最新安徽省皖南八校届高三第二次(12月)联考数学(文科)试题

1、安徽省皖南八校2022届高三第二次12月联考数学文试题一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1集合 A =xeZ |4 n4，B 5,2,0,1,4,6 ，贝卩 AB A. -2,0,1,4B. -2,0,1C. 0,1,4 D. 5,2,0,1【答案】B【解析】【分析】化简集合A,根据交集求解.【详解】因为 a 3,2,1,0,1,2,3 ,所以 A=B -2,0,1 .应选B.【点睛】此题主要考查了集合的交集，属于中档题2.i为虚数单位，假设Z -匕2，那么在复平面中，复数 z对应的点在1十iA.第一象限B.第二象限C.第三

2、象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】计算z，根据实部，虚部确定复数z对应的点所在的象限.【详解】因为Z直 3丄，1 + i 1+i2222所以复数z对应的点在第三象限.应选C.【点睛】此题主要考查了复数的运算，复数的几何意义，属于中档题3.“赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形图1，图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，假设直角三角形的直角边长分别为5和12,那么飞镖投中小正方形阴影区域的概率为fflz49304960A.B.C.D.169169289289【答案】C【

3、解析】【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形阴影区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，那么小正方形的边长为 5+12-(5 + 5) = 7，最大正方形的边-49长为5+12=17，小正方形面积 49,大正方形面积 289，由几何概型公式得：P，应选C.289【点睛】此题主要考查了几何概型，属于中档题4. a = 30.4，b= 0.43，c log30.4，贝卩A. a ：'b = c B. a> c> b C. c：'b；a D. c：、ab【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质

4、，估算三个数的大致范围，即可比拟大小【详解】因为 a = 30.4 ：、3° = 1, 0 ： b = 0.43 v 0.4° = 1 , clog30.4 y log31 - 0 ,所以 a > b c.应选A.【点睛】此题主要考查了指数函数、对数函数的增减性，属于中档题45. 住ABC中，角 代B,C的对边为a,b,c，且a-5 , cosC ，住ABC的面积为3,那么c-5A. 11 B. 2 3 C. 13 D. 14【答案】C【解析】【分析】由三角形面积公式可求 b,再根据余弦定理可求 c.4 3【详解】因为cosC ,所以sin C二一，5 51由 Sab

5、sin C，可得 b - 2 ,2根据余弦定理，c2 二a2 + b2 -2ab cosC 二 29 -20 上二 13,5所以c 一 13，应选C.【点睛】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.6如图，在 AABC 中，AD 丄 AB，DC - 2BD， AB, 2，贝V AC AB 的值为A. -4 B. -3 C. -2 D. -8【答案】D【解析】【分析】由题意把AC转化为AB、BD求解即可.【详解】因为 AD丄AB , DC2BD ,= 2 ,所以 AC -AB (AB+BC)、AB (AB + 3BD)，AB= AB2 十3BD AB=4-3：AB：|BD：

6、cos/ABD = 4-3：AB |2二-8,应选D.【点睛】此题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题7.直线y kx + 3与圆C : (x 3)2 +(y 3)2 4相父于AB两点，假设 AB&2 ,那么k的取值范围是2 2【答案】AB*蔦C. 1,1D.一汁【解析】【分析】从而求解直线与圆相交，那么圆心距，半弦长，半径构成一直角三角形，利用该三角形即可表示出弦长,2 2【详解】由圆C : X3 + y3 =4可知，圆心为(3,3)，半径R= 2 ,圆心到直线y = kx + 3的距离d = 3k ,因为圆心距，半弦长，半径构成直角三角形，所以 TaB

7、i =R2 d2 =4-胡，解得-< .辽丿1 + k222应选A.【点睛】此题主要考查了直线与圆的相交，圆的平面几何性质，属于中档题8某几何体的三视图如下列图，该几何体外表上的点P与点Q在三视图上的对应点分别为 A，B，那么在该几何体外表上，从点 P到点Q的路径中，最短路径的长度为X4T|_-:h电1 一.丿I< RUHA. 14 B. 2 3 c. 10 D. 2 2【答案】D【解析】【分析】PQ间距离，比拟不同展开图得到的距离即可求1，高为2，P,Q位置如图：计算 PQ 二 22 + (1+1)2 二 2 2 ,根据三视图可判断出 P,Q点的位置，然后利用侧面展开图求解.【详

