考答案与解析中学2021届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题1.D解析复数z3 4i i4 3i.对应的点为4,3，位于第四象限.应选D22.C解析由x2x，得 x22x 0,解得 2x0.所以CU Mx x 2或x 0或.应

11、选C.3. D解析设2021年该校参加高考的人数为S，那么2021年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项 A.2021年一本达线人数为 0.28S .2021年一本达线人数为 0.24 1.5S 0.36S , 可见一本达线人数增加了，应选项A错误；对于选项B, 2021年二本达线人数为 0.32S ,2021年二本达线人数为 0.4 1.5S 0.6S，显然2021年二本达线人数不是增加了0.5倍，应选项B错误；对于选项C, 2021年和2021年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，应选项C错误；对于选项D,2021年不上线人数为0.32S.2021年不上线人数为0.28 1.5S 0

12、.42S . 不达线人数有所增加.应选D.4. C解析由Sw 100与公差为2.得a1 1.所以an 2n 1，故a7 13.应选C.5.B解析设X0 ,那么x0，所以fXx Inx .又因为fX曰宀 是定汶在R上的奇函数，所以fXf X所以f Xxln x.应选B.6.A解析直线1的斜率为3，所以b 3，又b22 2c a ,所以ec4，应选4c 4a5A.7.C解析EDEA AD1 ACAD1 ADAB AD2ADAB .3333应选C.8.B解析几何体的直观图为四棱锥PABCD .如图.因为 AD AB , PAPA,BAPDAP 90 .所以ABP adp.因为BC 平面ABP，所以B

13、CBP.同理，CDDP .因为BP DP , CD BC , CPCP,所以BCP 也 DCP .又 ABP与BCP不全等.应选B.ADB 120，由余弦定理，得9.A解析在 ABD 中，AD 3, BD 1,AB3D c 12013 ,所以DFAB2所以所求概率为SdefS ABC2413应选A.10.C解析画出函数fx的图像如以下列图，由图可知1 a 0 ,所以 0 a 1.应选C.FiM于点B.因为与圆11.A解析如图，作OAF,M于点A. F2B2a 2b 2 2a 2a.整理，得x2 y2 a2相切， RMF2 45，所以 |0A a, F2B BM 2a , | F2M 22a,F

14、,B 2b.又点M在双曲线上.所以F,MF2Mbb 2a.所以-2.所以双曲线的渐近线方程为y2x。应选A.a12.B解析连结EF .因为EF 平面ABCD .所以过EFO的平面与平面 ABCD的交线一定是过点0且与EF平行的直线.过点0作GH " BC交CD于点G，交AB于H点,那么GH “ EF，连结EH，FG .那么平行四边形EFGH即为截面那么五棱柱ABEHA DQGD为V，三棱柱EBH FCG为V?，设M点为V?的任一点，过M点作底面AiBiCiDi的垂线，垂足为 N，连结AN，贝U MAiN即为AM与平面 ABiCQi所 成的角，所以MN.因为sinMN要使AM，的正弦值

15、最大,重合时符合题意.故 sinmaxMNAMmax必须MN最大，AM最小，当点M与点HHN 2話.应选B.AH 5二、填空题13.3解析可行域如以下列图，x zx y 10当直线y经过点A时，z取得最小值.解方程组，'可得点222x y 4 0,A 1,2，所以 Zmin3.故填 3.V4 x-+l=0-必/V廿一4讦01i14.16解析据题意，得 a, 3a2 32a33n 1an6n5511所以当 n 2 时，c 3a2 32a33n 2an “ 6n 1 -.5511两式相减，得3n1an 6n 6n 1 6n 1.所以当 n 2 时，a n 2n 1，故as 16.5515.

16、120解析120.故填 120.y sinx关于直线x2对称，所以2k ，kZ .所以332k，kZ .因为所以.所以f xsinx x 262 '636又ysin x与yx 2在区间1,2上都为减函数，所以3616.4解析据题意知，函数 y x 2的图像关于直线x 2对称，曲线f xmax14 .三、解答题17.解：1由，得APB 120又 AB 2 3 , AP BP在ABP中，由余弦定理,得 2 3 2 BP242BP 2BPBP cos120 ,整理，得BP2 4BP4 0.解得BP2.2由1知,AP所以在ACP 中,由正弦定理.得ACsin 60APsin ACP，解得sin