8、解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为沿EF展开，计算PQ二.12 (2 1)2'10，沿FM展开,因此点P到点Q的路径中，最短路径的长度为2 2 .应选D.【点睛】此题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题19.曲线f(x)，那么过点X(-1,3)，且与曲线y= f (x)相切的直线方程为A. y=2x+5或 y=-9x 6B. y = -x + 2 或 y = -9x 6C. y=-x+2 或 y=-8x-5【答案】BD. y = 2x + 5 或 y = -7x-4【解析】【分析】设切点为(xy。)，根据导数的几何意义求出曲线在点(x0,y0)处的切线斜率，写出切

9、线方程，把点-,3代入，列方程求出x0,y0，代入切线方程化简即可.【详解】设切点为1(Xo, yo),切线斜率 k-f (xo)-一 2 ， Xo那么切线方程是y-y0_ (X-X。)，又过点一 1,3 ，Xo所以 3y。$(1X。)，Xo又yo -1，Xo由解得,Jx。=1y。=1，代入切线方程化简可得:切线方程为x + y2 = 0或9x + y + 6=0.应选B.【点睛】此题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题1O.函数f (x)的图像与函数y二cos(2x)的图像关于y轴对称，将函数f(x)的图像向左平移 个36单位长度后，得到函数 g(x)的图像，那么g(x) =托jr

10、jrjrA. sin(2x) B. sin(2x ) C. sin(2x ) D. sin(2x)6 666【答案】D【解析】【分析】根据函数f x的图像与函数y=cos 2x-二 的图像关于y轴对称， 、3丿可得f(x)二cos(-2x) = cos(2x )，向左平移？个单位长度可得3362g(x)二cos2( x+二)+ 二二 cos(2x+),再由诱导公式即可求解 633【详解】因为f x的图像与函数y=cos2x-夕的图像关于y轴对称 I 3丿所以 f(x)=cos(2x) = cos(2x ),33向左平移二个单位长度可得g(x) =cos2(x+ )= co( 2x+ ),663

11、3因为 g(x) =co(2x+ )二cos(2x十上 十二)二一sin(2x十二)3626应选D.【点睛】此题主要考查了函数图象的对称性，三角函数图象的平移变换，诱导公式，属于中档题11.一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1/2, a，且长为a的棱与长为42的棱所在直线是异面直线,那么三棱锥的体积的最大值为A.辽12B.12D._36【答案】【解析】如下列图，三棱锥 ABCD中,ADa,BC 2, AB AC BD CD 1，那么该三棱锥为满足题意的三棱锥，将BCD看作底面，那么当平面 ABC _平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h -上2,2BCD是等腰直角三角形，

12、贝U S.BCD综上可得，三棱锥的体积的最大值为1"2 <232212此题选择A选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择适宜的底面是处理三棱锥体积问题 的关键所在.，使得12.函数 f x =ln 弐冬，g x =m x J4 x +2，对于 0% e 0,4，x2 e 0,1 2 x 丿x2 < g x-，那么实数m的取值范围是A.C.【答案】D【解析】【分析】Vln3 422 丿5匚0,4 ，忑匚0,1 ，使得f X2性、最值即可求得【详解】对于“匚0,4，口x2匚0,1g 捲，可得 f(X2)ming(Xjmin，利用 f x ，g，使得

13、f x2 * g为，x的单调等价于 f(X2)min 吒 g(Xjmin2只Tn 2x 丿=ln(-1)，x-2因为u二-1 -y二In u是增函数，由复合函数增减性可知X-2f X =ln|耳荃二In(1在0,1上是增函数，12 - x 丿x - 2所以当 X-0 时，f(X2)min-0，令 t Xw(0,2)，那么 y m(r21+4) +2，假设 m .> 0 时，2m+2 吒 y4m + 2 , g(x)min >2m + 2，所以只需2m + 2 20，解得0<： mE 1.假设 m0 时，4m+2 ：. y ：2m+2， g(x)min 4m+2，1所以只需4m

14、 + 2上0，解得一 一乞m v. 0 .2当 m 0 时，g(x) 20=f (x)min 成立1综上一兰m乞1，应选D.2【点睛】此题主要考查了复合函数的单调性，换元法求值域，转化思想，属于难题二、填空题每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上y 乞 2x,13.实数 x， y满足条件2x+y2,贝V z=x-y的最大值为 【答案】1【解析】【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可【详解】作出可行域如图：J为Vl Z34>* f X/nL作出直线10: y=x，平移直线10，当直线在y轴上的截距最小时，Z有最大值,如图平移10过点(1,0)时，ZmaxT 0T.故填1.【点

15、睛】此题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题3缸14.假设 sin"= = & 是第二象限角，贝V sin(2" + ) =.54【答案】_1'250【解析】【分析】根据sin 二3 ,，.是第二象限角，可得cos/二一4 ,由二倍角公式可得sin 2处二一召,5525cos2/= 2cos2吃T =工，再由两角和的正弦公式即可求解.25【详解】因为sin = 3，.是第二象限角，所以cos空二一 424 27sin 2, cos2/= 2cos 1 =25 255-sin2&coscos2庄sin 2 x丝 + 工一一17兰244225

16、2550由二倍角公式可得所以sin(2)4故填-1 2 .50【点睛】此题主要考查了同角三角函数的关系，正余弦的二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题15.过P(行)的直线丨与双曲线C : x2y2-只有一个公共点，那么直线 丨的条数为【答案】2【解析】【分析】求出双曲线C : X2 - y2 -1的渐近线方程y - ±x ,结合双曲线的性质讨论，直线丨斜率不存在时和双曲线右支相切，有一个公共点，直线过点P 1,1，可作与y = -x平行的直线，此时与双曲线有一个公共点【详解】双曲线C : x2y2_1的渐近线方程y 土x,其中一条渐近线y = x 过点 P 1,1 ,所以过点P

17、1,1的直线x-1与双曲线右支相切，只有一个公共点，过P 1,1与y = -x平行的直线y = x + 2和双曲线右支相交，只有一个公共点, 综上共有2条直线符合要求故填2.【点睛】此题主要考查了双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题116.假设函数f(x)-2xa-2x为奇函数，那么不等式 8f (-63： 0的解集为x1【答案】(-®0)(，+*)3【解析】【分析】根据函数为奇函数知f (0) = 0求出a- 1，原不等式转化为 f (丄)彳63 =f，又函数f (x)在R上为增函x 8数，即可求解【详解】因为f(x)为奇函数，所以有 f(0)_1a 0，得 a 1

18、，故 f (x) -2x-2 x，所以f(3)単8不等式8f(163： 0可化为f)，63，xx 81由函数f (x)在R上为增函数，可得 一v3，x解得：1x或 x ： 0.3所以不等式的解集为-OO0+OO1 6，故填oo,0J，+°°【点睛】此题主要考查了奇函数的性质，不等式的解法，转化思想，属于中档题三、解答题：共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答一必考题：60分17.数列an的前n项和为Sn，且Sn = n2 +于.I求数列 an的通项公式；111n假设a一 , ka

19、3,S3 -5k成等比数列，求实数 k的值2 32【答案】1an2 n ; 2k-1 或- 2 .【解析】【分析】【详解】1当n_1时，S,二1+虫，解得：印-2，可得Sn_n2+n，2当 n 32 时，an =Sn Sn= n2in n -1和 n-1 =2n，由ai符合a2n门32且门匕N*，故数列an的通项公式为an - 2n，1112由一印二 1， ka3 二 k一2，S3 5k 二 6 5k，232有"二6-5k,解得 k 二1 或-2.+ -2工0,【点睛】此题主要考查了与an的关系，等比中项，属于中档题.18.如图是2022年至2022年天猫双一当天销售额 y单位：百亿