17、ACPJ2 5：34因为2辽，所以AP4AC，从而 ACP APC，即 ACP是锐角,11分12分18. 1证明：在题图1中，因为AB 2BC 2CD，且D为AB的中点。由平面几所以 cos ACP . 1面DEP， EPDE.所以EP平面BCED .又因为CE平面BCED，所以EPCE .何知识，得 ACB 90 .又因为E为AC的中点，所以DE川BC在题图 2 中，CE DE，PE DE,且 CEIPE E，所以DE 平面CEP，所以BC 平面CEP.又因为BC 平面BCP，所以平面BCP 平面CEP .EP 平2解：因为平面 DEP 平面BCED，平面DEPI平面BCED DE，以E为坐

18、标原点，分别以 ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如以下列图的空间直角坐标系在题图 1 中，设 BC 2a，那么 AB 4a, AC 2.3a, AE CE 3a , DE a.那么 P 0,0, 3a , D a,0,0 , C 0, 3a,0 , B 2a. 3a,0 .所以 DPa,0, 3a , BC 2a,0,0 , CP 0,3a, 3a 9分x, y, z为平面BCP的法向量,BC 0,即 2ax 0,CP 0,3ay 3az 0.11分1，那么 z 1.所以 n 0,1,1 .设DP与BCP平面所成的角为，n DP那么sinsin n,DP&a_、6n

19、 DP v2 2a 4所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为612， 13， 14,12分代入y10a20，i 0.510a0.55解得a0.08.2由1，得y9.解:10a可得10a1由题意知：100.610a 0.6510a 0.71，0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，频率分布直方图如图:这40名新生的高考数学分数的平均数为105 0.30 115 0.25 125 0.20 135 0.15 145 0.10120. 8分(3)由题意可知，01,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分的概率为10分0.150.10.25，所以 B 4,1 41所以E 41. 12分410.

20、 (1)解：根据题意知，4 2pya， 1分因为AF 2，所以ya P 2. 2分2联立解的ya 1 , p 2. 4分所以E的方程为x2 4y. 5分(2)证明：方法一，设 B X1, y1 , M X2,y2 .由题意，可设直线 BM的方程为2 2y kx b，代入 x 4y，得 x 4kx 4b 0.由MPx轴与点P在直线yx3上，得P X2,X2 3 ,那么由A,P , B三点共线，得X24 心b 1 oX22为2 8 分整理，得k 1 x1x2 2k4X1b 1 X22b 60.将代入上式并整理，得(3)由根与系数的关系.得人x2 4k , x1x24b .6分2 x1 2k b 3

21、0.10分由点B的任意性，得2k b 30，所以y kx 3 2k k x 23.12即直线BM恒过定点2,3 分2方法二，设 P t,t 3 , B n,4t2AB2nn 2,1 , AP t 2,t4 4由A, B , P三点共线，得AB / AP ,即n2 t4 1 t 20，即当n2时,点B坐标为2,1 ,与 A 2,1当n2时,2t 2ntn 120,口 ntt n整理，得-3.42丄22t n因为kBM44n tt n4,2所以直线BM的方程为t yn tx44n tt2 nt t结合.得yx444n tntx44n tt nx342n tx23,4所以直线BM恒过定点2,3 .n

22、 2 2t 2n tn 120. 8分重合，不合题意；t . 10分12分21. (1)证明：当 a 1 时，f X ex x 1，那么 f x ex 1. 1 分由 f x 0 .得 x 0 .当 x 0 时，f x 0 ;当 x 0 时，f x 0 ,所以函数f x在区间 ，0是减函数。在区间 0,是增函数，3分所以x 0是f x的极小值点，也是最小值点且f x min f 00 ,故当a 1时 f x 0恒成立 5分(2)解：据题意，得f xaeax 1.当a0 时，f x0恒成立.那么函数f x在R上是减函数。又f00，所以函数£看日口看一不実占 GZkT x /有且只只冃丨

23、零点、. 6 分当a0时.由f x1 10 ,得 xIna a当x1| n1 时，f xa a0 ;所以x -In是函数f x的极小值点即faa1 111 1x minf In -I n a aaa a令ht ttInt:110，那么ht 11IntInt当t1时，h t0 ；当0t 1时，h t0 ；当t1时，h t0，所以x在区间a所以函数h t在区间，也是最小值点,111、， 、,In是减函数，在区间a丄“，是增函数。a a0,1是增函数，在区间 1,是减函数,从而t1是函数的极大值点.也是最大值点，所以 h t h 10，讨论:(i)111Inaaa111Inaaa11 ,1Inaaa1时,11h t1xmin1xmin10xmin当aa,丄1 n1有一个零点;a0 当