20、元的折线图，为了预测 2022年双十 当天销售额，建立了 y与时间变量t的线性回归模型I根据2022年至2022年的数据时间变量t的值依次为1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8用最小二乘法， 得到了 y关于t的线性回归方程 y = 2.97t + a ,求a的值，并预测2022年此时t- 9双一当天销售额；假设你作为天猫商城董事会成员，针对双十一当天销售额增长情况，给天猫商城管理层制定一个股权奖励方案从2022年开始到2022年，如果该年度双十一当天销售比照上一年增长超过五成，那么对天猫商城管理层进行股权奖励从2022年到2022年中，求天猫商城管理层连续两年都能获得股权奖励的概率1

21、附：a = ybt , -0.52 +1.91 +3.5 +5.71 +9.12+12.07+16.82 + 21.35二 8.8758【答案】1预测2022年双一当天销售额大约为22.24百亿元；20.6 .【解析】【分析】1根据直线回归方程过样本中心点x,y即可求出a-4.49，直线回归方程代入 t-9，即可2根续两年作为根本领件，根本领件总数5,连续两年能得到股票奖励的根本领件共有3个，由古典概型计算其概率即可.【详解】1由 f =1 1 +2+3+4+ 5+6 + 7 + 8 二 4.5，y = 8.875，代入线性回归方程 y = 2.97t + a，有 88.875 -2.97尤4

22、.5 +a，得a 4.49，可得y关于t的线性回归方程为 y=2.97t4.49，当t二9时，y =2.97 k9 4.49 = 22.24，可预测2022年双一当天销售额大约为22.24百亿元.2由 1>1.5，0.523.51.915.715.5> 3.53.5 1 + 6.5，叱9=1.5，775.17612.079.1212.0710二 1.207 叮.5，12.0712.0712.07故从2022年到2022年管理层只有 2022年、2022年、2022年、2022年能获得股票奖励从2022年到2022年中连续两年，根本领件为 2022,2022、2022,2022、20

23、22,2022、2022,2022、2022,2022，共5个根本领件；连续两年能得到股票奖励的根本领件为2022,2022、 2022,2022、 2022,2022 ，共3个根本领件.从2022年到2022年中，天猫商城管理层连续两年都能获得股权奖励的概率为p二3二06 5【点睛】此题主要考查了线性回归方程，古典概型，属于中档题19.如图，四棱锥V ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，上BAD = 60，E为AB的中点.I在侧棱 VC上找一点F，使BF |平面VDE，并证明你的结论；n假设 VA - VC - 5 , VD -3，求四棱锥 V - ABCD的体积.【答案】1见解析；2

24、乙£.3【解析】【分析】1F为VC VD的中点为H，连EH、HF，可证四边形EBFH为平行四边形，可得 HE | BF即可证明2连接AC , BD交于点O，连接VO，根据VO _ AC , VO _ OD可证VO丄平面ABCD，根据棱锥体积公式计算即可【详解】1F为VC VD的中点为H，连EH、HF .1 ABCD为菱形，E为AB的中点， BE II丄CD ,=21 H 为VD 的中点，F 为VC 的中点， HF CD , HF II BE，2四边形EBFH为平行四边形， HE | BF , EH平面 VDE , BF平面 VDE , BF | 平面 VDE . AC_BD , OB

25、-0D-1 , OA-0C- /3 , VA - VC - . 5 , VO _ AC , VO - VA2 -OA2 - 2 .又 VD- 3 , VD2 二VO2+OD2 , VO OD. ACOD O , AC,OD 匸平面 ABCD , VO 丄平面 ABCD .易求得菱形 ABCD的面积为2 3 , 四棱锥V ABCD的体积为丄衣2弓乂 2 - 2上6 .3 3【点睛】此题主要考查了线线平行，线面平行，线面垂直，棱锥体积公式，属于中档题2 2 £20.如图，椭圆C ：笃+每= 1a = b0的右焦点为F，点T,兰在椭圆C上，过原点O的直线与 a2 b2' 2椭圆C相

26、交于M、N两点，且 MF+NF=4.I求椭圆C的方程;F 1n设P(1,O) , Q(4,0),过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A、B两点，证明:2【答案】1丄十y2_1; 2见解析.4【解析】【分析】I取椭圆C的左焦点F '，连MF '、NF ',由椭圆的几何性质知| NF -"MF '，那么 MF即可求解n设点A的坐标为设椭圆方程代入点X1, y,，点B的坐标为方程为：y - k x -4 k 0 ,联立方程组,消兀得4k2 +12 2 2x 32k x + 64k 4=0同理得直线BP的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论【详解】I如M

27、F '+|mf'二将点2 /2a - 4，得 a - 2 ,，取椭圆 C的左焦点F '，连MF '、NF '，由椭圆的几何性质知上 APO 乂 BPQ .+ MF - 2a- 4 ,y2，直线AB的,写出AP的斜率，NF -MF'，那么C的方程得:13二 1，解得：b- 1a2 4b2占:八、2故椭圆C的方程为： + y2 - 1.B的坐标为 x2,y2由图可知直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为：y-k X-4 k0联立方程 2x 2彳十y =14y = kx- 4消去y得:2 2 2 24k +1 x 32k x+64k 4=0,2 2

28、 2也一32k-4 4k +164k24 > 0 , k21 .12石+x2有丿住二同理直线BP的斜率为：k x2 一4X2 一 1直线AP的斜率为：也 乞勺4x1 1x1 1由k % 一4 k x2 一41 Xf 1X2 _ 1k % -4x2 -1十 k x2 4 x1 1k L2xX2 - 5 捲 + x2 +8皿2 一 x1 + x2 + 1_ 32k24k2 +1264k -44k2+1广22,128k -8160kk 160k2-8T60k2 十 836k2-3k 十 8222,4k2 +14k2+1 J _ k 128k2 8T60k2 十32k2十864k2 4 32k2

29、64k2-4-32k2 十 4k2 十 12 2 14k +14k 十 1由上得直线 AP与BP的斜率互为相反数，可得 上APO二匚BPQ .【点睛】此题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题21.函数 f(x) Tn x-ax+a(a e R).I求函数f(x)的单调区间；n当a - 1时，对任意的0 "： m v n，求证:f (n)一 f (m) <n mm(1 十 m)11【答案】1f(x)的单调递增区间为(0,丄)，单调递减区间为(丄，+S)； 2见解析.aa'【解析】【分析】I写出导函数f x二1a二匸坐&0

30、)，根据a分类讨论f'(x)的正负，即可求出单调区间nxxa -1 时，f x 一 I nx - x+1 ，根据1知 f x - ln x x+1 Ef 1-0 ,原不等式转化为In- n -m 工二口一口，再转化为lnLjn_1，根据ln x兰x-1可证. mm1 十 mm1 十 mmm【详解】I厂X二1 _a二上(xaO).XX当a乞0时，厂X >0恒成立此时f X的单调递增区间为 0,+厂，无单调递减区间11当 a > 0 时，由 f ' x - 0 得：0 x ，由 f' x Q 0，得 x .aa此时f X的单调递增区间为(10,-，单调递减区间为

31、十乂、.a/a'丿na =1时，f X -1nx x + 1，由1知f X在0,1上为增函数，在 i,tx 上为减函数,f X 一1 nx x+1 屹 f 1 _0 , In xE x 1，当且仅当x 1时取“f n -f m 二 lnn-n 十1 - Inm-m + 1 二 In n- n-m mn m _n m_nm m 1 +mm 1 + m0、：my： n，二 1 + m> 1 , n m0 , ? 1 ,mn m n _ m < -1 +n只要证明：in n < n-1.m m【点睛】此题主要考查了利用导数求函数单调性，利用导数证明不等式，分类讨论思想，转化思想，属于 难题.二选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第 题记分.x = 2cos 川22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为+0为参数，直线I的参数方程为ly = 2si n"lx 二 1 +(a 1)ti t为参数Ly 二1 +atI假设a二一，求曲线C与直线丨的交点坐标；2n求直线丨所过定点P的坐标，并求曲线 C上任一点Q到点P的距离的最大值和最小值.【答案】门(0,-2)与(5,8) ； 2dm